Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Поэтому

da ve — ue

us — ue

9. Пользуясь результатами, полученными в задаче 5, представить функ

цию Vc в виде ряда

Фурье.

Р е ш е н и е .

Мы имеем

& =

па*пІпС)е-1пи,

r.— l

где

Г„ / © ,

Oii-

Я2

SCO /

есть параметр пространственного заряда на частоте ясо, а слагаемыми

порядка е

мы пренебрегли. Тогда

и если ПОЛОЖИТЬ / п

= | / л | е inuпr ,

то

со

Vc --= 2

с г п | / „ | c o s r e ( u n — u ) .

п = і

10. Найти

решение уравнения

(7.52)

при следующих

предположениях:

1) синхронная

волна отсутствует

(Vs

— 0);

2) электронный

пучок

бесконечно

0); 3) обгона одних электронов

другими нет

іди

широкий (<3 =

> 0j. Считать,

что в начальном сечении пучка

( £ = 0 )

задана малая модуляция по скорости

(ср. с задачей 3 к 1-й лекции) и произвольная модуляция по току, т. е.

ди

dt,

ди0

J (t0,

где f(u0) — периодическая функция

и„ с периодом 2л.

Р е ш е н и е .

В данном

случае

D (х) =

д . %

при 0 < * < ^ л ; .

(а)

Эту формулу, можно получить как из решений задач

2 и 3, полагая

Ь -> со ,

г -> эо,

так и из условия Г п = 1, вытекающего из формулы (6.64), поскольку согласно предыдущей задаче мы имеем

dV	" " і	2л	~
		г ~
j r = _ S=	a » I m У J _ / n ( C ) e - « n " = a* \ О ( и - и ) Л * 0 ,

, ,

Ш Р

о = — , (6)

где использована формула (7.09) и введено обозначение

1	0 3	1	I	0 0	I
D ( « - « / ) = —	lm " V — е'" ( « ' - " ) = , —			У	~sinn{u-u),
Я	Ad	Я' *	Я	Ad	п
	/1=1			л = 1

и суммирование ряда как раз дает формулу (а).

170

	Чтобы иметь возможность подставить в интеграл (Ь) простое выражение (а)
без	его	периодического продолжения, будем вычислять	интеграл в пределах
"о	~	ди	~
"о	< "о	< "о + 2я. Тогда в силу условия -^ц- > 0 функция и отличается от и

не больше чем на 2я и можно представить & в виде

«о +	2я		„				/	^	и„ + 2я
С		л — и А- и		~			/	^	«o-t-^Я
С		л — и А- и		~			я + и — —		I и dua
= 0	1		;	йи0= о 2		I	я + и — —		I и dua
«о			2л			I		2л	J
«о			« о + 2 Я
			« о + 2 Я
я + ы0 +	Ф -		1	("<> +	#)		du0
я + ы0 +	Ф -		2л	("<> +	#)		du0	V	b
								V	b
Таким образом, уравнение			движения принимает					вид
								2я
	а2	О-						£31
	а2	О-	— o2 (d—1?),		Т> = —			Н Ы и о ,
			— o2 (d—1?),		Т> = —			Н Ы и о ,
							2л J

откуда

а2 О

= 0, * = С 0 4 - С 1 С ,

as2

/ —

где С 0 и С, — постоянные.	В силу первого начального условия Сх = 0, поэтому
общее решение уравнения	движения имеет вид

д = С 0 + Л («o) sin о£ + В (ы0) cos а£. При взятых начальных условиях

А («о) =	— s i n « 0 .	S («о)=		Г [/'	("о)—1] d"o = / ("о)—"o + So,
	a		J
где постоянная	интегрирования 5 0		выбирается из условия
	2л				^	2я
	\" В (ы„) d«0 =	0,	т . е .	В 0	= я — —	^/(и„)<*и0 .
	о					о

Использование переменной £ и параметра 0 в данной задаче вряд ли рацио нально, поскольку синхронная волна отсутствует. Иначе результат можно за

писать	в	виде
			и = Су +	Ио + Л ( « 0 ) sin hp	z-\-B	(u0 ) cos hpz,		u0 =	at0	(а)
где						xco
						xco
				A (u0) =	— — sin u0-
Функция		и	= u(z, u0)	определяется соотношением			(а)	до тех пор, пока ди >		0.
11.		Используя		результаты задачи		5, найти	выражения		для величин	Г„,
Л п и	Г П Л П		при экспоненциальной аппроксимации усредненной функции Грина

(см. задачу 2) и для электронного пучка радиуса Ь, движущегося в трубе радиуса

а(см. задачу 4).

