книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ |
53J |
ВРАЩЕНИЕ ШАРА |
239 |
|
|
§ 53. Вращение шара в неограниченной |
|
|
|
неподвижной среде |
|
|
Как уже указывалось, развитая выше теория неприменима |
||
к |
случаю, когда ы/д)> 0,815, т. е. к случаю |
вращения тел |
|
в |
неподвижной среде. Поэтому представляет |
интерес рас |
|
смотреть |
приближенное решение Хоуартаг) для вращающе |
||
гося в неподвижной среде шара. С учетом того, что в слу чае шара радиуса Rm
R (х) = Rm sin 9, —— — cosS, x = Rm§,
система уравнений (8.1) для неподвижной среды ^-^- = 0
примет вид: |
|
|
|
|
1 ди . |
dw . |
и , |
„ |
п |
и ди , |
ди |
Vs |
. а |
д2и |
|
|
|
|
(8.51) |
и dv , |
dv , |
UV , |
а |
d’-v |
тг.гг+тг+^,> = dz2
Заметим, что в случае шара величина z для данной точки есть разность между расстоянием г данной точки от центра
шара и радиусом |
шара: z — r — Rm. |
полюса (& = 0) приме |
||
Для определения |
решения вблизи |
|||
ним |
разложение |
в |
ряд по степеням |
&, введя аналогично |
диску |
новую переменную |
|
||
Таким образом, будем иметь ряды:
v = Rm«> [WH-&3O3+ • • ■],
w = |
+ . . .]/ |
1) Howarth L., Note on |
the boundary layer on a rotating |
sphere Philos. Magazine, t. 42, № 334, 1951.
240 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Подставляя (8.52) в (8.51) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях 0, получим для первых шести функций следующие уравнения:
2F1G1-^H1G'1 = G'', |
(8.53) |
2F1-|-/7' = 0; |
|
4/^3 + F'W3 + F'^ +4 G] - 2OA = F", |
|
2FsGt + 4F1G3 + Я3О; + H.G' — ± F& = G'', |
(8.54) |
|
|
4F3 + W' —|Л = О, |
|
где штрихи обозначают дифференцирование по |
перемен |
ной С. |
|
Граничными условиями задачи, как нетрудно проверить,
будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 = F'3 = 0, ^=1, |
G3 = —i- |
|
|||
|
|
Я1 = 0, |
Я3 = 0 |
при |
С = 0; |
(8.55) |
|
|
|
|
|||||
|
|
Gt — О3=7\ = F3 = 0 |
при |
оо. |
|
||
Как видно, уравнения (8.53) есть уравнения Кармана (2.7) |
|||||||
для вращающегося диска. Поэтому |
можно воспользоваться |
||||||
для |
них |
решением |
Кокрэна |
(§ |
4), |
а затем, |
подставив их |
в (8.54), найти функции F3, G3, Hs. |
|
|
|||||
Однако ввиду сложности системы |
(8.54), а |
также ввиду |
|||||
того, |
что |
ее решение дает результат лишь для узкой области |
|||||
у полюсов, имеет смысл попытаться разыскать приближенное
решение, справедливое для |
всех значений |
& от 0 до |
С этой целью применим |
интегральный |
метод Кармана *). |
Проинтегрируем второе уравнение системы (8.51) вдоль толщины пограничного слоя с учетом первого уравнения и граничных условий; тогда получим:
S*
~J‘u2dz-\- I'(zz2 —r>2)ctg 8-dz= —(8.56)
оо
!) См. сноску на стр. 15.
§ 53] |
ВРАЩЕНИЕ ШАРА |
241 |
Аналогично из последнего уравнения (8.51) |
найдем: |
|
S |
8 |
|| |q . (8.57) |
У uvdz-^2 fan ctg 8 dz = — |
||
оо
Заметим, что эти интегральные соотношения можно также получить методом, примененным в § 15.
