книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

4.Сумма квадратов для взаимного эффекта

5.Сумма квадратов ошибки

Для определения среднего квадрата изменения пе­ ременных суммы квадратов делили на число степеней свободы и затем находили значения F-критериев для проверки гипотезы о независимости переменных фак­ торов:

Значимость полученных F-критериев определяли при сравнении с табличными значениями при заданном уров­ не значимости Р.

Так как оба переменных фактора количественные, то соответствующие им эффекты влияния следует разбить на линейные и квадратические эффекты:

икв = 1 ( 1 ^ ) — 2 (£Е2) + 1 (£Е3), ГГ « =

JJК В

где F' —2 для линейных эффектов; F'= б для квадрати­ ческих.

Аналогично подсчитываются линейный и квадратиче­ ский эффекты и для скорости деформации g.

В табл. 21 сведены результаты полного дисперсионно­ го анализа испытаний сплава В93.

Изменение температуры и скорости деформации ока­ зывает значительный линейный эффект влияния на ве­ личину а, причем для данного сплава значимость изме­ нения скорости почти в три раза выше значимости изме­ нения температуры (F^ —45,0; F„ = 15,7).

Изменение температуры испытаний оказывает лишь линейный эффект влияния на величину а, а изменение g

151

В табл. 22 приведены результаты дисперсионного анализа всех испытываемых алюминиевых сплавов.

Очевидно, что для всех испытанных сплавов в вы­ бранном диапазоне деформирования значимость измене­ ния скорости заметно выше (скорость меняется на четы­ ре порядка). Эффект взаимного воздействия и и | для всех сплавов (за исключением В95) незначим на 5%-ном уровне. Особенно значительное влияние скорости на а ха­

152

рактерно для сплавов АМгб, АМгЗ, АКб. Для сплавов Д1, Д16, В95, В95-4, САП-1 изменение температуры так­ же оказывает значительный эффект влияния, который со­ измерим со скоростным эффектом.

Регрессионный анализ результатов испытаний

В работе был проведен регрессионный анализ резуль­ татов испытаний всех сплавов в диапазоне |= 1 0 -2-т- -f-ІО2 с-1 и и=350-І-450о С с центральной точкой Е=1 с-1, и= 400° С.

Уравнение регрессии для определения величины со­ противления деформации в выбранном диапазоне пред­ ставлено в виде:

а = о0 + Ь1х1 + Ь2х2 + Ь12 хгх2, (III-10)

где (Т = сг при Е=1 с-1 и и= 400°С; Х\ —температура ис­ пытаний в диапазоне 350—450° С; х2— скорость дефор­

153

«НАПРИ». Чтобы использовать данные табл. 23 для на­ хождения величины сопротивления деформации при определенных температурно-скоростных условиях де­ формирования, внизу таблицы приведены зависимости, определяющие значения сомножителей Х \ и х 2 .

скажем для сплава АМгб, составит, МН/м2 (кгс/мм2):

а — 115(11,5) — 26,2-(— 0,4) + 50,2-0,35 —

— 6,7 (— 0,4)-0,35= 143(14,3).

При расчетах о для других диапазонов изменения переменных соответственно должны измениться коэффи­ циенты уравнения регрессии.

Определение на пластометре оптимальных условий деформирования алюминиевых сплавов1

Многие исследования, проводимые в физике, химии и металлургии, сводятся к решению экстремальных за­ дач, направленных на отыскание условий протекания процесса или на оптимальный выбор состава многоком­ понентных систем. Последнее время для решения этой задачи успешно применяются статистические методы планирования экстремальных экспериментов [56—58].

Планирование эксперимента представляет собой но­ вый подход к методике проведения исследования, в ко­ тором математическим методам отводится активная роль.

Основываясь на априорных сведениях об изучаемом процессе, исследователь выбирает оптимальную страте­ гию для управления экспериментом, при этом процесс исследования обычно разбивается на отдельные этапы. После каждого этапа исследователь получает новую ин­ формацию, позволяющую ему изменять стратегию ис­ следования.

Решение экстремальной задачи проводится в три этапа. На первом этапе определяется направление дви­ жения к той области, где условия протекания процесса оптимальны. Для решения этой задачи достаточно ис­ следовать поверхность отклика на небольшом участке, ограничиваясь линейным приближением. Целью второго

1 Данная работа выполнена при участии Трыонг Ван Кау.

154

этапа исследования является нахождение области опти­ мума по выбранному направлению. Задача последнего этапа сводится к получению значительно более полного представления о поверхности отклика. На этом этапе ап­ проксимация поверхности отклика проводится уже с ис­ пользованием полиномов второй, а иногда и третьей сте­ пени.

