книги из ГПНТБ / Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов
.pdfэлемент слева), и притока воды сверху за счет инфильтрации ат мосферных осадков, равного W-dt-dx (здесь W — интенсивность инфильтрации, или количество воды, просачивающейся сверху на единицу площади распространения грунтовых вод, в единицу вре мени). В общем случае интенсивность инфильтрации может быть переменной во времени и по площади.
w
Рис. 19. Элемент грунтового потока в условиях неустановившейся фильтрации
За тот же промежуток времени dt отток воды из выделенного элемента через грань 2 будет равен q2dt (здесь q2— интенсивность оттока воды из элемента). При неустановившейся фильтрации грунтовых вод в элементе потока происходит изменение объема во ды за счет разности между притоком и оттоком воды за время dt. Это изменение dV можно определить, используя следующее выра жение:
dV = (qidt + W d x d t)— q2dt = (qi -{-Wdx — q2)dt. (11,79)
Изменение объема воды в элементе потока находит выражение в изменении уровня грунтовых вод (либо повышение, либо пониже ние уровня в зависимости от соотношения притока и оттока воды). Величина изменения уровня воды в элементе потока dH, произошел-
шая за время |
dt, определяется выражением dH = |
ÔH |
( |
здесь |
----- dt \ |
||||
, |
|
dt |
' |
|
dH |
изменения уровня). Объем воды, вызвавший |
изме |
||
— — скорость |
нение уровня dH в элементе потока, может быть выражен через ве личину dH и объем порового пространства той части элемента по-
тока, в пределах которой произошло изменение уровня. Тогда
|
дН_ |
(11,80) |
dV = |
|ЛHt dt-dx. |
|
В приведенном выражении |
(II, 80): ц — водоотдача |
(или недос |
таток насыщения), характеризующая способность единицы объема пористых горных пород отдавать или принимать воду при их осу-
дН
шении (или н а с ы щ е н и и ) dt-dx-1 — объем части выделенного
элемента потока (при ширине его В = 1 м). |
|
|
|||
Сопоставляя выражения |
(11,79 и 11,80), получим уравнение ба |
||||
ланса воды для выделенного элемента потока: |
|
||||
(<7і -+- W dx |
— Яг) dt |
[X |
dH |
л |
(11,81) |
|
at • их. |
В уравнении (11,81) величина притока воды q\ может быть опре делена, как единичный расход грунтового потока, т. е. потока ши
риною в 1 м, отвечающего закону Дарси |
в дифференциальной |
форме |
|
qi — — kh — -. |
(11,82) |
Величина q2 может быть выражена через расход q\, поступаю щий в элемент потока через грань 1 плюс приращение единичного расхода dq1, происходящее за время dt на пути dx (в пределах вы деленного элемента), т. е.:
Яг = <7і + |
dqi — qi + ^ |
dx. |
(11,83) |
||||
Учитывая выражение (11,82) |
для qi |
и о п р е д е л я я п е р е п и ше м |
|||||
уравнение (11,83) так: |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
, dqi |
J |
,, |
dH |
d t |
(І д Н \ |
, |
|
Яг = Яі + — |
dx — — kh —----h |
I ~ k h —— I dx = |
|||||
ох |
|
|
дх |
дх ' |
дх ' |
|
|
= |
,, дН |
, д ( |
дН\ _, |
(11,84) |
|||
— k h —----- k — \ h - — )dx. |
|||||||
|
дх |
|
дх ' |
дх ' |
|
||
Подставляя теперь значения q\ |
и q2 из уравнения |
(11,82 и 11,84) |
|||||
в уравнение баланса |
(11,81), получим: |
|
|
|
|||
( - k h ^ + W d x - \ - k h — - k — ( h — ) d x ] \ dt = |
|||||||
дх |
L |
|
дх |
длЛ |
дх ' |
|
|
|
= |
дН |
, |
, |
|
(11,85) |
|
|
ц — |
dt-dx. |
|
Раскрыв скобки и произведя сокращения (11,85), найдем:
(П,86)
Полученное уравнение является основным дифференциальным уравнением, описывающим одномерную неустановившуюся фильт рацию грунтового потока в однородной пористой среде при нали чии инфильтрационного питания, и называется уравнением Буссинеска.
