книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

вым. Как правило, в дальнейшем используется правый

базис.

Соответствующая базису система координатных осей Хи х2, х3 называется ортогональной прямолинейной (де­ картовой) системой координат.

Возьмем произвольный базис ей а2, е3. Любой вектор

I- ►

а может быть разложен по базисным ортам, т. е. мож­

но записать а= аіе1-\-а2е2-\-а3е3.

Величины аи а2, а3 называются координатами векто­

ра а; они представляют собой п р о е к ц и и вектора на

ОСИ Х\, х2, х3.

Поскольку вектор полностью определяется своими ко­ ординатами, можно использовать еще одно обозначение вектора:

а = (alta2,a3).

Правило суммирования А. Эйнштейна

В дальнейшем нам будут часто встречаться выраже­ ния с индексами — верхними и нижними, например аи

Ьік - С еІ І и т - Д-

Целесообразно, следуя А. Эйнштейну, ввести прави­ ла сокращенной записи таких выражений. При этом бу­ дем предполагать, что:

а) каждый буквенный индекс, встречающийся в вы­ ражении один раз, может принимать значения 1, 2, 3;

б) по дважды повторяющемуся в одночлене буквен­ ному индексу производится суммирование от 1 до 3.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Выражение с одним буквенным индексом с,-. Оно представляет собой совокупность трех величин: аь а2, а3.

і= і

+ Ö33 •

30

3

4. Выражение афг = £ афг = а\Ь\-\-аф2-\-агЬъ так-

же представляет собой сумму.

Заметим, что индексы суммирования часто называют «немыми» в том смысле, что сумма, очевидно, не меняет значения, если заменить этот индекс другой буквой, на­

пример аіЬі— аііЬк= аіЬ 1-\-а2 Ь2-\-афз-

Пользуясь правилами сокращенной записи, приве­

дем в сжатой форме обозначение вектора а = (щ) и пра­ вила действия над векторами, представляемыми своими

координатами: сложение векторов а + ^ = (а,+&,-), -ум­

ножение векторов на число ’Ка= ’к{аі), скалярное произ- —>—►

ведение векторов а • b= аф{ = аф і+ а 262+ а3^з, векторное произведение векторов

ки М можно определить ее радиусом-вектором х, тогда скалярное

в рассматриваемой области вместе с частными производными пер­ вого порядка по всем переменным. Далее, при изучении свойств ска­ лярных полей будем фиксировать некоторый момент времени, считая l = const. Тогда функция ф будет зависеть только от переменных Хі.

Рассмотрим при этих предположениях все точки скалярного по­ ля, в которых данная функция принимает постоянное значение ф(*і) = const.

Геометрическое место таких точек заполняет некоторую поверх­ ность, которая называется поверхностью уровня, или и з о п о в е р х ­ н о с т ь ю . Так, для температурного поля поверхности постоянной температуры называют изотермами, при изучении распределения дав­

Если провести поверхности уровня, отвечающие равноотстоящим значениям функции, то полученная картина позволяет судить о свой-

31

ствах изучаемого поля. Например, места сближения двух последо­ вательных поверхностей указывают на быстрое изменение здесь функ­ ции ф. Там, где поверхности располагаются дальше друг от друга, скорость изменения функции будет меньше.

Производная по направлению

При изучении скалярного поля важно знать скорость изменения функции ф, задающей это поле, при переходе от одной точки обла­ сти D к другой. С этой целью зафиксируем время t и выберем неко­

торую точку поля М(х)\ проведем через нее какую-либо прямую

и обозначим через s единичный вектор, направленный по этой прямой.

Возьмем на этой прямой соседнюю с М точку M'(x-\-zs), где ъ—ММ ' .— бесконечно малая величина; при переходе от М к М' функция ф получает приращение:

Дф = ф (М ') — ф (М) = ф (к + es) — ф (х).

Градиент

Из анализа полученного выражения можно заключить, что про-

.изводная функции ф по направлению s есть проекция вектора с комдф

тюнентами —— на это направление.

