книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

Полученная система линейных алгебраических урав­ нений с трехдиагональной матрицей запишется:

(1 + л*+а/2) у * Х Г - (2 + ^ + “/2) ^ + “/2+

Это уравнение на каждом слое решается методом прогонки. Полагая а = 1 , /== 0, 1, /V, вычислим прого­ ночные коэффициенты аа+1/2, ßife+1/2:

191

мулам (ІѴ-30) снова вычисляем прогоночные коэффици­ енты Ckj'h+U ßj,ft+i и т. д.

5. БЛОК ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

Значения Т = Т (и, Н, Г), входящие в уравнения (ІѴ-3), характеризуют свойства обрабатываемого мате­ риала и их можно определить при помощи математиче­ ской обработки результатов механических испытаний. Наиболее интересные данные для использования при реализации на ЭВМ математической модели процессов прессования могут быть получены с помощью испыта­ тельных машин типа пластометра, обеспечивающих ис­ следование зависимости Т = Т (и, Н, Г) в широком диа­ пазоне изменения и, Н, Г.

Представление экспериментальных данных в виде опытных кривых, графиков и таблиц достаточно нагляд­ но и удобно при анализе и обработке результатов экс­ периментальных результатов эксперимента. Однако ввод массивов чисел при проведении расчетов на ЭВМ часто затруднен в связи с необходимостью хранения больших объемов информации в оперативной памяти машин.

192

Наиболее удобным и широко распространенным спосо­ бом представления экспериментальных данных является их математическая обработка с целью получения доста­ точно простых формул, аппроксимирующих зависимость Т (и, Н, Г).

в виде таблицы. Задача состоит в определении значений bi, th и nij, обеспечивающих наилучшее приближение экспериментальных результатов зависимостью (ІѴ-30).

Для заданной выборки из п значений Т, Г, Н, и ко­ эффициенты Ьі можно определить методом наименьших квадратов [66], полагая в первом приближении значе­ ния rrij заданными.

при ^= co n st, m j=const приводит к системе линейных алгебраических уравнений для определения значений вектора Ь = (Ь 0, Ьи Ь2, Ь3, Ь4, Ь5), соответствующих за­ данному набору параметров Д, ту

— = 2 У Г ln J j = l L _ в\ ln Н,-1 In II,- ^ = 0. (ІѴ-32)

Сделаем в (ІѴ-31) замену переменных:

*0 = 1, xlk = uk, x2fe = «2, x3fe = Г, xik = Г2, x5k= и Г.

Система уравнений (ІѴ-32) в новых обозначениях принимает вид:

можно воспользоваться одним из методов поиска экст­ ремума [56].

При этом задача сводится к решению или оптимиза­ ции системы трансцендентных уравнений:

194

Решение системы трансцендентных уравнений (ІѴ-34) производится комбинированным методом, использую­ щим случайные и детерминированные процессы поиска экстремума функций многих переменных.

Таким образом, алгоритм определения векторов Ь —

= (bi), т — (тj) и t — (tk) сводится к заданию Д, rtij

с последующим определением й,- из системы (ІѴ-33) и оценкой дисперсии S.

Программа обработки результатов механических ис­ пытаний разработана для ЭВМ «Минск-32».

Точность аппроксимации экспериментальных данных можно признать приемлемой для использования зависи­ мости (ІѴ-31) при реализации на ЭВМ математической модели процессов прессования.

6. БЛОК РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

И АНАЛИЗА УСЛОВИЙ РАЗРУШЕНИЯ

Как уже отмечалось, программы, описанные в дан­ ной главе, могут быть использованы как для комплекс­ ного исследования процесса прессования, так и для ре­ шения отдельных специфических для данной програм­ мы задач. Так, программу уточнения опорного решения можно применять для расчета кинематических парамет­ ров при допущении о постоянстве распределения темпе­ ратур в области течения. Программы расчета темпера­ турных полей могут использоваться для исследования распределения температуры при заданном распределе­ нии кинематических параметров процесса.