Ре ш е н и е . Вычисляя коэффициенты Фурье функции D(x), в случае экспоненциальной аппроксимации получаем

2я	1
Гп — ппАп = п (* D (х) sin	nxdx-
	л* + -

heb

получаем

Учитывая, что r = ——,

Ро

d In Г п

nhe

dTn

Л„

= d In (nhe)

Г„ d(nhe)

1 + ( я л ) 2

Г„ Л п =

(nr)2

[l +

(nr)2)2

Тот же результат

можно

получить, вычисляя

коэффициенты Фурье функции

D1(x).

Аналогично

находим

выражения

величин

Г п

и Г П Л П для электронного

пучка радиуса Ь, движущегося в трубе радиуса а:

оо

Г 2

У т

, Л ч

1 + ( t J

°°

Y m

1 п

" п —

я а

/ ,

с о т L « .

«•••

m=l

1 + V Ym

12.

Ha примере электронного пучка радиуса

Ь, движущегося в трубе ра

диуса а, проверить соотношение

Тп

—

T(nhe),

где T(h) — функция, полученная

в задаче

13 к 6-й лекции. Показать, что D(0) =

V 2 , при этом использовать соот

ношение

Г(0) = 0, полученное

в 6-й лекции.

Р е ш е н и е .

Функция

Y(h) имеет вид

4яа

h2 +

g2m

m = \

Из соотношения Г(0) =

0 получаем формулу

4яа

2gm Bom

Cm — 1,

m= 1

которую можно также вывести непосредственно, суммируя выписанный ряд Фурье — Бесселя. Комбинируя эту формулу с выражением (а) предыдущей за дачи и учитывая, что ym = gmlhe, получаем

				°°		з
Г „ = 1 - - ^ -				V	^ ~ ; B o m C 2			m =	V(nhe).
	4	Я а	т	= і	(nhe)*+gm
Полагая в этой формуле		he	=	0, получаем
	D(0)			hp S	- V -		„ 2		1
	D(0)		= -f~		У	УтВотСт		= — .
				4яа	4d				2
					т= 1
13. Формулы (7.28) можно переписать в виде
he(z—7)	= {й— и) (1 — Д),					ы = и (£,«„)>			и = и{1, щ),	(а)
		оо							/ х\п
E(he(z-	zj) =	2		Е п ( н - и ) 4 Л ,			E n ( x ) = s — - ^ - Е < п > ( д ; ) ,

тогда они будут точными, если величину А определить с помощью соотношения (а), а под Е < п ) (х) понимать п-ю производную функции Е(х). Показать, что в слу

чае	экспоненциального		взаимодействия				сечений		(см. задачу 2) при heb > 1
вторая формула (7.28) справедлива, если выполняются условия
			2л. - — <		1,	и—и		< 2л.		(6)
				heb				~		(6)
				heb				~
Найти выражение для А с погрешностью порядка є3 .
	Р е ш е н и е .	Согласно задаче 2
				1*1				г~-h„b
	Е(*) =		— е		sgnx,			г~-h„b	Р о ~ 1,
поэтому с точностью		до знака
	Е<">			(х)~~Е(х)	Е	п	(х)	Т 7	—
				г'1	Е		(х)	Т 7	—
и при условиях (6)
	Е ( Л е	(z — 7 ) ) = Е ( к			и)			(и — и) А
	Е ( Л е	(z — 7 ) ) = Е ( к			и)		1 + 0
Для	величины А получим разложение
			А	ди	е2	д2и , ~ .
			А

в котором при больших значениях -щ последовательные члены убывают медлен но. Однако при условиях (Ь) мы тем не менее имеем

Е {he ( г - Й ) » Е ( и - и ) .

