книги из ГПНТБ / Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов

жа, учитывая при этом, что значения напоров потока должны от­ считываться от плоскости сравнения. Тогда формула (IV,9) при­ обретает вид:

строго, если для решения задачи воспользоваться гидравлическим методом. Для этого рассмотрим участок грунтового потока с на­

пьезометрических напоров измеряются от горизонтальной плоско­ сти сравнения 0—0, совпадающей с осью х принятой системы ко­ ординат (см. рис. 55). Питание потока в пределах участка отсутст­ вует и его расход является постоянным по всем сечениям (<7= const). Принимается, что при малых значениях уклонов потока и водоупорного ложа в качестве длины пути фильтрации рассмат­ ривается его горизонтальная проекция (по оси х).

В этих условиях единичный расход грунтового потока определя­ ется следующим дифференциальным уравнением Дюпюи:

Jkh

Влевой части уравнения величина h также переменная и зави­ сит от значения х. Применяя теорему о средней, будем считать, что

После интегрирования обеих частей уравнения (IV,19) получим:

(IV,21) найдем выражение для определения расхода потока с на­ клонным водоупором:

при интегрировании переменной мощности потока h ее средним зна­ чением hCp. Однако во многих, практически важных примерах, где движение подземных вод происходит со свободной поверхностью при наклонном залегании водоупорного ложа, выполненные расче­ ты по приближенной формуле Г. Н. Каменского не показали суще­ ственных отклонений по сравнению с расчетами по строгим форму­ лам H. Н. Павловского.

Построение кривой депрессии. Положение уровня грунтовых вод при наклонном водоупоре в любом сечении потока определяется величиной напора, отсчитываемого от плоскости сравнения. Следо­ вательно, для построения кривой депрессии надо располагать вы­ ражением для определения напора Нх в искомом сечении потока. Это выражение может быть получено на основе выведенной форму­ лы для расхода потока подземных вод (IV,22). Для этого достаточ­ но составить два уравнения для определения расхода потока по двум различным парам сечений, в одну из которых входит и сече­ ние с искомой величиной напора Нх и, приравняв эти уравнения (в силу равенства расхода), получить формулу для определения искомой величины Нх.

Пусть, например, требуется определить значение пьезометриче­ ского напора Нх в сечении, расположенном на расстоянии х от лево­ го ограничивающего поток сечения. Значения мощности потока и пьезометрического напора в ограничивающих поток сечениях 1 и 2 считаются известными и соответственно равными hu Hi и /г2, Н2 (см. рис. 56).

В соответствии с выше приведенной формулой (IV,22) напишем выражения единичного расхода для пар сечений 1—2 и 1—х:

В уравнении (IV,24) два неизвестных: hx и Ях. Одно неизвестное можно исключить, для чего мощность пласта кх можно заменить разностью отметок уровня воды Нх и поверхности водоупорного пласта zx, т. е. hx= Hx—zx (см. рис. 56).

Подстановка найденного значения hx в формулу (IV,24) дает:

значений напора и мощности потока в двух известных сечениях не­ обходимо еще знать превышение водоупора в искомом сечении над плоскостью сравнения (zx=ix).

При построении кривой депрессии потока можно для определе­

Это уравнение получается из формулы (IV,23), в которой вели­ чина Я х представлена через разность Hx= hx+ ix (і — уклон водо­ упора). При этом плоскость сравнения проводится через водоупор в

воположны ( і< 0). По Н. Н. Павловскому при прямом уклоне во­ доупорного ложа возможны две формы кривой депрессии: кривая спада и кривая подпора (см. рис. 55 и 57). При обратном уклоне (і<0) возможна лишь кривая спада (см. рис. 56). При кривой спа­ да мощность водоносного горизонта по направлению движения грунтовых вод уменьшается, а при кривой подпора — увеличивается (рис. 57).

