книги из ГПНТБ / Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов

Г Л А В А VI

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПОДЗЕМНЫХ ВОД И ЕГО КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГРУНТОВЫХ ВОД

В гидрогеологической практике многие расчеты прово­ дятся по формулам динамики подземных вод, основанным на тео­ рии установившегося движения.

Эти расчеты часто дают лишь приближенное представление о тех или иных искомых величинах. Более полноценные результаты могут быть получены на основе гидрогеологических расчетов, про­ водимых по формулам неустановившегося (т. е. переменного во времени) движения подземных вод.

В природных условиях уровни подземных вод колеблются под влиянием неравномерной инфильтрации осадков, колебаний гори­ зонтов воды в поверхностных водотоках и водоемах, снеготаяния, испарения неглубоких грунтовых вод и т. д. На колебания уровней подземных вод существенное влияние также оказывают искусствен­ ные факторы, как-то: создание в речных долинах водохранилищ, а в балках — прудов, водопонижение для целей строительства и раз­ работки полезных ископаемых, орошение земельных массивов, осу­ шение заболоченных площадей, захоронение сточных вод и т. п. Искусственное нарушение уровней подземных вод, в свою очередь, предопределяет изменения напорных градиентов, скоростей фильт­ рации и расходов потока. Учет всех этих факторов, осуществляе­ мый на основе решений теории неустановившейся фильтрации под­ земных вод, является залогом правильного решения практических гидрогеологических задач, особенно связанных с прогнозом усло­ вий работы инженерных сооружений и изменения природных гид­ рогеологических условий в связи с инженерной деятельностью че­ ловека.

Основные дифференциальные уравнения, описывающие неуста­ новившуюся фильтрацию грунтовых и напорных вод, рассмотрены в гл. II (стр. 50). Там же приведен и вывод этих уравнений, полу­ чаемых на основе рассмотрения баланса элемента потока подзем­ ных вод или синтеза уравнений движения, неразрывности и со­ стояния.

а для одномерной неустановившейся фильтрации грунтовых вод (11,102):

д2Н W _ дН дх2 р dt

При отсутствии инфильтрационного питания (№ = 0) решение получают для дифференциального уравнения следующего вида:

д2Н _ д Н

(VI,2)’

дх2 dt

Изменения уровня подземных вод, происходящие под влиянием естественных или искусственных факторов, накладываются на пер­ воначальное поле распределения напоров, которое существовало до начала развития неустановившихся процессов фильтрации. Поэто­ му для получения результирующего поля распределения напоров при решении задач неустановившейся фильтрации необходимо знать первоначальное состояние поля, которое обычно задается в виде начальных условий и является необходимым элементом в ре­ шении задач нестационарной фильтрации.

Результирующее поле распределения напоров Н(х, у, t), таким образом, можно представить в виде уравнения:

где # е(X у) — поле распределения напоров в исходном состоянии; АН(х, у, t) — изменения поля напоров в процессе развития неуста­ новившейся фильтрации.

В результате решения дифференциальных уравнений в зависи­ мости от характера поставленных задач, искомыми величинами являются: либо поле распределения напоров H (х, у, t) и АН (х, у, t), либо значение расходов потоков q(x, у, t).

Уравнения вида (11,102, 11,103 и VI,2) относятся к классу урав­ нений типа Фурье, для которых получен ряд аналитических реше­ ний при определенных граничных и начальных условиях. Конкрет­ ные решения указанных дифференциальных уравнений примени­ тельно к решению задач подпора, прогноза режима подземных вод и изучения естественных условий их фильтрации изложены ниже в последующих параграфах этой и других глав. Методы расчета не­ установившейся фильтрации в районах водозаборных и других ин­ женерных сооружений подробно рассмотрены в главах VIII—X.