При исследовании пластичности алюминиевых спла­ вов в зависимости от двух параметров: температуры и скорости деформации — фиксировались относительное удлинение и сужение, а также величина временного со­ противления Он• В качестве первого этапа планирования эксперимента для отыскания направления движения к области максимальной пластичности был выбран пол­ ный факторный эксперимент для двух независимых пе­ ременных, варьируемых на двух уровнях (планирование типа 22) .

О с н о в н ы е з а в и с и м о с т и при п л а н и р о в а н и и т и п а 22

Математическая модель при планировании экспери­ мента для двух независимых переменных, варьируемых на двух количественных уровнях, имеет вид [57]:

Чтобы определить уравнение плоскости, наилучшим образом соответствующей этим четырем точкам, рас­ смотрим ошибку S уравнения (Ш-11):

S = у — BQXQ By Ху В2 X2 By2Хух2.

Сумма квадратов этой ошибки составляет:

E S2 = Е (у — BQXQ— ВуХу — В2х2 — В 12ХуХ2у ,

где суммирование производится по всем точкам, задан­

ным в плане.

Чтобы найти коэффициент В после дифференциро­ вания по каждому из этих параметров, приравняем ну­ лю полученные уравнения:

155

Отсюда получаем нормальные уравнения наимень­ ших квадратов, решив которые можно найти лучшие оценки параметров В. Обозначив эти оценки через Ь, имеем:

2 х0У=Ьо£ Х1+Ьг2 хг х0+Ь2£ х2х0+Ьп £ хг х2х0;

(ІІІ-12а)

£х1х2г/=Ь0£ х0х1х2+&1'&х\х2+Ь2Ъххх\ +

+&12£х?*2.

Данные уравнения решаются с помощью методов матричной алгебры. Для факторного эксперимента ти­ па 22 значение х0 всегда берется равным 1, а значения х\ и х2 на верхнем уровне считаются положительными, на нижнем — отрицательными. Матрицы планирования типа 22 представлены в табл. 24

и, следовательно:

2 хі х 2 X Q — 0; £ X Q Х х = 0; £ X2 Х 2 = 0; £ х\ х\ — 0.

Таким образом, нормальные уравнения для началь­ ных квадратов преобразуются, и в результате можно записать формулы для определения коэффициентов:

156

Однако в этом случае число опытов будет равно чис­ лу оцениваемых параметров и не останется степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватном представлении. Одним из способов улучшения этого пла­ на является выбор двух или нескольких точек в центре квадрата. Тогда коэффициенты Ь0 превратятся в Ьоц, т. е. с учетом центральных точек:

С x f х\

Полная сумма квадратов JJn = S(x0(/)2.

Остаточная сумма

ИоеТ= Я « - ( Я &0+ Я 6. + Я &2 + Я М - Ошибка составляет

JI е УІ2~ (Уоі+ Ую)2

где уоі и уо2 — значения выхода двух центральных точек.

Сумма квадратов по модели

f f . - J J W J 'e -

157

Определение Fpac4 для b0, bu b2, bi2 проводится как при обычном дисперсионном анализе:

где К — степень свободы для модели.

Неадекватность модели определяется значением Ам:

'W J c p /H * -

По изложенной методике была исследована поверх­ ность отклика при испытаниях на растяжение сплава 1915. Основной уровень исследования был выбран при « = 400° С и |= 1 0 с-1 (lg 1=1,0), интервал варьирования по температуре составил 30 град, по скорости A l g | = = 0,075.

При планировании типа 22 с двумя центральными точками и при числе наблюдений п —5 общее количество испытаний составило 30. Порядок эксперимента был пол­ ностью рандомизирован. Обработка данных велась по программе, составленной для ЭВМ «НАПРИ». Програм­ ма предусматривала следующий порядок обработки ре­ зультатов испытаний:

1. Определяются значения б,%, ф,%, и сгв, Мн/м2 (кгс/мм2), при каждом наблюдении. После проверки по критерию крайних значений находятся средние значения измеряемых параметров для каждого условия испыта­ ния (табл.25).

2.Рассчитываются коэффициенты уравнения откли­ ка, их суммы квадратов и составляется таблица диспер­ сионного анализа данных коэффициентов (табл. 26)

3.Проводится проверка значимости коэффициентов

иадекватности модели.

При обработке результатов испытаний сплава 1915 были получены следующие уравнения отклика для ис­ следуемых параметров:

158

Т а б л и ц а 25

Результаты исследования Пластичности сплава 1915 методом планирования эксперимента типа 22

сдвумя центральными точками при основном уровне

и— 400° С и lg-1 =1,0

159

160