книги из ГПНТБ / Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов

где k — постоянный коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств породы и фильтрующейся жидкости и наз-

показывающее изменение уровня по пути фильтрации, называется

напорным, или гидравлическим, градиентом и обозначается через /. Гидравлический градиент (уклон)— величина безразмерная.

Разделив обе части уравнения (11,8) на площадь сечения F и

используя понятие скорости фильтрации — = ѵ, получим иное вы­

ражение закона Дарси:

Формула (П,9) показывает линейную зависимость скорости фильтрации от напорного градиента I и поэтому закон Дарси назы­ вают линейным законом фильтрации. При линейном законе филь­ трации скорость фильтрации пропорциональна первой степени на­ порного градиента или уклона потока.

В дифференциальной форме линейный закон фильтрации описы­ вается следующим уравнением:

, dH

v = — , ( 11, 10)

где знак минус показывает, что по пути фильтрации значение на- dH

Как уже отмечалось, энергетический потенциал потока идеаль­ ной жидкости определяется в соответствии с уравнением Бернулли

( 11, 2) .

При фильтрации подземных вод скорость их движения невелика

V2

но пренебречь. Тогда, в соответствии с приведенной ранее форму­ лой (II,2), энергия потока будет определяться пьезометрическим напором Н, под которым понимается сумма двух первых членов уравнения Бернулли:

Таким образом, пьезометрический напор в любой точке потока подземных вод всегда определяется положением пьезометрического уровня относительно выбранной плоскости сравнения напоров.

Рассмотрим движение воды через наклонную трубку, заполнен­ ную песком (рис. 13). В осевые точки сечений I—I и II—II, распо­ ложенных на расстоянии АL одна от другой, поместим концы от­ крытых трубок-пьезометров. Вода в пьезометрах поднимется соот-

произвольной горизонтальной плоскости 0—0. Уравнение Бернулли для двух выбранных сечений с учетом выше приведенной формулы (11,11) может быть записано следующим образом:

потеря напора при фильтрации, численно равна разности пьезомет­

рических напоров в двух се­ чениях, проведенных нор­ мально к фильтрационному потоку. Аналогично этому разность уровней АН, входя­ щая в уравнение Дарси (П,8), представляет собой разность пьезометрических напоров в начале и конце пу­ ти фильтрации, или потерю напора. Потери напора при фильтрации в пористой сре­ де обусловлены силами соп­ ротивления, возникающими при обтекании водой частиц горной породы за счет тре­ ния. Обычно потери напора выражают через напорный

градиент. Поскольку напорный градиент возникает в результате дей­ ствия сил сопротивления на фильтрационный поток, можно принять величину этих сил пропорциональной напорному градиенту.

Уравнение (11,13) показывает, что при ламинарном движении существует линейная зависимость сил сопротивления (выражен­ ных через напорный градиент) от скорости фильтрации.

определенных значениях разности напоров АН и длине пути филь­ трации ДL, обеспечивающих явление фильтрации подземных вод.

Пределы применимости закона Дарси

Как известно, в природных условиях чаще отмечается ламинарное движение подземных вод, подчиняющееся линейному закону Дарси. Многочисленные опыты, наблюдения и исследования показывают, что закон Дарси справедлив не только при фильтра­ ции воды в однородных песчаных и гравийно-галечниковых отложе­ ниях, но и нередко в трещиноватых горных породах, где отклоне­ ния от линейного закона фильтрации наблюдаются только на от­ дельных участках. Таким образом, линейный закон фильтрации яв­ ляется основным законом движения природных подземных вод

[67, 94].

Вместе с тем в практике исследований отмечаются примеры, фиксирующие отклонения от закона Дарси. Нарушение прямой пропорциональности между скоростью фильтрации и напорным градиентом отмечено прежде всего при больших скоростях движе­ ния воды. В последние годы отмечено отклонение от закона Дарси при очень малых значениях напорных градиентов и скорости фильт­ рации [90а, 91].