Тот же результат получается согласно второй формуле (7.28), которая, таким образом, оказывается справедливой. Отметим, что всегда А < 1, т. е. знаки г — z и и — и одинаковы (если электроны не поворачивают).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К 7-й ЛЕКЦИИ

Л. А. В а й н ш т е й н.

Электронные

волны

замедляющих

системах.

нелинейных уравнениях

ЛБВ . «Радиотехника

и электроника».

1957, т. 2,

№

6, стр. 688—695.

Л. А. В а й н ш т е й н.

Нелинейная

теория

лампы

бегущей

волны.

Ч.

I. Уравнения и законы

сохранения. Ч. I I . Численные результаты. «Радио

техника и электроника»,

1957, т. 2, № 7, 8, стр. 883—894,

1027—1047.

Л. А. В а й н ш т е й н,

Г.

Ф.

Ф и л и м о н о в .

Нелинейная

теория лампы бегущей волны. Ч. I I I . Влияние

сил расталкивания. «Радио

техника и электроника»,

1958, т. 3, № 1, стр. 80—84.

М. Б. II е й т л и н,

А. М.

К а ц.

Лампа с бегущей волной. Изд-во «Совет

ское радио», 1964.

Г. Ф. Ф и л и м о н о в .

Изохронная лампа бегущей волны. «Радиотехника

и электроника», 1958, т. 3, № 1, стр. 85—93.

В. А. С о л н ц е в .

Анализ

изофазных

ламп с бегущей волной. «Электрон

ная техника», сер. I, Электроника СВЧ, 1971, № 11, стр. 87—95.

7.	Н. Я. М а л ь к о в а , А. С. П о б е д о н о с ц е в , В. Г. Б о р о д е н-
	к о. Оптимизация на ЭЦВМ выходных параметров электронных приборов
	СВЧ. «Электронная техника», сер. I, Электроника СВЧ. 1969, № 1, стр. 3—18.
8.	В. Я. С а в е л ь е в. К теории клайстрона. ЖТФ, 1940, т. 10, № 16,
	стр. 1365—1371.

Л е к ц и я 8

ГИРОРЕЗОНАНСНЫЕ ПРИБОРЫ

Эта и следующая лекция посвящены новому классу электронных приборов, а именно электронным приборам с криволинейными элек тронными потоками в однородном магнитном поле. Наиболее харак терной особенностью этих приборов является новый механизм фазировки, который определяет все другие отличительные черты этих приборов: применение в них волноводов и резонаторов без за медляющих структур, возможность достижения больших мощно стей, использование новых электронно-оптических систем в этих приборах. Эти приборы называются гирорезонансными, поскольку они работают на частоте, близкой к гирочастоте (циклотронной ча стоте) или к одной из гармоник. Новый механизм фазировки был обнаружен А. В. Гапоновым, он позволил создать ряд оригиналь ных приборов.

В этой лекции мы рассмотрим гирорезонансные приборы, в которых используются винтовые пучки в продольном магнитном поле. К числу этих приборов относится гиромонотрон (гиротрон) — мощ ный резонансный автогенератор, позволивший получить рекордные показатели.

Ввиду новизны приборов терминология еще не установилась. Пер воначальное название гирорезонансных п р и б о р о в — М Ц Р (МЦРмонотрон и т. д.), т. е. мазеры на циклотронном резонансе, не са мым удачным образом характеризует их.

Теорию гирорезонансных приборов мы будем строить, опираясь на теоретический аппарат, развитый в предыдущих лекциях, осо бенно во 2-й, 4-й и 7-й лекциях.