Если следовать методу Кармана для вращающегося дисках), то нужно представить составляющие скорости в виде
и = Л (£ —— 3£3 —2|4) — |
sin 8 cos 8 Q- ? — £3 + 4^)- |
||||||||||
v = wRm sin 8 f 1 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = I'z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.58) |
Они удовлетворяют граничным условиям: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
СП |
|
а |
<Э2И |
|
<s>^Rm ■ |
о |
в |
|
|||
при£ = 0 |
и = 0, |
-515-=----------- — sin 8 cos 8, |
|
||||||||
Г |
|
|
О;2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
. 0 |
|
d”-v |
|
п |
|
|
|
|
|
•u = (D#msin8, |
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|||
, |
и |
п |
du |
„ |
|
|
|
„ |
dv |
п |
|
при £=1 |
0, |
-= = 0, |
11 = 0, |
*-= |
= 0. |
|
|||||
г |
|
|
<75 |
|
|
|
|
|
OZ |
|
|
Написанные здесь |
граничные |
условия |
для второй |
произ |
|||||||
водной следуют |
непосредственно |
из |
|
уравнений |
(8.51). Зна |
||||||
чение А есть з(-^М . Величины Ли 8 — неизвестные, |
кото- |
||||||||||
\ |
dz /о |
|
|
|
|
|
|
соотношений (8.56) |
|||
рые нужно определить из интегральных |
|||||||||||
и (8.57). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если, далее, обозначить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л = |
|
sin 8 cos 8, |
|
8 = (-^02k, |
|
(8.59) |
|||||
то задача сведется к |
определению новых неизвестных / и к. |
||||||||||
В случае вращающегося диска |
(§ |
|
16) |
ясно, что |
|
||||||
аа
*J v2 dz J и2 dz,
оо
!) См. сноску на стр. 15.
16 Зак. 944. Л. А. Дорфман
242 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
5
следовательно, можно пренебречь членом J и2 dz по сравне-
|
s |
0 |
|
|
нию с |
v2 dz. Поэтому попытаемся и для |
случая |
шара |
|
|
о |
г |
|
|
пренебречь величиной *J |
|
|
||
и-dz в интегральном |
соотношении |
|||
(8.56). |
о |
соотношения |
|
|
Из полученного |
|
|
||
|
а |
|
|
|
|
О |
|
|
|
находим: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(8.60) |
|
Х= /(1 — -^ + -1^ = 0,2357. |
|||
О
Используя это значение /, получим из (8.57) уравнение
+ 2 ctg &) (0,00864 sin2 8- cos 8Х3) = JL sin 8,
так что
sin 8 cos 8 -|- (4 cos2 & — sin2 8) X4 = 173,6,
или
-^■\sin3 8cos3 8X4} = 231,5 sin 3 8cos38, |
(8.61) |
откуда получим окончательно для величины X значения
9 13 |
i |
(8.62) |
—is""1’5 4 y>sin®8cos38 J8. |
||
sin3 8 cos3 8 о
Для малых & это соотношение должно давать результат, близкий к значениям для вращающегося диска. Действительно, при малых 8 получаем Х4 = 43,4 и
Х = 2,57, |
= 0,61 |
^ — 0,58-^, |
\ oz /0 |
.//, |
\дг/0 |
v7a |
§ |
53] |
ВРАЩЕНИЕ ШАРА |
243 |
в |
то время как у |
Кокрэна, уточнившего |
решение для диска |
по методу Карманах), соответствующие коэффициенты имеют близкие значения: 2,59; 0,54 и —0,54.
Таблица 16
Значения характерных величин для пограничного слоя вращающегося шара
(по Л. Хоуарту)
|
|
и max |
V max |
|
8 |
|
9 |
X |
Hmax |
—Цг fud!! |
|
||
|
'tn |
%ax |
(com) /2 J |
(<OV)V2 |
||
|
|
|
R се |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2,57 |
0,000 |
0,000 |
0,22 |
0,000 |
0,62 |
10 |
2,58 |
0,039 |
0,174 |
0,22 |
0,054 |
0,62 |
30 |
2,74 |
0,110 |
0,500 |
0,22 |
0,164 |
0,60 |
50 |
3,12 |
0,127 |
0,766 |
0,21 |
0,276 |
0,56 |
70 |
4,06 |
0,180 |
0,940 |
0,19 |
0,395 |
0,50 |
80 |
5,28 |
0,161 |
0,985 |
0,16 |
0,459 |
0,44 |
90 |
СЮ |
0 |
1,000 |
0,00 |
0,497 |
0,00 |
Значения к, вычисленные по формуле (8.62), даны в таб лице 16. Формулы (8.58) при этом значении / = 0,2357 полу чают вид:
т,„,и»1о8» = (0.23576—0.564- 0,2929?- 0*.)02866.
V
Rm<s> sin ft = 1 — 1,5=-|- 0,5£3,
(8.63)
где Хо есть значение X при 8- — 0 (Xq = 2,57). Соответствующие значения этих величин даны в таблице 17. Как видно, про фили скоростей и к и сохраняют свой вид вдоль шара, изме няются лишь масштаб и амплитуда. Максимальное значение первой из величин (8.63) равно 0,22, второй—Г. Изменение
максимальных значения |
и |
и v (мтах и |
•итах) |
представлено |
||
в таблице 16; там же дано и их отношение. |
|
|
||||
Интегрирование |
первого |
соотношения |
(8.63) |
дает |
|
|
|
8 |
и dz = 0,0184Х3 sin ft cos ft, |
(8.64) |
|||
------!—ц- |
/* |
|||||
vо
1)См. сноску на стр. 16.