Верхний предел применимости закона Дарси. Нелинейный закон фильтрации

Верхний предел применимости линейного закона фильт­ рации связан с так называемой критической скоростью фильтрации,

при достижении которой не соблюдается прямой пропорционально­ сти между скоростью фильтрации и напорным градиентом. Коли­ чественный признак определения верхнего предела применимости линейного закона фильтрации впервые был предложен H. Н. Пав­ ловским (84), который для этого использовал известное в гидрав­ лике число Рейнольдса Re, используемое для разграничения лами­ нарного и турбулентного видов движения воды в круглых трубах:

V

где W — средняя скорость движения воды, см/с; d — диаметр труб­

H. H. Павловский преобразовал уравнение (11,16), введя в него вместо диаметра трубки d и средней скорости движения воды W действующий диаметр зерен de, пористость п и скорость фильтра­ ции V. В результате формула (11,16) получила вид:

Расчеты по формуле (11,17) и экспериментальные исследования позволили установить, что отклонения от линейного закона фильт­

а соответствующая им скорость фильтрации была названа крити­ ческой скоростью фильтрации wKpКритическая скорость фильтра­ ции определяет, таким образом, верхний предел применимости за­

Недостаток приведенной формулы (11,18) заключается в том, что в нее, наряду с другими величинами входит также действующий диаметр de, точное вычисление которого представляет известные трудности [97, 98].

Учитывая сказанное, В. Н. Щелкачев [109] предложил опреде­ лять число Рейнольдса по другой формуле:

Соответственно значение критической скорости фильтрации мо­ жет быть определено по формуле (11,20) :

п2'3ReKp V

(И,20)

1 0 # п

где ka— коэффициент проницаемости горных пород (определение понятия о коэффициенте проницаемости дается ниже).

В. Н. Щелкачев указывает, что проведенные им подсчеты зна чений Re по формулам (11,17) и (11,19) дают для хорошо отсорти­ рованных пород близко совпадающие результаты. Преимущества же последней формулы (11,19) заключаются в возможности опре­ деления величин Re при движении жидкостей и газов не только в песчаных породах, но и в пластах песчаников, известняков, доломи­ тов и др., пористость и проницаемость которых известны. Рассчи­ танные по формуле (11,19) критические значения числа Рейнольдса оказались в пределах от 4 до 12. Такой большой диапазон измене­ ния критического значения числа Рейнольдса объясняется тем, что отклонение от линейного закона фильтрации происходит постепен­

но и в разных условиях неодинаково, в зависимости от структуры порового пространства и от свойств фильтрующейся жидкости.

Отклонения от линейного закона фильтрации объясняются тем, что с увеличением скорости движения воды в пористой среде воз­ растает роль сил инерции. При движении воды по поровым кана­ лам с большой скоростью величины и направления скоростей жид­ ких частиц значительно изменяются вследствие извилистости кана­ лов и непостоянства их поперечных размеров. Большое изменение скоростей фильтрации обусловлено существованием значительных сил инерции, что приводит к нарушению закона Дарси.

Нарушение линейного закона фильтрации может происходить, например, при интенсивных откачках подземных вод. На большей площади депрессионной воронки, созданной откачками, вследствие малых уклонов должен сохраняться ламинарный режим движения; в зоне же, которая непосредственно примыкает к водозаборному сооружению, может иметь место либо ламинарный, либо турбулент­ ный режим. Наличие того или иного режима в этой зоне опреде­ ляется. как составом водоносных пород, так и размерами водоза­ борного сооружения и количеством откачиваемой воды. При малых диаметрах водозахватных устройств и при больших понижениях уклоны и скорости в суженной части депрессионной воронки вслед­ ствие сжатости струй потока могут оказаться очень большими, по­ этому движение воды здесь будет турбулентным даже в песчаных породах.

