книги из ГПНТБ / Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов

Соответственно найдем:

Рпл,2= 0,1 X 950 X 1,175 + 3,5 = 115,125 кГ/см2;

1,204+ 1,175

= 115,125 + 77,318 = 192,44 кГ/см2.

Значения приведенного напора по скважинам 1 и 2 соответст­ венно равны 1984,4 и 1924,4 м. Напорный градиент потока

Фильтрационный расход потока при его ширине ß = 1000 м и средней мощности т = 50 м определится величиной:

Q = VF = ѵтВ = 0,0016 X 50 X 1000 = 80 м3/сут.

ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ФИЛЬТРАЦИИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

Общие закономерности движения подземных вод при установившемся и неустановившемся режиме их фильтрации описываются дифференциальными уравнениями, которые вместе с тем служат основой для количественной оценки условий движений при решении различных гидрогеологических задач. Для получения основных дифференциальных уравнений фильтрации и их решения необходимо знать следующие уравнения, определяющие условия движения подземных вод: 1) уравнения движения (определяющие закон фильтрации); 2) уравнения состояния фильтрующейся жидкости и пористой среды (в общем случае — закон сохранения энергии) и 3) уравнения неразрывности потока (закон сохране­ ния массы).

Уравнения движения подземных вод. Принимая за основу ли­ нейный закон, связывающий силы сопротивления со скоростью фильтрации, и пренебрегая силами инерции, из уравнений движе­ ния Эйлера для идеальной жидкости можно получить следующие

уравнения:

Уравнения системы (11,42) и представляют собой уравнения движения подземных вод, т. е. закон Дарси, выраженный в диф­ ференциальной форме и записанный в отношении составляющих

вектора скорости фильтрации ѵ по осям координат. В более общем виде уравнения движения могут быть записаны в векторной форме:

минус в формуле (11,43) показывает, что направления вектора-

градиента и вектора скорости фильтрации ѵ противоположны.

С учетом соотношения коэффициентов фильтрации k и прони­ цаемости kn, а также гидростатического давления Р и пьезометри­ ческого напора Я (см. формулы 11,28 и 11,11) уравнения движения могут быть записаны и в другом виде, наиболее часто используе­ мом в нефтяной гидравлике:

Применительно к фильтрации подземных вод уравнения движе­ ния впервые были получены H. Е. Жуковским [51]. Подробно их вывод и последующий переход от полученных уравнений к уравне­

Уравнения состояния. На условия фильтрации подземных вод оказывают влияние свойства фильтрующейся жидкости и пористой среды, тем более что эти свойства могут изменяться в простран­ стве и во времени в зависимости от температуры, давления и дру­ гих факторов. Учет этих свойств и их изменений при оценке усло­ вий фильтрации осуществляется на основе использования уравне­ ний состояния фильтрующейся жидкости и пористой среды. Следо­ вательно, уравнения состояния характеризуют поведение (состоя­ ние) пористой среды и жидкости в условиях фильтрации.

Известно, что в реальных условиях фильтрации, в зависимости от изменения давления и температуры, изменяются такие свойства фильтрующейся жидкости, как плотность р и вязкость р/. В соот­ ветствии с этим общее выражение состояния жидкости может быть записано в следующем виде:

Учитывая возможность изменения объема порового простран­ ства горных пород и в том числе активной пористости па при изме­ нении гидростатического давления, уравнение состояния пористой среды в общем виде может быть записано следующим образом:

В конкретных природных условиях, в зависимости от характе­ ра влияния факторов и степени изменения свойств фильтрующей­ ся жидкости и горных пород уравнения состояния (11,45—11,46) могут видоизменяться.

При изучении и оценке условий фильтрации подземных пресных вод безнапорных водоносных горизонтов принимается, что жидкость является несжимаемой и однородной по своему составу, в соответ­ ствии с чем ее плотность р является неизменной и уравнение со­ стояния жидкости имеет вид:

При этом пористая среда считается также несжимаемой, а ее активная пористость неизменной, что находит отражение в урав­ нении состояния пористой среды

Основной действующей силой, предопределяющей фильтрацию несжимаемой жидкости в несжимаемой пористой среде, является разность пьезометрических напоров, а режим фильтрации, соот­ ветствующий таким условиям, называется водонапорным (иногда жестким водонапорным). Строго говоря, упругие свойства пори­ стой среды и жидкости имеют место и при фильтрации подземных вод в неглубоких водоносных горизонтах, но ввиду незначительно­ сти их проявления при гидрогеологических расчетах они не учиты­ ваются.