дхі

дф

• s grad ф = |grad ф| cos (grad ф, s),

ds

32

шего значения для направления s, совпадающего с направлением grad ф, причем это наибольшее значение равно модулю |gradq>|. По­ этому можно дать другое определение градиента: градиентом q> на­ зывается вектор, имеющий направление быстрейшего увеличения ф и по величине равный производной по этому направлению.

Векторное поле

Если в каждой точке М области D задано значение некоторого

вектора а, то эта область называется векторным полем. Можно за­

писать а = а(М, t).

Пусть в области D введена декартова система координат. Точке

М соответствует радиус-вектор х с компонентами x t : х —х ,е,-. Выражение, определяющее векторное поле, принимает вид: а=

*=а(Хі, t). Тем самым нам заданы три функции, каждая из которых зависит от четырех вещественных Переменных: ак = ак(Хі, t), или, более подробно,

аг — а1 {хі , х2, х3, t), а2 = а2, (х і ,х 2,х 3, t) , а3 = а3 (х і ,х 2, х 3, t).

В дальнейшем будем полагать эти функции непрерывными в об­ ласти D вместе с частными производными первого порядка по всем переменным.

Если векторное поле не зависит от времени (стационарно), число

переменных уменьшается; при этом а = а ( х г) и ак= а к(Хі).

При рассмотрении нестационарных векторных полей мы, как пра­ вило, будем считать время фиксированным. Это позволяет использо­

вать зависимости ак{х,), изучая изменение вектора а с переходом от одной точки пространства к другой.

Векторны,е линии

Геометрической характеристикой векторного поля могут служить в е к т о р н ы е линии.

Векторными линиями поля а(х) называют кривые, в каждой точ­

ке которых касательная совпадает с направлением вектора а. Запишем уравнение векторной линии. Возьмем на ней точку М

и перейдем, оставаясь на этой линии, к бесконечно близкой точке М'. Отрезок ММ', касающийся векторной линии, есть приращение ра­

диуса-вектора точки X с компонентами d x i: dx— (dxt).

По определению векторной линии вектор dx параллелен вектору

а в точке М н, следовательно, соответствующие компоненты обоих векторов пропорциональны:

Это и есть дифференциальные уравнения векторных линий. Ин­ тегрирование этих уравнений дает две произвольные постоянные, так что мы получили двухпараметрическое семейство векторных линий.

Задание векторных линий дает нам лишь направление вектора в каждой точке поля. Величину вектора будем характеризовать гус­ тотой проводимых линий. С этой целью возьмем элементарную пло­ щадку, ортогональную в точке М к векторным линиям, и подсчитаем число пересечений векторных линий с нашей площадкой. Разделим число пересечений па ее площадь. Тем самым мы получим густоту векторных линий. Эта величина должна быть пропорциональна моду­

лю вектора а в точке М. Потенциал

Ранее мы установили, что скалярному полю tp(x) соответствует поле вектора grad ср. Будем называть вектор, являющийся градиен­

скалярные произведения a-dx и вычислим сумму всех таких скаляр­ ных произведений. Перейдем к пределу, устремляя размер элементов к нулю. Полученный предел, если он существует, называет­ ся л и н е й и ы м и II т е г р а-

34

где as — касательная составляющая вектора а, т. е. проекция векто­

Наконец, воспользовавшись формулой скалярного произведения, получаем

f ad X = j' di dxi = j* (axdxx + a2dx2 - f a3dx3) .

L L L

Если кривая L замкнутая, то линейный интеграл называется цир

куляцией вектора а вдоль кривой L и обозначается одним из интв' тралов:

Покажем, что линейный интеграл потенциального вектора grad <р

вдоль какой-либо кривой, соединяющей точки М\(хі) и М2{х3), равен разности значений потенциала ф в точках М\ и М2.

Отсюда следует, что если ф — однозначная функция, то значение линейного интеграла не зависит от пути интегрирования. J3 частнр» сти, интеграл по замкнутому пути будет равен нулю.

Поток вектора через поверхность

■—У >

Пусть в области D заданы векторное поле а— а(хі) и некоторая поверхность S, которая может быть как замкнутой, так и незамкну­ той. В каждой точке поверхности проведем единичный вектор нор-.

мали п с составляющими U, которые будем называть направляющи­

сумму На-ds, относящуюся ко всем элементам поверхности.