Н. К. Гиринский, учитывая данные H. Н. Павловского о крити­ ческих скоростях движения воды, установил, что в песчаных и гра­ велистых породах линейный закон фильтрации (т. е. ламинарный режим) неизменно сохраняется при коэффициенте фильтрации меньше 50 місут; при коэффициенте фильтрации до 125 місут от­ клонение линейного закона может иметь место при откачках, но размеры зоны, где может быть это отклонение, незначительны. При коэффициенте фильтрации, равном 1000 місут, зона отклонения ста­ новится относительно большой, но все же остается незначительной по сравнению с размерами всей депрессионной воронки. Отклоне­ ния от закона Дарси вблизи водозаборных сооружений обусловли­ ваются, по-видимому, также и искусственными причинами — раз­ рыхлением пород в процессе бурения, выносом мелких частиц при откачках (суффозия) и т. д. [67].

Только при очень больших скоростях фильтрации воды были отмечены значительные отклонения от закона Дарси. По данным Г. Н. Каменского, линейный закон фильтрации применим при дей­ ствительных скоростях движения подземных вод приблизительно до 1000 місут [56]. Из этого следует, что закон Дарси применим при решении большинства гидрогеологических задач, поскольку дей­ ствительные скорости движения воды, наблюдаемые в естественных условиях, обычно значительно меньше 1000 місут. Скорости, превы­ шающие 1000 м/сут, встречаются сравнительно редко и характерны для районов развития карста и для площадей, сложенных крупно­ обломочными и галечниковыми хорошо промытыми породами.

В этих условиях при наличии турбулентного движения подземных вод фильтрация подчиняется нелинейному закону фильтрации.

Для характеристики турбулентного движения подземных вод в трещиноватых и закарстованных горных породах используется нелинейный закон, установленный А. А. Краснопольским [72]:

где kH— коэффициент фильтрации по Краснопольскому. Относительно расхода потока Q формула А. А. Краснопольско­

Из формул (11,21 и 11,22) видно, что при турбулентном движе­ нии скорость фильтрации потока пропорциональна напорному гра­ диенту в степени 1/2.

Закон Краснопольского может быть выражен и в другом виде:

откуда следует, что силы сопротивления при турбулентном движе­ нии подземных вод (выраженные через напорный градиент I) про­ порциональны квадрату скорости фильтрации.

Процесс постепенного перехода от закона Дарси к нелинейному закону и последующая фильтрация в условиях нелинейного закона

где а и b — некоторые постоянные, зависящие от свойств пористой среды и фильтрующейся жидкости и определяемые эксперимен­ тально.

При малых значениях скорости фильтрации величиной Ьѵ2 до­ пустимо пренебречь, тогда формула (11,24) представляет собой за­

пись закона Дарси I = аѵ ^в которой а = — ).П ри значитель­

ных скоростях фильтрации, наоборот, величина члена Ьѵ2 становит­ ся намного больше первого члена формулы аѵ, без учета которого формула (П,24) переходит в нелинейный закон фильтрации

А. А. Краснопольского вида І — Ьѵ2, откуда, учитывая, что b = — «К

и др.] показывают, что в большинстве случаев расчеты и оценка ус-

ловий движения подземных вод даже в трещиноватых и закарствованных породах могут проводиться на основе линейного закона фильтрации. В частности, опыты Г. М. Ломизе по исследованию движения воды в гладких и шероховатых щелях показали, что в общей системе пересекающихся узких и широких трещин движение воды происходит очень медленно; поэтому расчеты фильтрации можно проводить по законам ламинарного движения, хотя при изучении отдельных участков допускается, что в узких щелях имеет место лами­ нарное движение воды, а / в широких — турбулент­ ное. При трещиноватости с относительно большой шероховатостью поверх­ ности стенок пород и не­ правильной формой дви­ жение воды в трещинах близко к фильтрации в зернистой среде, в глад­ ких щелях наблюдается более резкий переход от линейного закона фильт­ рации к нелинейному.

Сопоставление определенных для различных условий опыта крити­ ческих градиентов, при которых происходит переход от ламинар­ ного движения к турбулентному, с напорными градиентами естест­ венных потоков подземных вод, дает основание считать установлен­ ным, что в преобладающем большинстве природных условий дви­ жение подземных вод отвечает линейному закону фильтрации. Необходимо отметить, что отклонения от закона Дарси еще не ука­ зывают на переход ламинарного движения подземных вод в тур­ булентное. Они могут возникнуть и при ламинарном режиме на тех участках, где число Рейнольдса превышает свое критическое зна­ чение. Более подробно с этим вопросом можно познакомиться в ре­ комендуемой литературе [67, 87, 108, ПО].