а.УСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Вгирорезонансных приборах электроны движутся под действием постоянного магнитного поля и переменного электрического поля, настроенного на частоту обращения электронов в магнитном поле. Особенности такого движения впервые проявились в циклотроне, предложенном и осуществленном в начале тридцатых годов Лоуренсом

для	ускорения тяжелых заряженных частиц — ионов.
/	В циклотроне переменное напряжение между дуантами DD

фис. 8.1) ускоряет частицы в такт с их круговым движением в постоян

ном магнитном поле	Я , перпендикулярном сегментам. Если	круговая
частота переменного	напряжения равна
	Й = — ,	(8.01)
	тс

где е и т — заряд и масса частицы, то частица, однажды ускоренная переменным электрическим полем в зазоре между дуантами, и в даль нейшем, проходя через зазор, испытывает ускорение, так что энергия

частицы накапливается, а траектория Представляет собой раскру чивающуюся спираль, состоящую из дуг окружностей. Отсюда и идет термин «циклотронная частота», который широко применяется в элект ронике. В циклотроне она порядка 10 Мгц.

Ускорению частиц в циклотроне кладет предел релятивистское возрастание массы со скоростью. Если под т понимать массу покоя, то угловая скорость обращения частицы в магнитном поле согласно теории относительности равна

" • - S i / ^ - V 7 - ? '

(8'02>

где через Q по-прежнему обозначена нерелятивистская циклотронная частота, а через v = | v | — скорость частицы. По мере ускорения частицы fiv уменьшается, ча

стица начинает опаздывать и проходит мимо зазора в другой фазе переменного напряжения; наконец, ускоряющая фаза сме няется замедляющей, частица тормозится и начинает накоп ленную энергию отдавать пере менному полю.

Вэлектронике представ


ляют интерес			именно		процессы,
в которых имеющаяся у элек
тронов энергия				(кинетическая,
а иногда		и потенциальная, см.
3-Ю	лекцию)		передается			пере-	Рис	8.1.	Схема	циклотрона,
менным		полям.		Эта	передача
при	круговом		движении			электронов	в постоянном			магнитном поле
оказывается			возможной			только потому,		что	скорость		их обраще
ния	зависит		от	энергии, благодаря			чему происходит				фазировка.

Если бы этой зависимости не было, то переменное поле при совпадении

его частоты с	частотой обращения осуществляло бынеограниченное
циклотронное	ускорение электронов.
Сказанное	можно обобщить следующим образом: любая система
неизохронных	электронных осцилляторов, т. е. электронов, колеб

лющихся в статических полях с частотой, зависящей от энергии, спо

собна при некоторых условиях отдавать		свою	энергию	переменным
электромагнитным полям. Общая	теория	таких	осцилляторов изло
жена в приложении I X . С точки	зрения	этой	теории	электронные

пучки, которые будут рассмотрены ниже, представляют собой част ные случаи систем электронных осцилляторов. Однако в нашем изло жении мы будем идти от частного к общему: таким образом достигается наглядность и до известной степени соблюдается историческая после довательность .

Чтобы иметь в виду конкретную модель, скажем прежде всего несколько слов о гиромонотроне. Монотроном называют прибор

с одним пролетным промежутком. Гиромонотрон представляет собой резонатор (обычный объемный резонатор или же открытый резонатор), пронизываемый электронным пучком с винтовыми траекториями; его принципиальная схема дана на рис. 8.2. Винтовые траектории невозмущенного пучка формируются однородным в пределах резона тора статическим магнитным полем Н и характеризуются углом % (угол

Анод

Коллектор

Рис. 8.2. Гиромонотрон (схематически).

Рис. 8.3. Винтовой пучок (винтовые траектории равномерно заполняют поверхность цилиндра ра диуса /•„).

намотки винтовой линии, см. рис. 8.3), связанным с продольной ско ростью электронов ve и их поперечной скоростью vt соотношением

tg % = Velvt.

Обычно tg %— 1/2, так что кинетическая энергия поперечного дви жения сравнима с кинетической энергией продольного движения.