Аналогичным образом может быть получено уравнение Буссинеска для двухмерного планово-плоского потока грунтовых вод при неустановившейся их фильтрации в однородной среде. При нали чии глубинного питания грунтового потока за счет поступления во ды из нижележащего напорного водоносного горизонта №ГЛ) оно также учитывается в дифференциальном уравнении: ■
*^('1^г)+^ (',5г) +"7+Гг" =|г5Г- ("'87)
Если фильтрационная среда неоднородна, то в дифференциаль ном уравнении, описывающем неустановившуюся фильтрацию грун тового потока, величина коэффициента фильтрации k будет нахо диться под знаком дифференциала. Тогда с учетом того, что kh = T представляет собой водопроводимость пласта, дифференциальное уравнение (11,87) примет соответственно вид:
д |
дН |
|
дх(Т |
W + Г гл = |1 dt |
( 11,88) |
Аналогичным образом видоизменяется и уравнение для одномерной фильтрации (11,86):
-( r^) + r + r „ = Æ (11,89)
дх '
При отсутствии инфильтрационного и глубинного питания грун товых вод, т. е. когда поток грунтовых вод изолирован в разрезе, в дифференциальных уравнениях принимается W —0 и Ц7ГЛ = 0. На пример, для одномерной неустановившейся фильтрации потока грунтовых вод при отсутствии инфильтрационного и глубинного пи тания получим:
И т |
— |
\ = |
— |
(П,90) |
дх'' |
дх |
' |
^ dt |
|
При горизонтальном залегании водоупорного ложа (і = 0) зна чения напоров можно отсчитывать от водоупора, т. е. принимать их равными мощности потока H = h, что находит отражение и в диффе ренциальных уравнениях. Так, например, для одномерной неуста новившейся фильтрации потока грунтовых вод при горизонтальном
водоупоре уравнение Буссинеска примет вид:
д ( |
дh \ |
dh |
(11,91) |
|
k — |
h — |
J = |
p — ■. |
|
dx |
dx |
' |
^ ât |
|
При установившейся фильтрации потока грунтовых вод уровень его в каждом данном сечении остается неизменным во времени, в соответствии с чем дифференциальные уравнения неустановившей ся фильтрации будут справедливы для установившейся фильтрации,
дН
если в них принять р = 0. Так, например, для плановой уста»
новившейся фильтрации грунтовых вод основное дифференциаль ное уравнение получается из уравнения (11,88) при равенстве пра вой части нулю:
W — 0. |
(П,92) |
Для потока с постоянной водопроводимостью |
Т = const уравне |
ние (11,92) после вынесения Т за знак дифференциала приобретает вид:
д2Н д2Н W
(11,93)
дх2 ду2 Г
При отсутствии инфильтрационного питания уравнение (11,93) переходит в обычное уравнение Лапласа для двухмерного плоского потока:
д2Н дЧІ
(11,94)
дх1 дуг
Для случая неустановившейся фильтрации потока напорных вод в условиях упруговодонапорного режима основное дифференциаль ное уравнение может быть получено любым из отмеченных выше методов. При пространственном характере потока оно имеет сле дующий вид:
/ д 2Н |
д2Н |
д2Н \ |
дН |
' дх2 |
ду2 |
dz2 |
» (11,95) |
dt |
|||
где и — коэффициент пьезопроводности, |
характеризующий ско |
рость перераспределения напоров при упругом режиме фильтрации напорного потока. Значение коэффициента пьезопроводности опре деляется по формуле:
km |
T |
Т |
р* |
р* |
(П,96) |
ymß* ’ |
где р* — упругая водоотдача или по аналогии с безнапорными во дами— коэффициент водоотдачи напорного пласта в условиях уп ругого режима; величина безразмерная;
ß*— коэффициент упругоемкости пласта, учитывающий одно временно упругие свойства подземных вод и вмещающих их горных
пород; он показывает, какое количество воды высвобождается из единицы объема пласта при понижении давления на единицу (на 1 атм или на 1 м)\ по В. Н. Щелкачеву величина коэффициента упругоемікости определяется выражением:
|
ß* = |
ttß>K |
ßnn> |
(П,97) |
|
где п — пористость пласта; |
объемной упругости |
соответственно |
|||
ßjK и ßnn — коэффициенты |
|||||
жидкости и пласта. |
(11,97) |
коэффициент пьезопроводности |
|||
G учетом выражения |
|||||
можно определить по формуле: |
|
|
|
||
km |
km |
k |
(11,98) |
||
ц.* |
ymß* |
y(nß» + ßnn) |
|||
|
Размерность коэффициента пьезопроводности обычно прини мается м2/сут, порядок числовых значений чаще укладывается в пределы 104-f-107 м21сут. Надежное определение значений коэффи циента пьезопроводности осуществляется только на основе полевых опытно-фильтрационных работ.