16*
244 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
а из уравнения неразрывности |
[первое уравнение (8.51)] |
8 |
6 |
fudz+
оо
где т»5 — значения ту на внешней границе пограничного слоя. Используя (8.64), найдем:
w8 = — 0,0184 (wv)/a |
(к3 sin $■ cos (1)-f-к3 cos2D |
=0,0184(<jr>)11 £ (2 cos2&— sin2&) k3-|- -^-sin&cosS-^jJ,
иокончательно с учетом (8.61) получим:
w5 |
л люи / |
?/а 173,6 — 2k4COS2& |
(8.65) |
||
— — 0,0184 (wv)/a—I---- г------------. |
|||||
|
|
|
|
к |
|
Эти значения даны в |
последнем столбце таблицы |
16. |
|||
|
|
|
|
Таблица 17 |
|
Распределение скоростей по сечению |
|
||||
пограничного слоя вращающегося шара |
|
||||
|
(по Л. Хоуарту) |
|
|||
|
6 |
|
“'о |
V |
|
|
|
sin cos 9 |
sin & |
|
|
|
|
|
|
||
|
0,0 |
0,0000 |
1,0000 |
|
|
|
0,1 |
0,1246 |
0,8505 |
|
|
|
0,2 |
0,1944 |
0,7040 |
|
|
|
0,3 |
0,2205 |
0,5635 |
|
|
|
0,4 |
0,2133 |
0,4320 |
|
|
|
0,6 |
0,1386 |
0,2080 |
|
|
|
0,8 |
0,0450 |
0,0056 |
|
|
|
1,0 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
Из формулы (8.62) |
вытекает, |
что к (следовательно, и 8) |
|||
в окрестности |
экватора |
(0 = -/2) |
имеет вид ccos~/a&, т. е. |
||
уже нельзя пренебрегать |
первым |
членом (8.56), и |
поэтому |
||
полученное решение неприменимо для этой области. Однако природа особенности решения при & = тс/2 такова, что реше ние неприменимо лишь в узкой окрестности экватора, где так
§ 54] ВРАЩАЮЩИЙСЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫЙ ЦИЛИНДР 245
или иначе имеется взаимодействие течений из обоих полу
шарий. |
Интегральные же величины |
являются достоверными. |
||||||||
Из (8.63) |
следует, |
что в пограничном |
слое |
при & -> тг/2 |
||||||
л |
v |
1 |
то время как |
/ ди \ |
„ |
/ dv \ |
|
-■* |
_ |
О, |
и —> 0, |
-н------ > 1, в |
\ dz Jo |
—> 0, |
\ dz |
Jo |
|
||||
|
/?от® |
|
r |
|
|
|
|
|||
т. е. решение вблизи экватора представляет собой нечто
подобное отрыву. |
Заметим, что |
стремление |
и к |
нулю при |
|||
|
|
|
|
|
|
з |
|
&—>л/2 |
как будто |
противоречит тому, |
что *J |
и dz |
не равен |
||
нулю при & = к/2. |
В действительности |
о |
|
|
|||
же из условия сим |
|||||||
метрии |
не может |
быть |
протока |
через |
плоскость |
экватора, |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
поэтому |
2л/? J* adz при |
& = л/2 |
есть |
по сути дела поло- |
|||
о
вина количества жидкости, которое отходит от шара вблизи экватора; оно равно притоку жидкости в пограничный слой по поверхности полушария.
§54. Вращающийся полубесконечный цилиндр
воднородном потоке
Другим примером задачи об осевом обтекании вращаю щегося осесимметричного тела, который не охватывается
решением Шлихтинга (§ 48—51), |
является обтекание одно |
родным потоком со скоростью в |
бесконечности U вращаю |
щегося полубесконечного полого |
цилиндра, ось которого |
ориентирована вдоль потока1).
Уравнения (8.1) в этом случае примут вид:
|
ди |
, |
dw__ „ |
|
|
дх |
' |
dz |
’ |
dv |
, |
dv |
д-v |
|
и -з---- H w |
-jr- = v-s-s-. |
|||
dx |
1 |
dz |
dz?- |
|
Первые два уравнения имеют такой же вид, как уравне
ния движения при плоско-параллельном обтекании |
плоской |
1) См. приложение к цитированной выше работе |
Хоуарта |
(сноска на стр. 239). |
|
17 Зак. 944. Л. А. Дорфман
246 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
пластинки. Так как и граничные условия совпадают с гра ничными условиями для плоской пластинки, то составляю щие и и w вектора скорости определяются из решения для пограничного слоя плоской пластинки1). Величина ujU пред ставляется в виде
(8.67)
где функция ср удовлетворяет дифференциальному уравнению
^"4-^ = 0 |
|
(8.68) |
|
с граничными условиями: |
|
|
|
Ср = ср' ----- 0 |
При 7] |
--- 0, |
|
< р' = 2 |
при |
т] —> со. |
|
Значения функции u/U протабулированы2). |
|
||
Для составляющей w получается |
|
|
|
w = |
(W'—?)• |
(8-69) |
|
Окружная составляющая v определится по известным зна чениям и п w согласно последнему уравнению (8.66) при
граничных условиях: |
|
|
|
|
• |
и = 0 |
при |
z = оо, |
|
< |
u = cbR |
при |
2 = 0. |
|
Нетрудно проверить, что |
решением будет |
функция |
||
|
v = ±u>R(2 — <f'). |
(8.70) |
||
Действительно, после подстановки величин (8.67), (8.69) и (8.70) в последнее уравнение (8.66) возвратимся к уравне нию (8.68).