Кинетическая энергия поперечного движения		частично	переходит
в	энергию электромагнитных колебаний, роль	продольной	скорости
ve	— в том, чтобы вводить винтовой пучок в пространство взаимодейст

вия и выводить отработанные электроны из этого пространства. Про дольная скорость остается практически постоянной, поэтому можно ограничиться рассмотрением поперечного движения электронов, счи тая, что электроны определенное время взаимодействуют с полем ре зонатора, после чего выбывают из игры. Продольная скорость ve вли яет на поперечное движение, поскольку согласно формуле (8.02) угловая скорость при отсутствии переменных полей равна

так что вместо Q надо брать произведение Q (1 — v2e/2 с2 ). В даль нейшем влияния продольного движения на поперечное мы учитывать не будем, чтобы не усложнять формул; в случае необходимости это легко сделать, производя указанную выше замену.

Более детально мы рассмотрим упрощенную систему, аналогичную гиромонотрону, в которой непрерывный поток электронов отсутст вует, а вместо него в резонатор вводится электронное кольцо (его можно рассматривать как короткий отрезок пучка, изображенного

на рис. 8.2), которое через некоторый промежуток времени	выводится
из резонатора.
Уравнение движения, как в 4-й лекции, напишем в комплексной
форме
z + iQvz = F,	(8.03)

где Ov определяется формулой (8.02), которую при vie <^ 1 можно заменить более простой формулой

Qv =	fl(l-J£},	V =	\| Z \| .	(8.04)
Из предыдущего ясно, что учет зависимости			гирочастоты от скорости
в гирорезонансных приборах	необходим: без него правильная			теория
невозможна. Это объясняется	тем, что механизм фазировки			в этих

приборах определяется малыми разностями частот, вследствие чего малые отличия Qv от Q оказываются важными. Последовательный вывод уравнения (8.03) из релятивистского уравнения движения дан в задаче 1. Правая часть этого уравнения такая же, как раньше (см. 4-ю

лекцию), однако статическое электрическое поле в данной				задаче
отсутствует, так что F есть комплексное (нерелятивистское) ускорение,
вызванное сверхвысокочастотным			электрическим полем.
Переписав	уравнение	(8.03) в	виде
	z+	iQ^\-±\z\^z	= F,	(8.05)
будем решать	его так же, как в 4-й лекции,—методом усреднения.
Полагая
	z = a + pe - "",		i = — iQ$e-iat,	(8.06)
получаем усредненные уравнения (см. задачу 3)
	а = ~ Т 7	, Р = ^ 3	1 Р 1 2 Р + ^ - ^	( 8 - 0 7 >

аналогичные уравнениям (4.11). Дополнительный член во втором уравнении (8.07) обусловлен неизохронностью орбитального движения,

т.е. зависимостью Qv от скорости.

Вформуле (8.06) орбитальное движение содержит множитель

ег1Ш,	а не	е _ ' Я у * ;	последний	множитель неправомерен, по
скольку	Qv зависит от t, а неизохронность орбитального движения
всего удобнее		учесть,	считая Р =	ге' ф и с р ^ О . В некоторых случаях

177

вместо		Q удобно	брать	£20	—значение	£iv	Для начальной скорости
v 0	(см. задачу 5) или же со (см. задачу					7).
	Комплексное		ускорение		F будем задавать в виде
		F	= F+(z,	z\	t)e-ia>' + F-(z,		z\ і)еш,	(8.08)
где	F+	и F~ — медленно			меняющиеся		функции	t, со — частота

переменного поля в резонаторе. При			подстановке выражения (8.06),
разлагая функции F+	и	F~ в ряд	по	степеням	$е~Ш{	и	р*е' а ',
получаем F в виде суммы рядов
	оо
\Х, V— О
	со
+	2	Fjr . vP \| 1 P* v e'l ( v - , l > Q + e > 3' ,					(8.09)
H,v = 0
где введены сокращенные		обозначения
F ± v = = - L a l	i + V /	r ± (а, а*,	0,	F 0 ± ,o=/ ? (a ,	а*,	/).	(8.10)

При усреднении мы должны считать величины .Fj,v , Р и Р* по стоянными, учитывая только явную зависимость от времени (экспо ненты). Полагая для определенности Q и со положительными, видим, что средние значения экспонент могут быть отличны от нуля только при условии