При изучении и оценке условий движения подземных вод к сква жинам основные дифференциальные уравнения фильтрации выра жают в других системах координат, что обеспечивает более простое получение их решений. Так, например, радиальные потоки безна порных и напорных подземных вод к скважинам при неустановив шемся режиме фильтрации описываются соответственно следующи ми двумя уравнениями Буссинеска:
/ d2h |
1 dh\ |
і + ^ - |
dh |
a \T r* + ~ 'T r > |
(11,99) |
||
И- |
'H t' |
||
1 |
дН \ |
, идл |
dH |
\ дг2 1 г |
дг ) |
л |
(11,100) |
~ dt ’ |
в которых h и Н — соответственно мощность грунтовых вод и напор артезианских вод в любой точке .потока с координатой г = уxz -f- у2;
остальные обозначения прежние.
Вывод основных дифференциальных уравнений фильтрации под земных вод к скважинам обстоятельно изложен в работах (28—30, 67, 94 и др.].
Анализ и сопоставление дифференциальных уравнений, описы вающих фильтрацию подземных вод напоірных и безнапорных потоков, показывает, что они однотипны по своей структуре, отлича ются лишь смысловым значением отдельных входящих в них пара метров. Дифференциальные уравнения, характеризующие фильтра цию грунтовых вод, обычно являются нелинейными. Нелинейность их заключается в том, что мощность потока /г, а в общем случае и водопроводимость T = kh, входящие под знак дифференциала, яв ляются величинами переменными, зависящими от положения уров-
ня воды Н. Зависимыми от положения уровня подземных вод могут оказаться и такие характеристики, как питание грунтовых вод {W и №гл) и их водоотдача р. Однако для многих исследуемых участков влияние нелинейности дифференциальных уравнений на точность практических расчетов оказывается несущественным и его можно не учитывать. Для таких участков исходные нелинейные диф ференциальные уравнения приводятся к линейным (линеаризуют
ся) .
Наиболее распространенным способом линеаризации является осреднение значений водопроводимости пласта в пространстве и во времени. Так, например, принимая предпосылку r = const (или в частном случае /і = const), основное дифференциальное уравнение неустановившейся одномерной фильтрации грунтовых вод (11,86) можно привести к линейному виду:
kh d2H W dH
( 11, 101)
р дхг р |
dt |
kh
где— = CL представляет собой параметр, характеризующий ско'
рость изменения уровня в потоке грунтовых вод в процессе неуста новившейся фильтрации. Если выражать k в м/сут, h в ж, то раз мерность коэффициента уровнепроводности будет м21сут. Значения этого параметра определяются обычно в пределах 103н-104 м2/сут.
