книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

Проекции скорости и ускорения частицы выразятся фор­ мулами:

Переменные Эйлера

Другой подход, развитый Эйлером, в качестве объ­ екта изучения принимает не саму сплошную среду, а неподвижное пространство (или его фиксированную часть), заполненное движущейся средой. Различные ве­ личины, характеризующие движение, считаются функ­ циями точки и времени, т. е. функциями четырех аргу­ ментов хи t, называемых переменными Эйлера.

Например, выражение для скорости в данной точке

пространства с радиусом-вектором х имеет вид

V — V (х, t),

или в координатной форме

= vi (Xk, О-

Таким образом, с точки зрения Эйлера, объектом изучения являются различные поля (скалярные, вектор­ ные или тензорные), характеризующие движение сплош­ ной среды.

Поле скоростей

Воспользуемся переменными Эйлера и рассмотрим поле вектора скорости:

V = v(xh t).

Здесь Хі — декартовы координаты произвольной точ­

ки пространства М; ѵ — скорость материальной части­ цы, находящейся в этой точке в момент времени t.

Поскольку поле скоростей является частным случаем векторного поля, для его описания можно использовать результаты общей теории векторных полей [10].

40

Линии тока

Векторная линия поля скоростей называется линией тока. Касательная к ней в каждой точке совпадает с на­ правлением вектора скорости в этой точке.

Совокупность всех векторных линий образует карти­ ну течения в данный момент времени.

Поле скоростей может быть стационарным. При этом движение сплошной среды называется установившимся,

акартина течения со временем не меняется. Неустановившееся течение описывается нестационар­

ным полем скоростей.

Траектория

Траекторией материальной частицы называется кри­ вая, которую описывает частица во время движения.

Направление движения материальной частицы явля­ ется касательным к траектории. Поэтому траектория ка­ сается линии тока, проходящей через мгновенное поло­ жение частицы, когда она описывает траекторию.

Очевидно, для установившегося движения траекто­ рии совпадают с линиями тока.

Трубка тока

Возьмем в пространстве замкнутую кривую и прове­ дем линию тока через каждую ее точку. В результате мы получим трубку тока. Если поперечное сечение трубки тока имеет бесконечно малые размеры, то она называет­ ся струйкой тока.

Конфигурация струек и трубок тока для нестацио­ нарного поля скоростей изменяется с течением времени.

При установившемся течении сплошной среды труб­ ка тока ведет себя подобно действительной трубке, через которую течет жидкость, так как поток всегда касается стенок трубки, а эти стенки имеют фиксированное поло­ жение в пространстве, поэтому движение не изменится, если мы заменим стенки твердой поверхностью.

Рассмотрим в этих же условиях струйку тока. В пре­ делах поперечного сечения струйки тока скорость мож­ но считать постоянной. Пусть щ и ѵ2— скорости потока в точках, где площади поперечных сечений равны

и

41

Если среда несжимаема, объем, вытекающий через одно сечение, равен объему, вытекающему через другое сечение за то же время. Таким образом, можно записать равенство OI5 I = Ü252. Отсюда следует, что струйка тока расширяется в тех местах, где скорость уменьшается, и сужается там, где скорость движения сплошной среды увеличивается.

Потенциальные поля скоростей

Пусть поле скоростей имеет потенциал. Это означает, что существует некоторая скалярная функция ср (хі), с помощью которой выражаются компоненты вектора скорости:

Из теоремы Стокса (см. с- 37) следует, что необходи­ мым и достаточным условием существования потенци­ ального поля скоростей является обращение в нуль вих­ ря скорости:

rot о = 0,

или, что то же, определителя:

Поэтому потенциальные поля скоростей часто называют безвихревыми полями.

Поток вектора скорости

Пусть нам дана некоторая поверхность 2, фиксиро­ ванная в пространстве. Для элемента поверхности d2

с единичным вектором нормали п нормальная состав­ ляющая скорости ѵп определяется зависимостью

ѵп = ѵп = o( cos (п, et).

42

Вспоминая определение потока вектора (П-5), нахо­ дим, что объем, протекающий за единицу времени через поверхность 2, равен потоку вектора скорости через-эту поверхность:

(И-12)

Если поверхность 2 замкнутая, то по формуле Гаус­ с а — Остроградского (П-7)

Пусть среда несжимаема. Тогда объем, втекающий

вобласть w, равен объему, вытекающему из нее:

vn d 2 = О,

из леммы (см. с. 28) следует, что

Обратно, если div ѵ = 0, то поток вектора скорости че­ рез любую замкнутую поверхность равен нулю и среда несжимаема.

Поле скоростей, дивергенция которого равна нулю, называется соленоидальным или трубчатым полем.

Поле скоростей, которое одновременно является со­ леноидальным и потенциальным, называется гармони­ ческим векторным полем. Потенциал такого поля удов­ летворяет уравнению Лапласа:

43

Переменные поля в сплошной среде

В дальнейшем нам придется изучать процессы, протекающие во времени в движущейся сплошной среде.

Допустим, что мы имеем такое движение, причем поле скоростей

определяется функцией ѵ— ѵ(х, і). Другими словами, ѵ есть вектор скорости материальной частицы, проходящей в момент времени t че­

рез точку М (X).

