книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

При этом уравнения равновесия (11-140) удовлетво­ ряются тождественно.

В упругих частях полосы D функция напряжений удовлетворяет бигармоническому уравнению:

инекоторой системе граничных условий.

Вобласти, где имеет место вязко-пластическое тече­

ние, поле скоростей ѵ(х, у) определяет вязко-пластиче­ ские составляющие скоростей деформаций \ ѵхх, lvyy, lvxy

и по формулам (II-85) — компоненты девиатора напря­ жений Da: sxx,sVy,sxy.Таким образом, в этой области

среднее напряжение оср остается неопределенным. Попытаемся найти приближенное выражение функ­

ции напряжений, определяющее напряженное состояние во всей области D. Перейдем к плоскости до = <р-}-іф. Тем самым на плоскости z вводится криволинейная ор­ тогональная система координат (ср, ф). Уравнения (11-141) принимают следующий вид:

(II-143)

где, как обычно, h — \z'{w) |.

В упругих частях полосы /г(<р, ф) = const и

№ ЗфЗф'

Конформное отображение сводится лишь к измене­ нию ширины полосы, а функция напряжений Ф(ф, ф) по-прежнему удовлетворяет бигармоническому урав­ нению

90

Эта функция является решением уравнения (II-142) при произ­ вольных значениях постоянных ku k2, А, В, С, D и X. Сумма решении типа (II-153) является также решением бигармонического уравнения (П-142), так как это уравнение линейно.

Взяв достаточно большое число членов такой суммы, мы будем подбирать произвольные постоянные с тем, чтобы удовлетворить гра­ ничным условиям.

Предельным переходом можно показать, что интеграл вида

В последней формуле положены k\—k2= \ , что, очевидно, не уменьшает общности решения, а Y\(Xy) и У2(Ху) вычисляются по формуле (П-152) с коэффициентами

Л і(Я ), В ^ Х ), Сі(Х), Di (X) и А2(Х), В2{Х), С2(Х), D 2 (X)

(последние функции от X).

Применим вышесказанное к определению напряженного состоя­ ния упругой прямоугольной полосы. По сторонам полосы распределе­ ны нормальная и касательная нагрузки: рі и Ті — на верхней сторо­ не, р2 и х2— на нижней стороне.

По формулам (11-141) будем иметь:

°хх ~ ^ = [ cos KxYi (^У) dX +

+IX2 sin XX Y 2 (Xy) dX;

—ос

— ao

J

92

Граничные условия с помощью формул (II-155) запишутся сле­ дующим образом:

при р = О

Эти условия должны послужить для определения коэффициентов

Структура последних формул аналогична структуре формул (157). Действительно, положим в (II-159), что f (x )= p I(x), и, срав­ нивая результат с третьей формулой (11-155), найдем, что

Аналогично найдем У^ЯЛ), У2 (ЯЛ), УДО), У2(0), УДО), У2 (0).

Найденные восемь уравнений восьми граничных значений функций Уі (Яр) и У2(ЯЛ) и их производных следует подставить в левую часть, а в правых соответственно положить у = 0 или р = Л.

93

Это дает восемь уравнений для определения восьми коэффици­ ентов А\(X), В\(Х), ....

Граничные условия для полосы будут удовлетворены, остается определить напряжения по формулам (11-155).

Осесимметричное течение [18]

Введем вращательно-симметричную криволинейную ортогональную систему координат (ср, ф, Ѳ) (рис. 14). Коэффициенты Ляме при этом равны:

где z'{w) — функция, конформно отображающая криво­ линейную полосу плоскости z — x-\-iy на прямолинейную полосу Е плоскости ш= с р гіф шириной Ь. Здесь b — ве-

Рис. 14. Осесимметричное течение сплошной среды

94

личина потока плоского потенциального течения в поло­ се D.

Такое отображение можно приближенно осуществить с помощью интегратора ЭГДА для криволинейной по­ лосы практически любой конфигурации. Компоненты

Введем в рассмотрение функцию тока осесимметрич­ ного течения Т*-, через которую в свою очередь будут определяться компоненты вектора скорости:

После подстановки (ІІ-163) в (П-162) можно полу­ чить выражение для скоростей деформации непосредст­ венно через функцию тока:

95

Будем искать функцию тока У области Еі на плоско­ сти о> = ф+гф, ограниченной прямоугольником 0 < ф < а, Границы области Е\ по ф выбраны таким об­ разом, что при ф < 0 и ф>- а имеет место однородное

прямолинейное перемещение сплошной среды.

Функция Ч'- должна удовлетворять следующим гра­ ничным условиям:

где Хо— Го/Ео; k i— rJRi, 2nq — поток осесимметричного течения.

Соответствующие граничные условия для компонент вектора скорости имеют вид:

Функцию тока, в соответствии с (11-99), представим в виде суммы двух функций Чг0+Ч г/, где 4го — функция тока опорного решения; — поправочная функция тока.

Выберем функцию 4го таким образом, чтобы она удо­ влетворяла граничным условиям (II-165). В общем слу­ чае такому требованию отвечает функция тока опорно­ го решения следующего вида:

96

При Хо=Хі = 0 (сплошное тело) % имеет более про­

симметричной задачи совпадают с линиями тока плоско­

сти, удобно воспользоваться модифицированным мето­ дом Ритца [22].

Будем искать Д ' в следующем виде:

где

Таким образом, проблема уточнения опорного реше­ ния с помощью поправочной функции тока сводится к

нахождению коэффициентов а, из вариационного уравне­ ния (II-172). Алгоритм решения подробно описан в гла­ ве IV.

7. ОБЪЕМНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПРЕССОВАНИЯ

Решение с использованием непрерывных полей скоростей

Рассмотрим задачу о прессовании профилей из круг­ лого контейнера через плоскую матрицу (рис. 15). Вве­ дем цилиндрическую систему координат (р, Ѳ, z), как показано на рисунке.

На плоскости матрицы (z— 0) расположены каналы, через которые вытекает металл. Пусть скорость истече­ ния из канала соъ. (£ = 1, 2, ..., п) равна щ, а скорость пе­ ремещения прессшайбы ѵй. Суммарный поток металла (объем, протекающий за единицу времени через все ка­ налы) составляет

где Po — радиус контейнера; Фо — площадь поперечного сечения контейнера.

98

Поток через отдельный канал со*, площадь которого равна Фй, обозначим