Определение верхней границы применимости линейного закона фильтрации может быть выполнено и продемонстрировано в лабо­ раторных условиях на простейшем приборе, схема которого приве­ дена на рис. 15 [108]. Проводя опыты по фильтрации воды через заполненную гравием трубку (сечением (о и длиной L), при различ­ ных значениях перепада напоров АН, создаваемого с помощью пе­ редвижных водосливов 1 и 2, необходимо затем построить график зависимости скорости фильтрации воды через образец породы от напорного градиента v= f(I). При этом скорость фильтрации опре-

Q

деляется выражением ѵ = — на основе замеров профильтровавше­ го

гося в каждом отдельном опыте объема воды Q, а соответствующий

напорный градиент определяется установленным перепадом напо-

АН

ров АН и длиной пути фильтрации L по выражению' = j — . При

соблюдении линейного закона фильтрации график зависимости ѵ—

— как это следует из закона Дарси, будет иметь прямолиней­ ный характер. Для определения верхнего предела применимости закона Дарси опыты должны продолжаться до тех пор, пока не бу-

Рис. 16. Графики зависимости:

a) v = / (/); б)— = / (і>)

V

дет отмечено отклонение графика £>•=/(/) от прямой линии, что бу­ дет соответствовать условиям, при которых нарушается линейный закон фильтрации. Скорость фильтрации, соответствующая на гра­ фике v = f (/) заметному отклонению его от прямой линии (рис. 16), является критической скоростью фильтрации &кр.

Учитывая, что переходное от ламинарного к турбулентному дви­ жение воды описывается двучленной формулой Прони (11,24) и ис­ пользуя опытные данные значений ѵ и I, при которых отмечается нарушение закона Дарси, можно определить параметры а и Ь ха­ рактеризующие изучаемые условия фильтрации. Для этого доста-

как это следует из анализа формулы (11,24), должен быть пред­ ставлен прямой линией. Поделив почленно уравнение (11,24) на ѵ, получим следующее выражение:

вольных точек графика 1 и 2 (см. рис. 16).

Нижний предел применимости закона Дарси. В последние годы указывается, что нарушение линейного закона фильтрации отме­ чается и в области очень малых значений скоростей и градиентов [38, 91]. Однако точного значения нижнего предела применимости закона Дарси не имеется. Исследованиями американского гид­ рогеолога О. Мейнцера установлена применимость закона Дарси в зернистых породах при значениях напорного градиента порядка 0,00003—0,00004 и высказано предположение о справедливости ли­ нейного закона фильтрации при еще более малых значениях на­ порного градиента. Экспериментальные исследования В. Н. Щелкачева и И. Е. Фоменко (55а), доказывают, что фильтрация пресных и соленых вод происходит без нарушения закона Дарси в песчаных коллекторах с проницаемостью до 5 миллидарси и выше при очень малых значениях градиента (п-10-4) и скорости фильтрации (п ■КЗ-3 см/год).

Следует отметить необходимость дальнейших исследований по определению нижнего предела применимости линейного закона фильтрации, а указанные значения градиентов необходимо считать ориентировочными.

Понятие о коэффициентах фильтрации, водопроводимости и проницаемости

Коэффициент фильтрации. Коэффициент пропорционально­ сти k, входящий в уравнение Дарси (11,8) называется коэффициен­ том фильтрации. Коэффициент фильтрации характеризует водопро­ ницаемость горных пород, величина которой зависит от размеров межпоровых промежутков в зернистых породах и ширины трещин в скальных горных породах. Из уравнения Дарси (11,9) следует, что коэффициент фильтрации численно равен скорости фильтрации при напорном градиенте, равном единице, т. е. v = k. Коэффициент фильтрации имеет размерность скорости и выражается в м/сут, м/ч,

MJC, с м / с.

Для ориентировочных характеристик коэффициентов фильтра­ ции основных литологических разностей горных пород могут быть использованы следующие данные [94].