Одним из широко распространенных приближенных теоретиче­ ских методов решения дифференциальных уравнений неустановив­ шейся фильтрации подземных вод является метод конечных разно­ стей. Этот метод дает возможность определить как расход грунто­ вого потока, так и проследить изменение положения кривой депрессии во времени с учетом основных факторов в формировании режима подземных вод, условий их питания и разгрузки. Он яв­ ляется основой для численного решения разнообразных задач фильтрации с помощью моделирования и применения электронно­

вычислительных машин (ЭВМ). Являясь приближенным в смысле математической строгости, метод конечных разностей вместе с тем позволяет учитывать разнообразные гидрогеологические условия, обеспечивая тем самым более надежное решение задачи, чем стро­ гие аналитические методы, где гидрогеологические условия неиз­ бежно схематизируются и упрощаются. Метод конечных разностей предложен Г. Н. Каменским в 1939 г. применительно к расчетам неустановившейся фильтрации грунтовых вод. Принципиально нет ограничений для применения метода конечных разностей и к расче­ ту неустановившейся фильтрации напорных вод.

У Р А В Н Е Н И Я Н Е У С Т А Н О В И В Ш Е Г О С Я Д В И Ж Е Н И Я П О Д З Е М Н Ы Х В О Д В К О Н Е Ч Н Ы Х РА ЗН О С Т Я Х

В сложных гидрогеологических условиях и при отсутст­ вии аналитических решений прибегают к численному решению диф­ ференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей. В отличие от аналитических решений, получаемых интегрировани­ ем дифференциальных уравнений в условиях непрерывности про­ странства и времени, в конечноразностном методе время и прост­ ранство разбиваются на конечные малые элементы, являющиеся аналогами бесконечно малых величин, входящих в дифференциаль­ ные уравнения. Получение уравнений в конечных разностях основа­ но на рассмотрении баланса воды в выделяемом элементе потока подземных вод.

С помощью уравнений в конечных разностях можно получать решения как для одномерного, так и для двухмерного потоков.

У р а в н е н и е н е у с т а н о в и в ш е г о с я д в и ж е н и я п л о с к о г о о д н о м е р н о г о

п о т о к а г р у н т о в ы х в о д . Для вывода уравнения в конечных разно­ стях выделим в плоском потоке грунтовых вод с переменным укло­ ном водоупорного ложа три вертикальных сечения 1, 2, 3, распо­ ложенных на расстояниях /і_2 и /2-3 одно от другого. Разделим расстояние между сечениями 1—2 и 2—3 пополам и проведем допол­ нительные сечения (ем. пунктир на рис.84), выделив тем самымэле-

/і—2+ h- з

мент потока длиной....- ------- при ширине потока, равной единице.

Обозначим мощность потока по сечениям через h\, /12, h3 напор со­ ответственно через H 1, Н2 Н3. Будем считать, что на участке 1—2 коэффициент фильтрации имеет значение k\-2 на участке 2—3 — —&2- 3- Величина инфильтрации атмосферных осадков в пределах элемента потока W. В таких условиях фильтрация одномерного ли­ нейного грунтового потока, как известно, описывается дифферен­ циальным уравнением Буссинеска вида (11,89):

которое в однородной среде при осреднении мощности потока h = = /zCp приводится к уравнению Фурье:

Рассмотрим водный баланс конечного, но небольшого по разме-

Рис. 84. Схема к выводу уравнений неустановившейся фильтрации грунтовых вод в конечных разностях

h2) за промежуток времени At. Слева через сечение М в элемент поступает вода с расходом q\, а справа через сечение N из элемен­ та вытекает вода с расходом q2. В то же время сверху поступает

пределах которой поступает инфильтрационное питание интенсив­ ностью W). Объем воды АѴ, который накапливается в элементе потока за промежуток времени At с учетом прихода и расхода ее через грани элемента, можно выразить, таким образом, как ал­ гебраическую сумму единичных расходов притекающей и утекаю­ щей воды, умноженную на время At:

С другой стороны, элементарный объем воды АF можно выра­ зить через изменение уровня воды в пределах элемента, которое произойдет за время At благодаря разнице в объемах притекаю­ щей и утекающей воды. Пусть вследствие наличия инфильтрационного питания уровень воды в сечении 2, являющемся центром рас­ сматриваемого элемента потока, повысился за время At на величи­ ну ДЯ2. Тогда накопление воды в элементе можно выразить, как объем воды, пошедшей на насыщение пористых горных пород при изменении уровня на ДЯ2 в виде:

A V = » A H 2k - 2+2 l^ X l , (VI,5)

Если положение уровня воды в сечении 2 на начало промежут­ ка времени At обозначить через Я2^, а на конец промежутка через Яг.э+ь то величина изменения уровня АЯ2 выразится как разность напоров в сечении 2 на момент времени t + At, что соответствует концу промежутка At и на момент времени t, что отвечает началу промежутка At, т. е.