О характере влияния мощности потока на форму кривой деп­ рессии можно судить по изменению напорного градиента. Из об­ щей формулы закона Дарси (IV,3) выражение для напорного гра­ диента имеет вид

это видно из формулы (IV,26), зависит от изменения мощности потока. При уменьшении мощности потока по направлению движе­ ния напорный градиент увеличивается, и кривая депрессии приоб-

Рис. 58. Расчетная схема грунтового потока с перемен­ ным уклоном водоупорного ложа

ретает выпуклый характер, что типично для кривой спада (см. рис. 56). При увеличении мощности потока по пути движения на­ блюдается обратная картина, и кривая депрессии приобретает во­ гнутый характер, что свойственно для кривой подпора (см. рис. 57).

Движение грунтовых вод при переменном уклоне водоупорного ложа. Если водоупорное ложе на различных участках потока име­ ет различные уклоны и направления падения, то для решения зада­ чи по построению депрессионной кривой и определению расхода потока необходимо рассмотреть последовательно все участки от­ дельно с учетом граничных условий в точках перегиба водоупорно­ го ложа. Пусть, например, водоупорное ложе имеет три участка с различным уклоном и направлением падения водоупора (рис. 58). Известными являются значения мощности потока и напора в край­ них, ограничивающих поток сечениях {h\, Н\ и hit Я4) и отметки водоупора в точках его перегиба (z2 гъ) . Требуется определить отметки уровня грунтовых вод в промежуточных сечениях потока (Я2, Я 3) и величину его расхода.

Через точки перегиба водоупорного ложа проводим вертикаль­ ные сечения 2 и 3. Расстояния между всеми сечениями считаются известными (Т-і_2, 7-2_3, Т-з-Д. Теперь, используя известную форму­ лу для расхода потока с наклонным водоупором (IV,22), напишем выражения для единичных расходов на каждом из его участков с одинаковым уклоном водоупорного ложа с учетом значений мощ­ ности потока и напора на границах участков 1—2, 2—3, 3—4.

hi + hz H i - H z

2 7-1-2

h2+ h3 Hz - H 3

2 7-2-3

h3~Г /14 H3- H ,

(IV,27)

27-3-4

Вуравнения (IV,27) входят неизвестные в сечениях 2 и 3 мощ­

ности (h2 hz) и напоры потока (Я2, Я 3), связанные следующими соотношениями (см. рис. 58): H2 = h2 + z2\ H3 = hz + z3.

Учитывая это соотношение, исключим из уравнений (IV,27) не­ известные величины h2 и hz, выразив их как разность отметок уров­

позволяет получить искомые значения ординат депресеионной кри­ вой Я 2и Я3.

Для приближенного решения уравнений (IV,28) можно предва­

крайних граничных сечениях и использовать это значение при по­ следовательном решении системы уравнений (IV,28).

Пр и м е р . Грунтовый поток, движущийся в аллювиальных пес­ чаных отложениях с коэффициентом фильтрации k=\3,4 м/сут, дренируется рекой. В скважине, заложенной на урезе реки (скв. 2), отметка уровня грунтовых вод составляет 128,4 м, отметка водо­ упора 114,4 м. В скважине, заложенной на расстоянии 1000 м от уреза реки вверх по потоку (скв. 1), отметки уровня воды и водо-

упора соответственно равны 140,04 и 108,04 м (рис. 59). Питание грунтовых вод на участке скважин 1—2 отсутствует (Ф' = 0). Тре­ буется определить расход потока и положение его свободной по­ верхности в сечении х, расположенном на расстоянии 563,5 м от скважины /, если отметка водоупора в этом сечении равна 111,62 м.

Скб

Рис. 59. Расчетная схема к определению расхо­ да и ординат кривой депрессии грунтового по­ тока

Как видно из исходных данных, водоупорное ложе имеет обрат­ 108,04— 114,4

Для облегчения решения примем, что ось абсцисс (ох) совпада­ ет с горизонтальной плоскостью сравнения и с направлением дви­

ра над плоскостью сравнения [z\ = 108,04; z2 = 114,4 и zx= lll,6 2 м).