С учетом выражения для названного параметра уравнение (11,101) сводится к известному классу уравнений типа Фурье:
д2Н W _ д Н
(II,102)
дх2 ц dt
которое для двухмерной плоско-плановой фильтрации имеет вид:
/ д2Н д2Н \ |
W _ |
дН |
' дх2^~ ду2 ' |
|
(П.ЮЗ) |
р |
dt |
Уравнения (11,95), (11,102), (11,103), к которым могут быть при ведены и другие дифференциальные уравнения, относятся к классу хорошо изученных линейных дифференциальных уравнений парабо лического тапа и для их решения широко используется богатый ап парат математической физики. При этом, поскольку пьезометриче ский напор (и другие включающие его функции) (подчиняется урав нению Лапласа, являясь гармонической функцией, то все свойства уравнения Лапласа широко используются и в динамике подземных вод ери решении различных гидрогеологических задач. К числу та ких наиболее важных свойств следует отнести следующее: любые комбинации частных решений уравнения Лапласа являются его об щим решением. Отсюда вытекает возможность использования при отыскании решений метода суперпозиции (наложения течений). В сложных гидрогеологических условиях можно раздельно учиты вать влияние на условия фильтрации различных факторов, а резуль
тат находить как сумму воздействия всех факторов. Вместо рассмот рения полной функции (например, напора) можно рассматривать только изменения функции во времени, а результат находить как сумму неизменного и переменного полей.
Основные дифференциальные уравнения фильтрации характе ризуют лишь общие закономерности поведения уровня подземных вод в тех или иных условиях. Количественная оценка условий фильтрации, определение отдельных ее показателей (напоры, расхо ды, скорости движения подземных вод), степень и характер влияния на условия фильтрации естественных и искусственных факторов и другие задачи могут быть выполнены только на основе решения ис ходных дифференциальных уравнений. В результате решения диф ференциальных уравнений получают аналитические или экспери ментальные зависимости, которые характеризуют особенности фильтрации в конкретных гидрогеологических условиях и позволя ют проведение количественной оценки всех ее показателей.
Решение дифференциальных уравнений в общем случае в основ ном сводится к их интегрированию различными методами. При этом, как следует из теории дифференциальных уравнений, единст венное, отвечающее тем или иным конкретным условиям решение может быть получено только при задании условий однозначности решения. В содержание однозначности, обеспечивающей единствен ность решения дифференциальных уравнений и получение количе ственной характеристики условий фильтрации в конкретной гидро геологической обстановке, входят следующие показатели: 1) вид фильтрации и геометрическая характеристика области фильтрации;
2) строение области |
фильтрации и ее основные параметры (водо- |
||
проводимоеть, мощность, |
уровнепроводность, |
пьезопроводноеть |
|
и др.); 3) характер |
границ |
и граничные условия |
(закономерность |
изменения напоров и расходов на границах области фильтрации); 4) начальные условия (используются только при изучении неус тановившейся фильтрации). Граничные и начальные условия в совокупности называют краевыми условиями области фильтра ции.
При задании условий однозначности неизбежны некоторая схе матизация и упрощение природных гидрогеологических условий, как в силу их чрезвычайной сложности и многообразия, так и в си лу невозможности их учета при решении дифференциальных урав нений. Особые трудности возникают при решении нелинейных диф ференциальных уравнений при сложных краевых условиях.
Характеризуя методы решения дифференциальных уравнений фильтрации, следует отметить их сложность, многочисленность и значительное разнообразие (91]. С точки зрения полноты и приемов учета различных природных факторов все методы решения диффе ренциальных уравнений подразделяют на две категории: теоретиче ские и экспериментальные.
Теоретические методы (строгие и приближенные) основаны на решении дифференциальных уравнений с помощью аппарата физи ки и математики. Они позволяют устанавливать функциональные
связи между основными гидродинамическими характеристиками потоков подземных вод и обобщать полученные решения.
К экспериментальным методам решения дифференциальных уравнений фильтрации относятся методы физического и математи ческого моделирования. Эти методы используются для решения за дач фильтрации подземных вод в сложных гидро-геологических условиях, для которых отсутствуют аналитические решения либо по лучение их чрезвычайно затруднено. Достоинством эксперименталь ных методов является возможность учета сложных природных ус ловий и всего многообразия факторов, оказывающих влияние на фильтрацию подземных вод. Недостатком является то, что при мо делировании -.получаются частные решения, отвечающие конкрет ным условиям, а не общие функциональные связи, как при строгих теоретических решениях.