Составляющие поверхностного трения будут равны
1 |
j |
тга. = 0,332Р(^-)2 , % = —0,332Р(о/?(-^)2. (8.71)
!) Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, 1957.
5) См. там же.
§ 55] |
ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ |
247 |
Таким образом, вращение не оказывает влияния на сопро тивление цилиндра потоку. Эта тенденция наблюдалась при опытах Визельсбергера для цилиндра конечной длины (см. рис. 109) даже при наличии торца.
Момент, необходимый для поддержания вращения участка цилиндра длины L, равный моменту трения
M = JГ 2^zyI^dx= l,32827tP<o7?3(^f/)2.
о
Если теперь определить коэффициент момента по фор муле (8.42), то получим выражение
~= • 1>3282|/"А=8,346]ЛА-. (8.72)
Как и следует ожидать, при больших значениях L/R эта формула дает результат, близкий к случаю обтекания вра щающегося полутела, как нетрудно проверить по рис. 107 (стр. 234).
§55. Влияние сжимаемости
Вслучае осевого обтекания вращающегося тела сжимае мым газом уравнения движения в пограничном слое прини мают следующий вид:
|
|
-^-(Р^«) + -^(Р^) = О, |
|
(8.73) |
||||
( ди |
v^ dR . |
ди \ |
|
.. dU . |
д ( |
ди \ |
, |
|
р\“ дх |
R |
dx^ W dz)~^U~dT^~ 1)1 |
|
<8-74) |
||||
|
r |
дх |
1 |
dz |
dz L' |
dz |
J |
' |
Уравнение энергии можно записать следующим образом:
I |
dl . |
di X |
, |
|
|
|
,, |
dU |
|
|
|
|
|
Р ( ч |
дх |
F -тг- + |
r°° |
—г~ - |
|
|
|
|
|||||
' \ |
1 |
дг) |
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
д |
I |
|
д! \ . |
[7 ди \2 |
/ dv \2Ч |
J ' |
(8-76) |
|
|
|
|
Р |
|
|
dz |
V |
dz |
dz ) |
\ дг ) |
|||
|
К этим уравнениям следует еще присоединить уравнение |
||||||||||||
состояния |
|
|
|
|
|
6 — 1 |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.77) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?1 = Р |
|
|
|
17*
248 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
и уравнение зависимости вязкости от теплосодержания (тем пературы)
Во внешнем потоке уравнение энергии имеет вид:
Лео — Zoo + -j U2 — const.
В случае, |
когда число Прандтля равно единице: Р=1, |
|||||
можно просто |
найти частное |
решение *) |
системы уравнений |
|||
(8.73)—(8.78), |
подобно тому |
как |
это |
было сделано |
в § 21. |
|
ГТ |
|
/О |
ТЕХ |
на |
v 4- |
сложим |
Для этого умножим уравнение (8.75) |
—1ъ—, |
|||||
с уравнением |
(8.74) и с уравнением |
энергии, разделенным |
||||
на и. Тогда после элементарных преобразований получим следующее уравнение:
pw(z+4zz2+l^+fe/?4+
+ Р IT i (z +1и2 + 4v2 +kRwv) =
=Tir(z+T“2+4t’2+A/?(OV)- (8-79)
частным решением которого является
Z-|-y (//2 +'П2)+= const. |
(8.80) |
Для того чтобы это решение было справедливо для обеих границ пограничного слоя, необходимо выполнение равенства
/со + |^ = (л + |)«)2/?2 + /от, |
(8.81") |
где г’ст есть значение теплосодержания на стенке.
Равенство (8.81) означает, что найденное решение спра ведливо только при параболическом изменении с радиусом R теплосодержания поверхности. Произвольная постоянная k выбирается в соответствии с конкретными условиями тепло отдачи.
i) Sc h eng То С h u, Т if f о г d A. N., The compressible lami nar boundary layer on a rotating body of revolution, JAS, № 5, 1954.