Если при стремлении размера элементов к нулю эта сумма стре­

мится к некоторому пределу, то предел называется потоком векто­

ра а через поверхность s и обозначается следующим образом:

j*j a d S = lim ]£a-dS.

Учитывая соотношения

a-dS = а ndS = ап dS ■= а,- /,• dS,

поток вектора а через поверхность s может быть записан в одной из следующих форм:

Дивергенция вектора

Возьмем в поле вектора а(х) какую-либо точку М, окружим ее замкнутой поверхностью S (например, сферой с центром в точке

М). Вычислим поток вектора а через S и отнесем эту величину к объему W, ограниченному поверхностью S. Перейдем к пределу, уст­ ремив к нулю все размеры W и стягивая поверхность к точке М. По­

При этом предполагается, что предел существует независимо от того, как поверхность S стягивается к точке.

Заметим, что если операция grad в скалярном поле образует векторное поле, то операция div, напротив, векторному іюлю ставит в соответствие скалярное поле. Физический смысл дивергенции и по­ ток вектора через поверхность будут рассмотрены при изучении ки­ нематики сплошной среды.

Теорема Гаусса—Остроградского

Одной из основных теорем векторного анализа, широко исполь­ зуемой в механике сплошных сред, является теорема Гаусса—Остро­ градского о преобразовании поверхностного интеграла в объемный: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объ­ ему, ограниченному поверхностью, от дивергенции вектора:

s W

36

или в координатной форме

S

Вихрь поля

Рассмотрим векторное поле а(х). Пусть М — произвольная точка поля (рис. 4). Проведем через нее некоторую плоскость Р и одно из направлений нормали к плоскости примем за положительное.

Окружим точку М некоторым замкнутым контуром, лежащим в плоскости Р, установив на нем положительное направление в соот­

ветствии с выбором направления нормали п; вычислим циркуляцию

поля по контуру L : a-dx.

L

Разделим циркуляцию на величину площади элемента плоскости

S, ограниченного контуром L:jadx/S.

Устремим размеры площадки к нулю. Если существует предел lim ^ adx/S, не зависящий от способа, по которому контур L стяги­

вается в точку М, то он определя­ ет проекцию на нормаль к пло­ щадке вихря (ротора) векторного поля.

Выражение вихря может быть найдено с помощью символическо­ го определителя:

где предполагается, что при рас­ крытии определителя (например, по элементам первой строки) опе­ рация умножения элементов вто­ рой строки на элементы третьей строки заменяется операцией диф. ференцирования.

принадлежит к основным теоремам векторного анализа. Она уста­ навливает связь между циркуляцией по контуру L и потоком вихря поля через любую поверхность, ограниченную контуром L: циркуля­ ция вектора по замкнутому контуру равна потоку вихря вектора че­ рез поверхность, ограниченную данным контуром,

37

Переменные Лагранжа

При изучении движения сплошной среды также воз­ можны два различных подхода.

Впервом из них, связанном с именем Лагранжа, объ­ ектом изучения являются сами материальные частицы. При этом рассматривается изменение во времени неко­ торых скалярных или векторных величин, таких как плотность, температура, скорость фиксированной мате­ риальной частицы, а также изменение этих величин при переходе от одной частицы к другой.

Иначе говоря, эти величины рассматриваются как функции от времени и тех переменных, которые харак­ теризуют индивидуальность взятой частицы.

Вкачестве таких переменных можно принять, на­ пример, декартовы координаты х°. частицы в начальный

момент времени t0, тогда текущие координаты произ­ вольной частицы есть функции времени t и начальных координат той же частицы:

** = Фі (**’ *)•

Функции фі при t = t0 тождественно обращаются в х?:

*( = Фі К Л ) -

В общем случае вместо декартовых координат х°к, от­

личающих одну частицу от другой в рассматриваемом материальном объеме, можно взять криволинейные ко­ ординаты а? этой частицы в начальный момент време­

ни tQ.

Таким образом, переменные t, а? являются аргумен­

тами, определяющими значения различных скалярных, векторных или тензорных функций, характеризующих движение сплошной среды. Эти переменные носят назва­ ние переменных Лагранжа.

При этом

х і ~ ft

39