и тогда	(a = nQ,	л = 1 ,	2,...	(8.11)
и тогда	оо	оо
	оо	оо
	F = 2 F + v + „ p v p * v + " + 2 F v - + * , V P V + " P * V ,
	V = 0	V = 0		(8.12)
	оо	со		(8.12)
	оо	со
Fe^=	2 F v + v + « - . P V P * v +	" - ' + 2	F v - + „ + i . v P v + " + 1	r -
	v =0	v ~0

Если движение электронов происходит в однородном переменном

поле, то при	п = 2, 3... оба выражения (8.12)	равны	нулю, а при
п = 1
	р = 0, A ^ » W + .		(8.13)
Это — случай	простого орбитального резонанса	(со =	Q) в однород

ном переменном поле, о котором упоминалось в 4-й лекции. Сверх высокочастотные поля в резонаторах являются, конечно, в той или иной степени неоднородными, поэтому для них орбитальные резонансы возможны при любых п, однако при этом отличны от нуля, вообще говоря, обе величины (8.12), т. е. орбитальный резонанс сопровож дается резонансным движением ведущего центра (а=^0), вследствие чего ось винтовой линии (рис. 8.3) искривляется. Поскольку элект ронный пучок стараются обычно провести через ту область пространст ва, где возбуждаемое им электромагнитное поле наиболее интенсивно

178

(тогда взаимодействие получается наиболее эффективным), подобный дрейф нежелателен. Он будет мал, если на радиусе орбиты | р [ неодно родность поля мала, тогда и для неоднородного поля в первом приб лижении можно применять соотношения (8.13), а при п = 2, 3, ...

будут справедливы приближенные соотношения

F = Ft.n^n,	FgaTx=Ft,n-\^n"1,	(8.14)
причем	F^W^,	(8.15)
	F^W^,	(8.15)

т. е. дрейфовый резонанс будет выражен слабее орбитального, а ор битальный будет тем слабее, чем больше п. Соотношения (8.14) ана логичны соотношениям (4.21) и (4.23).

Таким образом, данный прибор генерирует на гирочастоте и ее гармониках. В дальнейшем мы ограничимся простым орбитальным

резонансом (п =1) и будем пользоваться соотношениями (8.13).										Тогда
уравнения	(8.07)	примут вид
		а	= 0,	p=	i L Q s \| p j » p +			j l	f + .	(8.16)
Если условие со =		Q выполняется не точно, а приближенно, то вместо
формулы (8.08) целесообразно исходить							из выражения
			F = F+e-tat			+ F-e!at				(8.17)
и считать	в стационарном				режиме
	F+=A+e-K*-Q){,					F-	=А~		е г < ш - й " ,	(8.18)
где Л + и А~ от t не зависят, если электроны									при своем продольном
движении	проходят		через		однородное		сверхвысокочастотное			поле.
В противном случае			надо	считать		Л +	и	А" медленно меняющимися
функциями	t.
В теории магнетрона наибольший интерес представляло уравнение
для а, т. е. дрейф ведущего центра. Здесь								же наиболее важно		урав

нение для р\ т. е. орбитальное движение, в котором учитывается реля тивистская поправка к угловой скорости. Если бы с самого начала мы считали орбитальное движение изохронным, т. е. применяли нере лятивистские уравнения движения, то получили бы вместо (8.16) уравнение

f U - i - F + ,

(8.19)

из которого следует, что большинство электронов увеличивает свою кинетическую энергию в переменном поле, хотя существуют и такие, которые уменьшают ее (см. задачу 4). В прошлом этот результат являлся серьезным препятствием: преобладание ускоренных электро нов при циклотронном резонансе оставляло для построения электрон ных приборов только один путь — искусственное удаление ускоряемых электронов из пространства взаимодействия. Например, электроны с большими радиусами орбит должны были оседать на стенке резона тора или волновода; ясно, что при этом нельзя эффективно заполнить

179

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