Однако расчет напряженного состояния и анализ ус­ ловий разрушения не могут быть рассмотрены вне ком­ плекса, так как они используют информацию, получен­ ную в других блоках. В известном смысле можно счи­ тать, что анализ условий разрушения является логиче­ ским завершением комплексного подхода к проблемам математического моделирования, его целью.

нент девиаторов, рассчитанных с использованием функ­ ции Ф°(ф, ф) и вычисленных на основании соотношений

го) решения и в данной задаче применяются в качестве исходной информации.

Для анализа условий разрушения в качестве исход­ ной информации пользуются расчетными данными, по­ лученными с Помощью других блоков модели (распреде­ ление температуры, напряжений, интенсивности сдвиго­ вой деформации). Вероятностные характеристики (рас­ пределение вероятности разрушения), необходимые для анализа, получены из статистической обработки резуль­ татов испытаний на пластометре.

Г л а в а V

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОГО МЕТОДА ДЛЯ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕССОВАНИЯ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ПРЕССОВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Опорное потенциальное решение

Рассмотрим решение плоской задачи теории прессо­ вания, следуя методике, описанной в главах II и IV. По­ строим опорное потенциальное решение (рис. 38).

На рис. 11 можно видеть, что в точке А3 z ( l ) = 0 = C i .

196

Уравнение (П-111) принимает вид:

1

и поле скоростей может быть определено как

dw dw dz

V =

'а,=0 а2=а a y i

Рис. 38. Прессование полосы

откуда имеем:

197

Уравнение (11-106) может быть преобразовано в еледующее:

Для константы k имеем следующую двустороннюю оценку:

2 In 2 + —

2 \ n 2 < k <

ЯЯ

где G= 0,915965— постоянная Каталана. Уравнение (Ѵ-1) дает:

Уточнение опорного решения

Поле скоростей при потенциальном течении пол­ ностью определено, если известна форма границы обла­ сти D, т. е. в нашем случае задан угол Ѳ .

В то же время вихревой характер действительного течения металла, влияние сил трения, действующих на контактной поверхности, неравномерное распределение температуры приводят к необходимости построения по­

правочного поля скоростей ѵх.

Выделим областы Е\ (прямоугольник на плоскости w — ф+г’Ф), в которой представим поправочную функцию тока в виде полинома.

Прямому истечению соответствуют силы трения х ф О, распределенные вдоль отрезка границы А2АЪВ. В ре­ зультате скорость скольжения частиц металла вдоль контактной поверхности уменьшается и в определенных условиях металл -прилипает к поверхности контейнера подобно вязкой жидкости, движущейся в канале.

198

Эти общие соображения подтверждаются анализом картин течения, полученных расчетом по программам математической модели, описанным в предыдущей гла­ ве, для двух случаев прямого прессования (рис. 39 и 40):

Рис. 39. Картина течения, полученная при моделировании прямого прессования: //(,///,=2, Ѳо=45°:

Рис. 40. Картина течения, полученная при моделировании прямого прессования; Я0/Я!=7, Ѳо=90°:

тока

199

«о.= 2, О = 45°;

Hi

До.= 7, Ѳ0= 90°.

Hi

При этом полагали: ц=0,25, рі=Рг — 2, материал—■ сплав Д16.

Продолжительность расчета на ЭВМ «Минск-32» в этом случае равна приблизительно 1,5 ч (10 итераций). Начальное время расчета одной итерации состав'ляло 10 мин; в течение первых шести итераций оно постепен­ но сократилось до 5 мин последовательным уменьшени­ ем расчетной области до совпадения ее с зоной эффек­ тивного уточнения. По табл. 32 можно проследить, как изменяются значения коэффициентов разложения уточ­ няющей функции тока и максимальное значение самой функции по итерациям.

Т а б л и ц а 32

Изменение параметров процесса уточнения для случая прессования с прямым истечением a^-lO “4

При прессовании с обратным истечением заготовка не перемещается относительно контейнера и влияние ка-

200