книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

Коэффициентом Ck обозначим отношение скорости истечения через канал ©ь к средней скорости истечения:

единицы и определяется соотношением между потоком металла, вытекающим из канала со&, и площадью этого канала:

и, удовлетворяющее уравнению несжимаемости divo = = 0, кинематическим граничным условиям и описываю­ щее течение металла при прессовании.

Распределение потоков будем искать из вариацион­

касательные силы трения на боковой поверхности кон­

поверхность; и — температура.

В монографии [19] эта задача была решена с приме­ нением разрывных полей скоростей для идеально пла­ стического материала.

Использование разрывных полей скоростей, а также идеализация свойств материала (жестко-пластический), очевидно, не приводят к существенным погрешностям при анализе энергосиловых параметров процесса.

В то же время можно ожидать, что сложные свой­ ства реальных металлов и сплавов, в частности упроч­

100

нение, вязкость, а также неоднородность температурно­ го поля, могут существенно повлиять на кинематические условия процесса, исследование которых при прессова­

X

Рис. 16. Поле скоростей точечного стока, расположенного в беско­ нечном цилиндре

кинематически возможное поле скоростей. Воспользу­ емся методом суперпозиции точечных источников и сто­ ков [20].

В работе [21] приводится решение задачи о неста­ ционарном температурном поле бесконечного цилиндра, внутри которого в точке с координатами р', Ѳ', z '= 0 расположен мгновенный тепловой источник производи­

тельности 2Q (рис. 16).

Это решение для случая тепловой изоляции боковой

где функция f записывается в виде двойного ряда:

Уcos т (Ѳ — Ѳ') X

101

= 0 следует, что условие ди/дп= 0 выполняется также на плоскости 2= 0.

Очевидно, фундаментальная функция

для области 2> 0 удовлетворяет уравнению

и представляет собой потенциал безвихревого движения сплошной среды в полуограниченном цилиндре, порож­

Это позволяет построить кинематически возможное безвихревое поле скоростей, порожденное системой сто­ ков, распределенных в области ю с удельной производи­ тельностью ц(р', Ѳ'). Потенциал такого течения, соглас­ но принципу суперпозиции, может быть получен интег-, рированием фундаментального решения по области со:

102

область со. При выполнении условия r0I R o < .< L \ на до­ статочном удалении от стенок контейнера, мы приходим к задаче об истечении металла из полупространства 2 > 0 , ограниченного плоскостью z = 0, через каналы со*0

(см. рис. 17).

Наряду с цилиндрической системой координат будем использовать декартову систему координат (х, у, z), расположенную, как указано, на рис. 17.

Роль фундаментального решения в этом случае вы­

Прессование круглого прутка

В частности, если сток находится в начале коорди­ нат ( |= г | = 0), потенциал равен:

104

Тем самым, переходя к сферической системе коор­ динат (г, %, Ѳ), получаем потенциал радиального тече-' ния металла:

Составляющие скорости равны:

Рассмотрим в качестве примера разрывное решение задачи о прессовании круглого профиля (рис. 18), ре­ зультаты которого используем в дальнейшем.

Описанное выше поле скоростей соответствует ради­ альному течению металла в области r0<.r<.R0— в по­ лой полусфере, наружный радиус которой равен радиу­ су контейнера, а внутренний — радиусу прессуемого прутка. Вне этой области металл перемещается как аб­ солютное жесткое тело.

Подсчитаем мощность внутренних сил, выделяемую в этой области при прессовании идеально пластическо­ го материала:

105

т. е. при фиксированных свойствах материала и услови­ ях трения она пропорциональна потоку Q и логарифму

дополнительная мощность, рассеиваемая на поверхно­ сти разрыва.

Рассмотрим теперь течение металла в несколько круглых каналов соь, расположенных на плоскости

г — 0.

Потенциал поля скоростей при размерах каналов, достаточно малых по сравнению с расстоянием между ними, определяется формулой:

в свою очередь §*, щ — координаты центра тяжести ка-

НЯ Л Я (і)£.

106

На рис. 19 методом Максвелла построены линии то­ ка на плоскости £ = 0 для некоторых случаев течения. Для сравнения на рис. 20 приведены траектории частиц

â

Рис. 19. Картина течения на плоскости 2=0:

a — q, = q2; 6 ~ q , - 2 q 2

металла, движущегося по поверхности прессовой матри­

цы {qx = q2).

Переходя к общему случаю течения в каналы про­ извольной формы, получаем выражение потенциала в виде интеграла по области со:

107

где

V{х-І)* + (у-ц)* + г*

Вкачестве иллюстрации решим задачу о прессова­ нии тонкой полосы шириной 2 а и толщиной 2 6. В этом случае п — 1, <7і= а і= 1 -

сіУц

108

ром в начале координат. Как мы уже указывали, вели­

Рг

г■—радиус-вектор точки Р (|, ц );

р— радиус-вектор точки М(х, у, z).

Здесь Pm(cos у ) — шаровые функции (полиномы Ла­ гранжа) :

и т. д.

Подставив эти соотношения в (П-207), после инте­ грирования получаем:

109