Подставляя в формулу (VI,6) выражение для АЯ2 и преобразуя полученное уравнение, найдем:

Я2 S+l — Я2 g

В уравнении (VI,8) в левой части величина'—:— —----— пред- /Д£

ставляет собой выражение скорости изменения уровня воды в эле-

равен оттоку воды из элемента <72, то никакого изменения уровня воды не будет, и, следовательно', левая часть уравнения будет рав­

ной нулю, что соответствует условиям установившейся фильтрации.

сматриваемых условий, если в него ввести выражения для значений единичного расхода потока q\ и <72 с учетом значений параметров потока в пределах выделенных сечений.

Значения расходов <71 и q2 могут быть записаны на основе фор­

мул установившейся фильтрации (в данном случае, например, на основе приближенной формулы Г. Н. Каменского). Расход потока, поступающего в элемент слева, выразим на основе значений мощ­ ности потока, напоров и коэффициента фильтрации на участке, ог­ раниченном сечениями 1 и 2, отток воды из элемента запишем из рассмотрения участка между сечениями 2 и 3.

Уравнение (ѴІД1) представляет собой уравнение неустановив­ шейся одномерной фильтрации грунтового потока неоднородного строения с наклонным водоупором, выраженное в конечных разно­ стях.

Если водоупорное ложе потока горизонтально (і = 0), то пьезо­ метрические напоры могут отсчитываться от водоупорной поверх­ ности и совпадают по величине со значениями мощности потока в

одноименных сечениях (^ 2,s —A2,s, A4,s —Ai,s, A4,s —A3,s) и тогда

уравнение в конечных разностях примет вид:

Обычно для удобства расчетов промежутки между сечениями, на которые разбивается поток по длине, принимаются одинаковы­

однородной (Â1—2= ^2—3= ^ =const) и для удобства расчетов сред­ ние мощности на соседних участках потока принимаются одинако­ выми, а именно:

Уравнение (VI, 14) является аналогом дифференциального урав­

Соответственно при горизонтальном водоупорном ложе уравне­ ние (VI,13), с учетом его линеаризации, приобретает вид:

обеспечивают их численное решение в конкретной гидрогеологиче­ ской обстановке с учетом неуетановившегося во времени характера фильтрации.

Для практических расчетов уравнения в конечных разностях ис­

ложения уровня в центральном сечении рассматриваемого элемен­

та потока на конец промежутка времени At:

2khC])At

Установлено, что значение безразмерного модуля ■ д^.2 - . вхо'

дящего в конечноразностные уравнения (VI,15—VI,17), должно быть не больше единицы [5, 55, 58 и др.]. Для удобства расчетов на практике обычно выбирают значения Ах и At таким образом, чтобы выполнялось условие:

удобны для расчетов. Как следует из этих формул, для определения уровня в заданном сечении на конец промежутка времени At, до­ статочно взять полусумму уровней крайних сечений на предшест­ вующий промежутку At момент времени и учесть изменение уровня за счет инфильтрационного питания, которое поступит в элемент потока за то же время At. Если время, за которое требуется опре­ делить положение уровня в заданном сечении, достаточно велико, то расчеты по формулам конечно-разностных уравнений выполня­ ются многократно. Например, для определения положения уровня в каком-либо сечении через 400 суток при шаге по времени At = = 40 суток расчеты необходимо повторить 9 раз. При этом каждый раз для определения положения уровня воды в центральном сече­ нии на конец промежутка времени (t + nAt) в расчет принимается положение уровней в смежных сечениях на начало расчетного про­ межутка времени [Y+ (п—1) АД

Уравнение неустановившегося движения двухмерного в плане потока грунтовых вод. Дифференциальное уравнение, описывающее фильтрацию двухмерного в плане потока грунтовых вод со средней мощностью hcр, при наличии инфильтрации и наклонном водоупоре имеет вид: