[(ъ+L3) KB x (-1) + K„ (- Z)] ;
Px = — ^os 'f-- ГP---- |
+ Z2 cos X-4-ЛГ cos x + H sin z] + |
x L |
2 |
J |
|
+ Wi [рв |
я |
_ dizicosx Гр£l + дЛ + |
4cosxl |
1 012 1J |
2EJX [ 2 * |
J |
+ ИЪ ~ Sin X - //f2 |
[(1 -KBB (zj) |
cos Z - |
~ (d'izKu x (Zj) -\-K* и (zj) sin x]; |
|
^2— ~~~^J°S X p* |
cos x + ATcosx + Z/sinx — |
- |
+НЪС1\ |
+ at] +Hb ^Sinx + |
+w1s-y [(l-KM(*j))vcosx+
L
+ (ainKui (z2) + ^£/(zI))sinx ;
|
Г ,2 |
n |
2 |
р>=ртЫ— |
|
+M^r+H^^ |
|
L oz'*'x |
uri J |
2c,Jx |
|
|
1 |
2 |
p _. p г2 |
z2 |
+ЛГ-^---- НЬ^- |
4 2 |
[з£Хх |
СЛ. |
2EJX 1 2 |
|
|
~ИЪ~- [«Лх (г2) -^xи (г2)];
ЛL^KL\ph±^2 cos х + 7И cosx + ^sin х
; _ |
/2 cos X |
|
cos x + M cos x + H sin x + |
S~ |
2EJX |
|
|
|
|
|
^2^-2 |
|
|
|
2 cosx |
|
|
p _riigi sinX |
P f+Л - Hi. -^L + НЪ Л (1 -Квв (z,)) Й sin X- |
7 |
2£./k |
J |
X/ сиь |
t, |
x (^1)+PX U (21)* *’
cos у
2f2 ■
L —_ s____ :_____________ . •
1 aKBB(-l)
, |
72 (1 — К- BB ( |
7 ) — в ( — П . |
2—' |
KBB (-'■') |
’ |
, ___ |
72 (1 %BB( |
О |
KxB( I) . |
3~ |
Kbb(~() |
' |
кSB (z) = $2 (2) - 7ГТ ф4 СЮ;
/<хДг) = Ф2(г)+^Ф4(г);
2яй
К. В (г) |
= $£(£)_ . |
|
2а Ра ’ |
Кдх(Ю=~Ф4(Ю;
аф, (г) + РФ3 (г) .
ЛГхц(г)
2а?
<-2 |
аф1 (*) — Ф3 О) |
[ ) |
2ар |
Произвольные постоянные интегрирования получим в результате решения матрицы (2. 173) в следующем виде:
|
|
|
Гв=^±^; |
|
<2174> |
|
|
|
__ |
д,, |
|
(2.175) |
|
|
|
/70 = -^; |
|
|
|
|
|
а0 |
|
|
|
|
|
Qo=-“, |
|
.(2.176) |
где |
|
|
|
ао |
|
|
|
|
|
|
|
|
до = (ai~а4~ 2а3 ^-\\т4-т2+(а5+ а3 |
(1 + cos^y) зш^ + |
\ |
|
|
^3/ L |
X |
^1 / |
cos4 Л |
|
2^2 |
Щ |
а2 — а5—2а3-^~ |
|
|
+ ^2 |
~-------- |
|
|
|
dy cos3 х. |
|
|
|
|
\ |
„ |
к]Д |
2rf2 (1 4-cos2x) sin х |
|
|
4 + 6/3 |
U |
<Z1C0S4x |
</iCOsx\ |
cos2x/ |
|
|
|
|
|
1~^2—2P8 |
—— «2 +C3-7^') |
2rf2 (1-|-cos2x) sin X p |
\ |
|
|
"3 / L |
|
\ |
Л3 / |
|
dr cos4 z |
, |
2rf2 |
• |
a2 — a5~ ^3—} [^3— Pi — |
|
+ g2 |
----- |
7 |
*“ |
О |
О i I I |
v |
|
|
|
di cos2 |
|
|
"3/1 |
|
|
|
I |
2 8Лз. |
2rf2 (1 4- cos2 x) sin X |
P |
f2 |
1 ' |
|
di cos4/ |
|
d cos x \ |
cos2x |
ДQa=(a, - a4 - 2a3 M \p3 - P4 - (P2 + P5
\ |
|
|
|
|
«з/L |
|
\ |
|
h3) |
|
7 cos4 7. |
|
|
_2^_/2 |
1 |
\1 |
/р p |
|
«з\Г |
|
/ + |
|
‘ di cos x |
\ |
cos2x/ J |
\ |
|
|
h3) L |
3 |
\ |
, |
„ |
A|\ |
2d2 (14~cos2’/) sin x „ |
|
|
, |
1 |
\] . |
~r u3 |
< ) |
|
|
3 Л |
|
61 |
di cos x \ |
z “1------ ’ |
|
|
|
/г3/ |
|
|
rfjcos^x |
|
cos2x/. |
80= х28‘П^~[Р2 + /?8~? + P7ctgz-(a4 +«3'7’4- gi ctgx) UQ- |
|
rfjcos2x L |
|
«3 |
\ |
|
h3 |
|
|
) |
—fas + Gs-T'+^ctgx'jQol; |
|
|
|
|
(2.177) |
|
\ |
|
"3 |
|
/ |
J |
|
|
|
|
|
^0! |
|
2 |
^7 |
SiP'f, |
S2Q0 |
|
|
|
|
(2.178) |
<Z1 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Г Ps + ^6 |
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
, |
1з |
. |
2 |
л3 |
X |
лз / |
|
|
|
2со8хФ 1 |
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.179) |
xo — T~[^8 |
^1^0 |
^2*?0 |
9 |
®o] ’> |
|
|
|
|
(2.180) |
«3 |
L |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^oi^-^A-^Qo+^oi-^-6 |
|
|
|
|
(2.181) |
После определения произвольных постоянных интегрирования можно вычислить нормальные и касательные напряжения в любом сечении как стреловидного, так и центропланного кессонов.
Определение нормальных напряжений
Нормальные напряжения в стреловидном кессоне определим по формуле (2. 152)
0 (г, s) ~ |
(Pz + М} + |
|
|
$1^-1 ?2 + |
Jx |
2 |
а |
|
р |
|
|
, гг £я2|-ф3(г) Ф1(г)1,„ I о |
Е Гфз(^) |
, |
$10) |
р , ор |
+ |
---------- TF2+Qo24 |
« |
+ |
|
]?2- (2-182) |
В оболочке центроплана нормальные напряжения найдем из выражения (2.118)
Раскрывая последнее выражение при помощи формул (2. 145), (2. 149) и табл. И, получим
° (г, s) = + Е*о -Д- {а [аф4 (г) + Ф2 (г) ] —
Jx ^ар
- Й*Ф2 (г) - ёФ4 (5)]} |
{(а3- 3<) Н (г) 4- |
Фиг. 85. Графики распределения нормальных •нап!ряжен1Ий и результаты ' эксперимента.
В заключение покажем, какое влияние оказывает учет упругости нервюр при расчете стреловидных кессонов на величину и характер распределения нормальных напряжений по переднему и заднему лон жеронам кессона, изображенного на фиг. 81. Материал кессонов — дуралюмин.
Вначале определим нормальные напряжения от изгиба попереч ной силой Р=750 кг по формуле (2. 22), считая поперечные сечения оболочек недеформируемыми. Графики распределения найденных нормальных напряжений по переднему и заднему лонжеронам по казаны на фиг. 85 пунктирными линиями. Затем вычислим нормаль ные напряжения по формуле (2. 183), учитывая упругость нервюр. ■Графики этих напряжений показаны на фиг. 85 сплошными линиями. Крестиками нанесены результаты эксперимента. Сопоставляя гра фики нормальных напряжений, видим, что упругость нервюр оказы вает сильное влияние на величину нормальных, напряжений в. корневой части стреловидного кессона, особенно в области корня переднего лонжерона.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
СТЕСНЕННЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ МНОГОЗАМКНУТЫХ КЕССОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В третьей части дается решение задачи о стесненном изгибе и кручении четырехзамкнутых кессонных конструкций. Рассматри ваемая проблема описывается системой семи дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Дается методика реше ния этих уравнений. Анализ решения позволяет подойти к задаче более простым путем, а именно —• аппроксимировать депланацию сечений одной функцией. Такой подход к задаче приводит к простому решению и позволяет получить формулы, пригодные для расчетной практики в конструкторских бюро и на заводах.
Исследуется влияние некоторых геометрических характеристик оболочки на величину бимоментных напряжений.
Теоретические расчеты подтверждены экспериментальными дан ными.
Глава XI
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КЕССОННОЙ КОНСТРУКЦИИ, ИМЕЮЩЕЙ ЧЕТЫРЕХЗАМКНУТЫЙ КОНТУР ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
§ 25. Дифференциальные уравнения изгиба и кручения четырехзамкнутой кессонной конструкции
Рассмотрим четырехзамкнутую кессонную конструкцию (фиг. 86). Поперечное сечение оболочки имеет следующие геометрические ха рактеристики: d\—высота вертикальных пластинок, d% — ширина горизонтальных пластинок каждогоконтура оболочки, S] ■— толщина вертикальных пластинок, S2 — горизонтальных. Оболочка подкре плена жесткими в своей плоскости нервюрами и продольными эле ментами с площадью поперечного сечения АГ. Как видно из фиг. 86, поперечное сечение оболочки обладает двумя осями симметрии: вертикальной и горизонтальной.
Пусть на оболочку, заделанную одним концом, действуют попе речные силы и внешние распределенные и сосредоточенные крутящие моменты. При таком нагружении оболочка будет претерпевать де-
формации изгиба и кручения. Представим продольные и поперечные перемещения какой-либо точки в форме
и (z, s)=U1(z) cpj (s) + U2 (г) <p3 (s) + U3 (z) <f3 (s) +
4-t/ls(2)?IA(S) + t/2ft(2)?2S(S); |
(3.1) |
v (z, s) = V, (г) <|>1 ($) + V2 (z) ф2 (s), |
(3.2) |
где обобщенное продольное перемещение lh(z) вместе с выбранной функцией cpi(s) (фиг. 87, а) представляет угол поворота сечения
Фиг. 86. Расчетная модаль -многозамкнутой оболочки и схема нагружения.
г=const относительно! оси Ох и соответствует закону плоских се чений. Желая уточнить теорию изгиба оболочек, построенную на гипотезе плоских сечений, вводим дополнительные компоненты де планации в виде С72Сг)ф2($) и С73(г)фз(«). Эти компоненты будут отражать депланацию сечений при изгибе четырехзамкнутой оболоч ки поперечной нагрузкой. Искомые обобщенные перемещения C7u(z) и U№(z) вместе с выбранными функциями <pis(s) и ф2й. ($) представляют обобщенные депланации сечения z=const при кру чении.
Искомые обобщенные поперечные перемещения Vi(z) и
при выбранных функциях ф1 (s) иф2(5) представляют соответственно поступательное перемещение (прогиб) сечения 2=const в вертикаль ном направлении и угол поворота всего поперечного сечения отно сительно' оси оболочки Oz.
Выбор аппроксимирующих функций Функцию ф1 (s) принимаем в виде (фиг. 87, а)
?1(s)=j/(s). (3.3)
Фиг. 87. Эпюры аппроксимирующих функций при изгибе.
Для построения обобщенных координат фг(«). и фз(«) выберем предварительно две функции ф°2(х) и ф°з(х), которые отражают воз можные продольные перемещения сечения оболочки z—const при депланации. Эти функции показаны на фиг. 87, биг.
Первую функцию депланации ф2(«) примем в таком виде (фиг. 87, в):
?2(s) = ?2(s) + v1?1(s), |
(3.4) |
где коэффициент ортогонализации v, определяется из условия ор тогональности функций fyy^dF—O и имеетзначение
й2(,-|/71 + 4/72 + 4дЙ.
------ 7Т--------------- |
г4’ |
( |
Д \~2F1 + 2f2 + ^^J
где F1 = d1^1; F2=d£>2.
Вторую функцию депланации изгиба ф3($) возьмем в форме
|
?з (s)=<Рз (5) + ЭД (s) + v3<pg (s), |
(3. 6) |
где коэффициенты ортогональности v2 и v3 |
определяются из |
усло |
вий <£ ср!<р3dF = 0, |
ф.чурз<//•'== 0 и имеют выражения: |
|
|
Fl + 4/д + 4ДД |
|
|
+ + |
|
V2 |
<5 |
5 \ |
|
Й1(2Л!+]1Л+ |
(3-7) |
/ |
|
|
д(2/т+-л+-а/) |
|
|
|
2 |
, |
/Л, |
\ |
|
|
О |
2-^2 4-1^2 |
( |
+ Тд |
+ 2ДЛ ). |
|
|
О |
|
\ |
О |
/ |
(3. 8) |
4 |
32 |
\ |
|
/2 |
: |
2Дj-}- g Д2-ф 12ДЛI |
|
g F[ -J- 4Л2 ~г 4ДД |
|
Функция <рз(«) |
показана на фиг. |
|
87, д. |
|
|
Выбранные нами функции <pi(s), $2(s) и ф3(«) ортогональны друг другу. Обобщенную поперечную координату фДв) определяем следующим образом (фиг. 87, е):
Ф1(«)=У(я). |
(3.9) |
Производные от функций Ф1(в), ф2(х) |
и ф3($) построены на |
фиг. 88. |
|
Аппроксимирующие функции депланации кручения ф1гс($) строим |
в такой форме (фиг. 89): |
|
'Fife (s) = х (s)у (s). |
(3.10) |
Для построения обобщенной координаты <p2i (s) выберем пре
дварительно функцию ^(5), как показано |
на фиг. |
89,6. Тогда |
вторая функция депланации при кручении |
cp2s (s) |
представится |
так (фиг. 89, s): |
|
|
'•fzk (S) ~(p2i (s) + V4<p]ft (s). |
|
(3.11) |