— >-

Рассмотрим некоторую скалярную функцию ср(х, t), например температуру различных частиц потока. Будем предполагать, что эта функция зависит от координат и времени t.

Будем изучать изменение функции cp(x, t) с течением времени. Это можно сделать двумя способами: во-первых, можно рассматри­ вать изменение функции в данном месте; во-вторых, можно рассмат­

при вычислении которой радиус-вектор точки A4 считается постоян­ ным.

Чтобы охарактеризовать изменение ф для данной частицы за промежуток времени At, мы должны за приращение ф взять разность между значением функции в момент t-\-At в том положении части­ цы A4', в котором она находилась в этот момент, и значением функ­ ции в момент t в начальном положении ее A4. Предел отношения этого приращения к At при Л/-н>-0 называется полной производной tp по ( и обозначается:

Найдем связь между частной и полной производными.

При составлении полной производной от функции q>(X{, t) мы должны считать Х{ функциями времени t, поскольку частица, имею­

щая координаты Хі, перемещается со скоростью ѵ, причем Vi—dxildt. Таким образом, функция <p(Xi, t) является сложной функцией от времени t, а ее производная находится по правилу дифференцирова­ ния сложной функции:

Переходя к векторным величинам и повторяя те же рассужде­

ния, находим выражения для частной производной вектора а:

44

й полной производной вектора:

е*. (11-17)

В частности, ускорение материальной частицы есть полная про­ изводная от скорости по времени:

оа

Члены V grad ф в выражении (11-16) и —— в формуле (11-17)

ОХі

называются конвективными членами, они связаны с переносом ча­ стиц при движении сплошной Среды.

Если поле стационарно, то в нуль обратится только частная производная от этих функций по времени, полная производная в об­ щем случае будет отличной от нуля за счет конвективных членов.

Рассмотрим теперь изменение во времени интеграла по матери­ альному объему W, т. е. объему, состоящему из одних и тех же ма­ териальных частиц:

j f j V r , w

Пусть теперь функция ф остается постоянной, а изменяется толь­ ко объем W. Это может происходить только потому, что некоторые материальные частицы выходят или входят через пространственную

В результате этого интеграл I получит приращение фі/„ dtdZ,

а все приращение интеграла /, связанное с изменением объема W, будет, очевидно, равно

фц„ dZ dt.

45

Отсюда изменение интеграла / составит

а производная по времени имеет вид

(II-18)

.ром X и близкую к ней М' с радиусом-вектором x-\-dx.

—► —►

Скорость в точке М равна ѵ(х), а скорость в сосед­ ней точке составляет

V (х dx) = V (х) + dv,

где дифференциал равен

векторному аргументу х) на сумму симметричного

и кососимметричного

1 / Згц___ dvk \

тензоров, получаем:

V (х + dx) = V (х) +

(И'19)

46

Введя в рассмотрение вихрь вектора скорости:

е3

rot и

д д д

дхі дх2 дх3

»1 Ѵ2 получаем

(11-20)

Легко показать [9], что формула (П-20) представля­ ет скорость в точке М' в виде суммы трех слагаемых:

скорости V (X ) — поступательного перемещения элемен­

та W; скорости -^-rot v~Xdx, связанной с вращением эле­

мента как абсолютно твердого тела, и, наконец, состав­ ляющей

связанной с деформацией элемента.

Тензор скоростей деформаций

Симметричный тензор

называется тензором скоростей деформаций. Диагональные компоненты тензора

представляют собой скорости относительно удлинения элементарных отрезков, параллельных координатным осям.

47

Боковые компоненты тензора Т\ характеризуют ско­ рость искажения первоначально прямых углов между этими отрезками, т. е. скорость сдвиговых деформаций.

воротом координатных осей может быть приведен к диа­ гональному виду:

причем главные компоненты скорости деформации g, удовлетворяют неравенству

£і> £ з> £ * .

Вновой координатной системе боковые компоненты тензора равны нулю, отличны от нуля лишь скорости ли­ нейных деформаций в направлении осей координат. За время dt элементарный кубик с гранями, параллельны­

ми координатным плоскостям высотой I, и объемом до — = /3 превратится в прямоугольный параллелепипед с реб­ рами:

K i+ ^ d t) , /(1 + М 0 . Ң1 + Ш

и объемом W.

Относительное изменение объема с точностью до бес­ конечно малых более высокого порядка, чем dt, составит

t fW? = (gx + ga + g8)Ä.

Главные компоненты скорости деформации являются действительными корнями характеристического урав­ нения:

Инварианты тензора скоростей деформаций равны:

І1— £ll + І22 + £зз = Іі + 1? + 1?;

48

I — ^ik I — £і£г!з-

Физический смысл линейного инварианта I1 очевиден: эта величина равна скорости относительного изменения объема элемента среды. Это следует также из равенства

Девиатор скоростей деформаций

Тензор скоростей деформации может быть представ­

вен нулю. Поэтому девиатор характеризует скорости де­ формации элемента среды, не связанные с изменением объема.

Итак, разложение (П-23) представляет скорости де­ формации бесконечно малого элемента среды как супер­ позицию (наложение) двух деформаций: первая из них описывается девиатором и характеризует скорость иска­ жения формы элемента без изменения его объема, тогда