книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

Кроме того, имеет место равенство тепловых потоков:

в процессах обработки металлов давлением, воспользу­ емся реологическими уравнениями [12].

Как обычно, предположим, что компоненты скорости деформации hk могут быть представлены в виде суммы

Упругие составляющие l eik линейно связаны с компо­

нентами скоростей напряжений от'-

\ik — Aiklm Olm .

Тензор упругих коэффициентов Ашт, очевидно, дол­ жен удовлетворять условиям симметрии по индексам г, k; I, т:

Вязко-пластические составляющие скоростей дефор­ маций ^vik удовлетворяют условию несжимаемости:

и связаны следующими соотношениями с компонентами девиатора напряжений:

№ 6?)

Интенсивность касательных напряжений Т=

/ ' sik sik есть некоторая функция температуры и, интенсивности скоростей вязко-пластических деформа­

ций Нг,= и интенсивности остаточных дефор­ маций сдвига:

t

Г11= fj№dt.

70

Таким образом, мы имеем уравнение состояния:

Т= Т(и, Н®, Г®).

Вдальнейшем, если противное не оговорено особо, будем предполагать упругие составляющие пренебрежи­ мо малыми по сравнению с вязко-пластическими, опу­ ская при этом значок ѵ в формулах, и получим уравне­ ние несжимаемости:

и вариационное уравнение (ІІ-51) можно записать в сле­ дующей форме:

71

Вероятность разрушения [13].

В теории разрушения металлов, развитой В. Л. Кол­ могоровым [14], предполагается, что можно ввести в

рассмотрение некоторую скалярную величину — «трещи­

новатость» и, которая характеризует пораженность эле­ ментарного объема деформируемого тела микродефек­ тами. _

Приращение to за время dt принимается пропорцио­ нальным приращению степени пластической деформации dT = Hdt и обратно пропорциональным пластичности Гр металла при реализуемом в данный момент времени на­ пряженном состоянии, показатель которого k = ocр/Т.

Моменту разрушения соответствует некоторая трещи­ новатость ар. Обозначив

(О

(II-73)

приходим к условию разрушения м = 1 .

Воспользуемся методами математической теории на­

рим испытания на пластичность, проводимые при фикси­ рованной температуре и, скорости деформации Н, пока­ зателе напряженного состояния k.

Пусть образец разрушается при Г= у- В общем слу­

Функция <2(Г) есть вероятность разрушения образ­ ца до деформации Г (рис. 8). Будем предполагать, что функция <2(Г) непрерывна и существует непрерывная плотность вероятности разрушения д(Г) = <2/(Г).

Наряду с функцией ф(Г) будем употреблять и дру­ гую функцию:

функцию надежности.

Рассмотрим некоторые числовые величины, характе­ ризующие функции Р и Q. Важнейшей из них является математическое ожидание деформации разрушения Му, совпадающее с пластичностью металла Гр при детерми­ нированном подходе к проблеме разрушения, развитом в работе [14].

72

Более логично считать, что

является дисперсия деформации разрушения:

оо

Dy = М (Г — Гр) = Му2 — (Му)2= f у2 q (у) dy — Г*.

О

Рис. 8. Кривые распределения вероятности разрушения для различных зна­

чений вектора s (k, и, Н...)

Введем теперь широко используемую в теории на­ дежности «функцию опасности разрушения».

Поставим следующую задачу. Пусть образец не раз­ рушился до деформации Г. Какова вероятность того, что он разрушится на участке Г, Г+ДГ.

Обозначим эту вероятность через Q(T, Г+ДГ).

73

Эксперименты показывают [16, 17], что, как прави­ ло, имеет место нормальный закон распределения веро­ ятностей Q(F). Докажем это аналитически, следуя [15].