В настоящее время различными методами получено большое ко личество конкретных решений, которые можно использовать для ко личественной оценки условий движения подземных вод в самых раз нообразных и сложных гидрогеологических условиях с учетом влия ния как естественных, так и искусственных факторов. Эти решения являются основой гидрогеологических расчетов при выполнении многих сложных и ответственных практических и теоретических задач.
Изложение основных решений фильтрации подземных вод и ме тодов их получения и использования приводится в последующих главах учебника.
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПОТОКОВ ПОДЗЕМНЫХ ВОД.
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СХЕМАТИЗАЦИИ И ТИПИЗАЦИИ ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ
ОСНОВНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОТОКА И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Под потоками подземных вод принято понимать простран ственно оконтуриваемые потоки гравитационных подземных вод, движение которых происходит в пористой или трещиноватой среде горных пород под действием градиента гидростатического напора или давления. Как уже отмечалось, такое движение происходит в зоне насыщения горных пород и называется фильтрацией подзем ных вод. Понятие «поток подземных вод» можно отождествлять с понятием «поле фильтрации». В качестве конкретных полей фильт рации в динамике подземных вод рассматриваются водоносные го ризонты и комплексы или их отдельные части («локальные поля фильтрации»).
Каждое поле фильтрации имеет свои границы, оконтуривающие его в пространстве. Различают внешние и внутренние границы по тока. Внешние границы разграничивают поле фильтрации от других полей, внутренние же служат границами потока, с действующими в его пределах различными инженерными сооружениями (скважина ми, плотинами, каналами и др.). Границы потоков в пространстве являются поверхностями, в плоскости — контурами. Границы пото ков в плане нередко называют боковыми, а в разрезе — соответ ственно нижней и верхней. В гидравлическом отношении границы потока могут быть проницаемыми и непроницаемыми, т. е. — соот ветственно закрытыми и открытыми.
Среда, в которой происходит движение потока подземных вод, называется пористой или фильтрационной средой, независимо от ее характера (пористая, трещиноватая или пористо-трещиноватая). Как пористая среда, так и фильтрующаяся через нее жидкость ха рактеризуются определенным комплексом физических и гидродина мических параметров, которые необходимо учитывать при изучении и оценке условий фильтрации (см. гл. II).
При изучении условий движения подземных вод реальный по ток, фильтрующийся через пористое пространство, заменяется фик-
тивным фильтрационным потоком, движущимся по всему сечению водоносного пласта. При этом количество воды, проходящее в еди ницу времени через сечение пор и трещин, относят «о всему попе речному сечению фильтрующей среды в целом, получая, таким об разом осредненную характеристику фильтрационного потока. Сама пористая среда описывается осредненными параметрами, представ ляющими собой интегральные характеристики достаточно предста-
Рис. 20. Схема к огфеделению пьезометрическо го напора в грунтовом потоке
вительных объемов среды (т. е. содержащих достаточно большое число тех элементов — зерен, частиц горных пород, микротрещин, из которых образована пористая среда). Эти параметры принима ются за локальные характеристики среды.
Ниже дается краткое описание основных параметров, характери зующих фильтрационный поток и его гидродинамические элементы.
Основными гидродинамическими элементами фильтрационного потока являются его мощность, ширина, величина напора, гидрав лический уклон, скорость фильтрации, расход, линии токов и линии равных напоров.
Мощность потока (h, m) определяется мощностью водонасыщен ных в пределах горизонта или комплекса горных пород. В потоках грунтовых вод h — расстояние от свободной поверхности зеркала воды до подстилающего водоупора; в потоках напорных вод пг — мощность водоносного пласта между его верхней и нижней гра ницами.
Ширина потока В измеряется в сечении, перпендикулярном на правлению его движения; она зависит от распространения водонос ных отложений (от размеров геологических структур), а также и от режима питания и разгрузки подземных вод. Как мощность, так и ширина потока могут существенно изменяться на разных его участ ках, вызывая изменение других его характеристик.
Под напором потока в динамике подземных вод понимается ве личина пьезометрического напора Н, определяемая положением