книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

с большими трудностями в связи с тем, что форма обла­ сти D заранее неизвестна.

Для использования метода конформных отображений предположим, что скорость V может быть представлена

Здесь ѵ(х, у ) — кинематически возможное безвихревое

поле скоростей (потенциальное решение), а ѵ'(х, у) — поправочное поле скоростей (поправочное решение).

П о т е н ц и а л ь н о е р е ш е н и е

Обозначая комплексный потенциал

w = Ф (х, У) + г'ф (х, у),

получаем:

где V — модуль вектора скорости о, а Ѳ— угол, который составляет этот вектор с положительным направлением оси X.

Для скоростей деформаций мы имеем:

Ъх у =

Всвете уравнений (II-102) производная от w'(z) по 2 тесно связана со скоростями деформаций и может быть названа комплексной скоростью деформаций:

4

80

Вернемся к решаемой задаче. Рассмотрим вначале установившееся течение идеально пластического мате­ риала (Т —T s ) . Будем считать, что часть границы может быть варьируема.

Для кинематически возможного, безвихревого поля

■■V —

скоростей V имеем: v — w'(z), а комплексный потенциал w(z) отображает область D на бесконечную прямоли­ нейную полосу Е:

Пусть граница у области Е состоит из т участков:

так что на уь имеем:

т = Tfe = 2цkTS = const.

Тогда

где Афй — приращение ф на у*.

Уравнение (II-108) может быть преобразовано в сле­

П а р а м е т р и ч е с к а я п о л у п л о с к о с т ь

Вместо того чтобы непосредственно искать зависимость z от ш, выразим обе функции через параметрическую переменную С = і+ й |, изменяющуюся в верхней полуплоскости Л. Если г (С) и да(С) изве­ стны, можно, исключая С, получить функцию z —z(w). Однако эта операция часто бывает трудной и по существу без нее можно ус­

пешно обойтись.

Покажем, что, зная функции z(C) и'да(С), можно вычислить че­ рез параметр С как мощность пластической деформации, так и гео­ метрические элементы течения.

Действительно:

~ X

Рис. 12. Течение идеально пластического материала в криволинейной по­ лосе

82

Рассмотрим задачи, в которых область /) представляет собой

нюю полуплоскость может быть выполнено с применением формулы Шварца—Кристоффеля:

угольника; константы Сі и С) зависят от расположения и ориента­

ции многоугольника на плоскости г. Если ат — оо, то соответствую-

_J

щий множитель (С—ат) т под знаком интеграла становится рав­ ным бесконечности. Три из указанных параметров могут быть выбра­ ны произвольно.

Предположим в связи с этим, что Яі = 0, а т = оо. Из уравнения (ІІ-109) получаем:

п

Пусть поток вектора скорости в области D составляет q еди­ ниц объема за единицу времени на каждую единицу глубины обла­ сти, измеряемой перпендикулярно к плоскости г.

П л о с к о с т ь л о г а р и ф м и ч е с к о г о г о д о г р а ф а

Рассмотрим более общий случай, когда область D представляет собой многоугольник АС с углами а*я при вершинах Ль, часть кото­ рых находится в бесконечности.

Граница области изменения w состоит из прямых линий, на ко­ торых ф = const, поэтому на плоскости w мы также получаем мно­ гоугольник В с углами Рья при вершинах B h.

После отображения на верхнюю полуплоскость С (см. рис. 11) получаем:

поскольку вдоль стенок ее мнимая часть также остается постоянной. Поэтому область С представляет собой многоугольник с углами

при вершинах /Ц.

После отображения областей fl и С на верхнюю полуплоскость

дk=l

84

а ее изображение на плоскости Q пройдет путь

dl = \dQ\ = V \ d \ n v \ 2 + \ S \ 2

вдоль линии тока ф (In — , Ѳ) =const.

V

У р а в н е н и е т е п л о п р о в о д н о с т и

Рассмотрим уравнение теплопроводности (ІІ-92):

Как мы уже отметили выше, к специфической труд­ ности наших задач относится необходимость решения краевых проблем для областей со сложной и неизвест­ ной границей.

Эта трудность может быть преодолена, если исполь­ зовать метод конформных отображений. Переходя к пло­ скости w, мы имеем:

85

Краевая задача для уравнения (11-125) значительно проще, чем для уравнения (II-122), поскольку граница области изменения w состоит из прямых линий, на ко­ торых 1)) = const.

Здесь V — потенциальное решение, ѵ' — поправочный вектор скорости, для которого в общем случае

Воспользуемся криволинейной ортогональной систе­ мой координат (ф, ф) на плоскости г, порожденной кон­ формным отображением области течения D на прямоли­ нейную полосу Е в плоскости комплексного потенциала w (см. рис. 12). Коэффициенты Ляме при этом равны:

Компоненты тензора скорости деформации, соответству­ ющие полю ѵ', имеют вид:

86

Ограничим задачу уточнением потенциального реше­ ния внутри области Еі — прямоугольника на плоскости w (рис. 13). На границе yj области Ех компоненты пф

иудовлетворяют условиям:

Следует отметить, что в более общем случае, снимая условие,

XF = 0 при ф = 0, ф = Ь,

можно уточнять также и границу области течения.

Для определения функции Чг(ср, Ф) будем варьиро­ вать поле скоростей внутри области Е\. Вариационное уравнение с учетом инерционных сил имеет следующий вид;

37

Здесь p — плотность среды.

Рис. 13. Уточнение потенциального решения

Переходя к переменным (ф, ф) и учитывая, что

88

получаем окончательно:

уравнения (П-139). Основным преимуществом такой по­ становки задачи можно считать неизменный вид обла­ сти Е 1 и однородные граничные условия для функции ¥ для широкого класса плоских задач. Решение может быть найдено любым численным методом. Остановимся на одном из них, а именно на модифицированном ме­ тоде Ритца [22].

Представим решение в виде двойного ряда:

где üij — параметры, определяемые из вариационного уравнения. Алгоритм решения подробно описан в гла­ ве IV.

Множитель ф2ф (а—ф)2 (b—ф) в уравнении обеспечива­ ет выполнение граничных условий (11-136) (см. рис. 13).

Н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е

Рассмотрим медленное течение вязко-пластической среды в полосе Е (см. рис. 11). Пренебрегая инерцион­ ными членами в уравнениях движения (II-83), для ком­ понентов напряжений будем иметь следующие зависи­ мости:

дх ду ’

(И-140)

д°ху _|_ дауу _ Q

дх ду

Введем функцию напряжений Ф(х, у), положив

89