Предположим, что образец, вырезанный из слитка, прокатанной, прессованной или кованой заготовки, име­

ет «начальную трещиноватость» ©о, распределенную по

нормальному закону с небольшой дисперсией. Пусть при

нагружении образца параметр © изменяется детермини­ рованным образом (рис. 9):

© = / (Г, ©о),

причем функция © монотонна по Г.

По условию разрушение наступит тогда, когда ю

превысит некоторый критический уровень ©р. Значит, деформация разрушения определяется из уравнения

f (У, «о) =

НЛП

У = Ф («0, (Dp),

где ф — обратная к f по первому аргументу функция.

74 .

Поскольку coo имеет малую дисперсию, то, раскладывая

функцию ф по формуле Тейлора в ряд в точке a— M(nQ, где М —математическое ожидание, и пренебрегая чле­ нами второго порядка, получим:

у = ф (а, (Dp) + фа (а, ыр)((0о — а).

Но если о)о является нормальной величиной, то де­

формация разрушения у как линейная функция от wo также распределена по нормальному закону. График функции опасности разрушения при этом показан на рис. 10.

Перейдем к анализу вероятности разрушения элемен­ тарного объема в условиях сложного нагружения, когда вектор

s{k, и, II...),

компоненты которого характеризует весь комплекс па­ раметров (вид напряженного состояния, температуру, скорость деформации и др.) для произвольного момента времени t, не остается постоянным.

Воспользуемся формулой (11-78), записав:

d l n P = — Ks [ Tf ( o) Tfd ta .

Здесь Xs — функция опасности разрушения, Гр —

математическое ожидание деформации разрушения, вы­ численные для реализуемого в данный момент времени

75

Легко видеть, что при монотонной деформации (s =

—const) из (П-82) будут получены распределения веро­ ятностей <3(Г), соответствующие испытаниям образцов на разрушение.

В общем случае формула (П-82) позволяет рассчи­ тать вероятность разрушения элементарного объема для немонотонных процессов.

6. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПРЕССОВАНИЯ

Плоское течение

Изучая решения, полученные в теоретической гидро­ механике [9], легко убедиться в том, что имеется глу­ бокая аналогия между движением идеальной жидкости и течением металла при обработке давлением. Можно ожидать в связи с этим, что методы гидродинамики при­ годны для построения приближенного «опорного» реше­ ния задач о пластическом течении.

Следует отметить, что к специфической особенности анализа течений со свободной поверхностью относится необходимость решения граничной задачи для области сложной и заранее неизвестной формы. В случае плос­ ких течений эта трудность может быть преодолена весь­ ма эффективным образом при использовании метода конформных отображений и вариационных принципов механики сплошных сред.

Рассмотрим плоскопараллельное течение упрочняю­ щегося несжимаемого материала в области D — криво­ линейной полосе с границей 5 (рис. 11). Вместо коор­ динат Хі (( = 1, 2, 3) введем более удобные для плоско­ го случая переменные х = х ь у = х 2, причем комплексная

Основные уравнения в новых обозначениях принима­ ют следующий вид:

а) уравнения движения

76

Рис. 11. Течение материала в м н о г о у г о л ь н о й области (прессование полосы)

77

т = | / + ^ ог«)

Будем предполагать шока, что упругие составляющие деформаций пренебрежимо малы по сравнению с пла­ стическими составляющими.

Для идеально пластического материала

78

Обозначим компоненты поверхностных напряжений

оп, действующих на единицу площади, как опх и апу, имеем уравнение энергий в следующей форме:

Обозначая р и —т, ѵп и ѵх соответственно нормаль­ ную и касательную составляющие поверхностной нагруз­

Предположим, что граница S может быть разбита на две части: S b на которой заданы ѵп и т, и свободная по­ верхность S2, на которой р = т= 0 .

Тогда принцип виртуальной работы [уравнение (П-51)] можно записать в следующей форме:

да инерционными силами можно пренебречь, уравнения

Следует заметить, что непосредственное применение метода Ритца для решения описанной задачи связано

79