Отметку уровня воды в сечении х можно определить на основе приведенного выше выражения (IV,25), которое получается если составить и приравнять выражения для расхода потока на участках 1— X и X—2. Искомой величиной здесь является Нх, значение мощ­ ности потока Лз вводится в формулу в виде hx= Hx—zx:

основанием для которого служит горизонтально залегающий водоупор (рис. 60). При этом примем две возможных схемы движения потока. Первая схема соответствует расширению потока в плане по пути его движения (рис. 60, б), т. е. отвечает схеме радиально-рас- ходящегося потока. Вторая схема соответствует сужению потока в плане и отвечает характеру радиально сходящегося потока (рис. 60, в ) . Изменение ширины потока происходит по линейному закону. Тогда, считая направление оси ох совпадающим с направлением движения и принимая первое ограничивающее поток сечение за исходное, ширину потока В в любом сечении на расстоянии % от исходного (сечение 1) можно определить по формуле:

В = B i В1-2Bi X, (IV,29)

где В{ и В2— ширина потока в ограничивающих его сечениях 1 и 2, расположенных на расстоянии LI_2 одно от другого.

Решение, как и ранее (см. гл. IV, стр. 114), может быть полу­ чено гидравлическим методом на основе интегрирования дифферен­ циального уравнения для расхода потока с той лишь разницей, что здесь вводится в рассмотрение переменная ширина потока В и уравнение записывается не для единичного, а для общего расхода потока. Размещение координатных осей и принятые обозначения показаны на рис. 60.

Общее выражение уравнения Дюпюи для расхода радиального потока в любом его сечении в дифференциальной форме имеет вид:

После разделения переменных и интегрирования этого уравне­ ния (IV,31) в пределах от сечения 1 до сечения 2 получим выраже­ ние для определения общего расхода грунтового радиального по­ тока при горизонтальном залегании водоупорного ложа:

Формула для определения ординаты кривой депрессии в любом сечении, расположенном на расстоянии х от начального сечения 1, может быть получена на основе приравнивания выражений для расхода потока на участках 1—2 и 1 — х и имеет следующий вид:

где в х — ширина потока в сечении, отстоящем на расстоянии х от сечения 1, и определяемая по приведенной формуле (IV,29).

При наклонном залегании водоупорного ложа для определения расхода радиального потока может быть применена приближенная формула Каменского (IV,22), полученная для условий одномерного грунтового потока с наклонным водоупором. Для этого она должна быть переписана применительно к определению полного расхода потока с учетом переменной его ширины:

Эта формула (IV,34) применима для определения расхода ра­ диального потока с линейным изменением ширины потока В по пу­ ти его движения. При нечетко выраженном характере изменения ширины потока иногда используется следующая приближенная формула:

В этой формуле используется среднее значение площади сече­

Для определения ординат кривой депрессии радиального пото­ ка используется прием рассмотрения отдельных фрагментов с по­ следующим приравниванием расходов аналогично тому, как это делается для одномерного плоскопараллельного потока при на­ клонном залегании водоупорного ложа (см. гл. IV, стр. 122).

Решения для оценки условий фильтрации радиальных потоков к скважинам рассмотрены ниже (гл. IX и X).

ДВИЖЕНИЕ НАПОРНЫХ ВОД В ПЛАСТАХ ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ МОЩНОСТИ

Движение напорных вод в пластах постоянной мощности.

В условиях изолированного однородного пласта постоянной мощно­ сти напорный поток характеризуется постоянным по всем его сече­ ниям значением скорости фильтрации, т. е. имеет место равномер­ ное движение подземных вод.

Расчетные формулы для определения расхода подземных вод напорного потока и построения депрессионной кривой могут быть получены как на основе интегрирования дифференциального урав­ нения для единичного расхода (гидравлический метод), так и с по­ мощью интегрирования основного дифференциального уравнения фильтрации. Рассмотрим последовательно оба эти метода.

1. Выделим фрагмент напорного потока в пласте постоянной мощности (т = const), ограниченный двумя вертикальными сече­