При изучении и оценке условий фильтрации подземных вод глубоких напорных водоносных горизонтов учитываются упругие свойства горных пород и жидкости. При этом вода рассматривает­ ся как вязкая, сжимаемая жидкость, плотность, вязкость и объем которой изменяются в зависимости от давления и температуры. Уравнения состояния жидкости и пористой среды в общем виде соответствуют условиям, описанным формулами (11,45 и 11,46).

Основными действующими силами, вызывающими движение вязкой, сжимаемой жидкости в сжимаемой пористой и трещинова­ той среде, являются потенциальная энергия упругой деформации жидкости и горных пород и потенциальная энергия жидкости (разность напоров). Действие этих сил проявляется при вскрытии напорных водоносных горизонтов скважинами, а также при изме­ нении пластового гидростатического давления и давления горных пород на кровлю пласта. Режим фильтрации подземных вод, от­ вечающий таким условиям, называется упругим, или упруговодо­ напорным. В гидрогеологически закрытых напорных водоносных горизонтах, когда фильтрация воды происходит только за счет

Для получения уравнения состояния сжимаемой жидкости свя­ жем изменение объема dVm с изменением плотности жидкости dp, учитывая при этом, что масса жидкости Мжпри изменении объема жидкости остается неизменной (закон сохранения массы). В со­ ответствии с этим изменение объема жидкости при колебаниях дав­ ления пропорционально изменению ее плотности и вместо выраже­ ния (11,50) можно пользоваться следующей формулой:

Это выражение (11,53) идентично приведенному выше выраже­ нию (11,51) и представляет собой уравнение состояния сжимаемой жидкости при упруговодонапорном режиме ее фильтрации в диф­ ференциальной форме. Интегрированием уравнения (11,51), с уче­ том изменения давления в пределах от Ро до Р и плотности — от ро до р, найдем уравнение состояния в конечном виде:

которое после разложения в ряд и некоторого упрощения может быть записано в следующем приближенном виде:

Аналогичным образом при исследовании фильтрации в услови­ ях упруговодонапорного режима учитывается и объемная упру­ гость пласта (пористой среды). При этом также принимается до­ пущение, что водоносный пласт ведет себя как упругое тело, под­ чиняясь закону Гука (необратимые процессы деформации горных пород не учитываются). Изменение объема пласта под влиянием гидростатического давления на скелет породы связывают с изме­

нением объема порового пространства. Характер изменения объе­ ма порового пространства породы в процессе фильтрации можно уяснить из следующего рассмотрения.

Давление на скелет породы, слагающей водоносный пласт РСКг определяется как разность между горным давлением Ргор (давле­ ние на водоносный пласт, которое создается весом вышележащих горных пород: РГоР=іЛуг.п) и пластовым гидростатическим давле­ нием жидкости Рпл:

Из формулы (11,56) видно, что при уменьшении пластового дав­ ления Рпл давление на скелет породы Р ск возрастает и объем по­ рового пространства должен уменьшаться. Изменение объема по­ рового пространства упругой пористой среды происходит в соот­ ветствии с законом Гука:

Как и коэффициент объемной упругости жидкости, коэффи­ циент объемной упругости пласта рпл показывает, на какую часть первоначального объема пласта Ко изменяется объем порового пространства при увеличении или уменьшении давления на едини­

что значение коэффициента объемной упругости горных пород ßnjl

колеблется в пределах (0,3 2,0) X Ю~6 — .

м

Для решения практических задач выражение (11,58) удобнее переписать, используя значение пластового давления Рпл. Значе­ ние пластового давления Р пл находим из соотношения (11,56), от­ куда следует, что dPCK= d(Prov—Рпл). Принимая горное давление Prop величиной неизменной (что практически справедливо для мно­ гих задач), найдем, что dPCK= —dPnJI и соответственно выражение (11,58) изменится на:

1 dVпор

Формула (11,59) характеризует уравнение состояния пористой

выражение (11,59) может быть переписано в отношении dn следую­ щим образом:

жется без образования в нем пустот и разрыва сплошности, то он

раллельными координатным осям (рис. 18). Объем выделенного

Масса жидкости, заполняющая поровое пространство в объеме

Рассмотрим изменение массы жидкости в объеме выделенного параллелепипеда за промежуток времени dt за счет поступления ее через грани параллелепипеда. В направлении оси X через грань ЪЬ'с'с за промежуток времени dt в выделенный элемент поступает

dd'a'a, отстоящую от первой на расстоянии dx, вытекает масса во­ ды М2 , равная:

Накопленная в объеме параллелепипеда масса воды за время dt за счет ее фильтрации в направлении оси х соответственно со­ ставляет:

Аналогичным образом накопление массы воды в объеме парал­ лелепипеда за время dt за счет ее фильтрации в направлении осей у и z соответственно составляет:

Общее накопление массы воды в объеме выделенного элемента пористой среды за время dt определяется суммированием выраже­ ний (11,66) — (11,68):

Так как объем выделенного параллелепипеда во времени не изменяется (условие 11,61), то изменение массы воды в объеме выделенного элемента может произойти только за счет изменения плотности воды р и объема пористого пространства. Для определе­ ния изменения массы воды в объеме параллелепипеда за счет из­ менения плотности и пористости необходимо продифференциро­ вать выражение (11,63):

неустановившуюся фильтрацию упругой жидкости в упругой по­ ристой среде:

При жестком режиме фильтрации, когда упругие свойства фильтрующейся жидкости и пористой среды не учитываются, т. е. плотность воды р и пористость пород п считаются в каждой дан­ ной точке пористой среды не зависящими от времени, уравнение неразрывности пространственного потока имеет вид:

djpvx) а(риу) d(poz)

(11,72)

При отсутствии той или иной составляющей скорости фильтра­ ции частная производная от массовой скорости по соответствую­ щей оси в уравнение неразрывности потока не входит. Так, напри­ мер, при установившейся фильтрации двухмерного потока в пло­ скости ху уравнение неразрывности принимает вид:

д(р^х) , д(рцу) =

дх ду

ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

Для получения основных дифференциальных уравнений фильтрации в динамике подземных вод используются два метода: а) метод синтеза трех видов уравнений, определяющих условия фіильтрации — уравнений движения подземных вод, уравнения не­ разрывности потока и уравнений состояния жидкости и пористой среды; б) балансовый метод, в основу которого положено изучение изменения водного баланса элемента потока подземных вод под влиянием факторов, предопределяющих условия их движения.

Для примера рассмотрим вывод дифференциальных уравнений фильтрации методом синтеза трех уравнений (на примере жестко­ го режима фильтрации подземных вод) и балансовым методом (на примере неустановившейся фильтрации грунтовых вод).

При жестком режиме фильтрации подземных вод уравнения движения пространственного потока при соблюдении закона Дар­

Соответствующее этим условиям уравнение неразрывности для пространственного потока определяется выражением (11,76):

дѵх 1 дѵ7 ^_дѵ2

0. (П,76)

дх ду dz

Подставляя выражения для компонентов скорости фильтрации из (11,74) в уравнение неразрывности потока (11,76), получим:

д L дН \ д ( , дН \ д ( дН \ д у ' ду

Уравнение (11,77) представляет собой дифференциальное урав­ нение фильтрации напорных подземных вод в анизотропном пла­

стой среде и носит название уравнения Лапласа, широко известного

неустановившейся фильтрации грунтовых вод, на основе рассмот­ рения водного баланса элемента потока. Для простоты примем одномерный грунтовый поток в однородной фильтрационной среде (k = const). В соответствии с этим поток имеет только одну состав­

зонтальные составляющие скорости фильтрации постоянны по глу­ бине потока (предпосылка Дюпюи). Питание грунтового потока осуществляется за счет инфильтрации атмосферных осадков. Во­ доупорное ложе принимается совершенно непроницаемым и имею­ щим уклон і ( і ф 0). Фильтрация воды подчиняется закону Дарси, движение неустановившееся во времени.

Для вывода уравнения рассмотрим баланс бесконечно малого элемента потока, ограниченного двумя поперечными сечениями 1 и 2 и имеющего длину dx, ширину В = \ м и высоту h, равную мощ­ ности потока. Пьезометрический напор в пределах элемента пото­