книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

симметричен, он может быть приведен к диагональному виду.

Главные направления девиатора скоростей деформа­ ций совпадают с главными направлениями тензора.

Характеристическое уравнение имеет вид:

\Ѣк — ^ifcl = 0 или

которую назовем интенсивностью скоростей деформации сдвига. Эта величина, как и степень деформации сдви­ га Г, определяется зависимостью

где интегрирование по времени t ведется вдоль траекто­ рии материальной частицы, будет часто встречаться в дальнейшем.

Криволинейные координаты

Пусть в области D заданы три однозначные и непрерывно диф­ ференцируемые функции:

а = а (х і , х2, х3), ß = ß (хі, х2, х3), у = у (лц, х2, х3),

удовлетворяющие условию

о,

D (x i, х2, х3)

тем самым в области задана криволинейная система координат, ста­ вящая в соответствие каждой точке с координатами Хі упорядочен-

50

ную тройку чисел (ос, ß , у) — криволинейные координаты этой точки. Условие вида:

а (а'і , х 2, х 3) — const

определяет координатную поверхность: две координатные поверхно­ сти, например

а ( * і і х2, Хз) — const, ß ( X i , х2, х3) = const,

пересекаются по координатной линии, соответствующей третьей ко­ ординате.

Каждая точка из D может быть представлена как точка пересе­ чения трех координатных линий или трех координатных поверх­ ностей.

Будем в дальнейшем рассматривать только ортогональные кри­ волинейные системы координат. Элемент длины дуги между двумя «соседними точками» определяется формулой [10]:

Н- - коэффициенты Ляме.

Скорости, деформации в криволинейной системе координат могут быть найдены по следующим зависимостям [11]:

Плоскопараллельное течение

Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения сплошной среды, когда поле скоростей имеет следующий вид:

Для большей физической наглядности полезно пред­ положить, что сплошная среда при этом заключена меж­ ду двумя плоскостями, параллельными плоскости дви­ жения и расположенными на расстоянии единицы друг от друга.

Введем в рассмотрение функцию тока -ф (агі, х2); ком­ поненты вектора скорости определим зависимостями:

Легко видеть, что при любом выборе функции тока условия несжимаемости удовлетворяются тождественно.

Подставим зависимости (П-28) в дифференциальное уравнение линии тока:

dx\ _ dx2 dty гД

дх2 дху

После элементарных преобразований получаем

= 0

или

d\|>(хи х2) = 0.

Следовательно, вдоль линии тока выполняется ус­ ловие

ф(дГі, лг3) = const,

т.е. функция тока сохраняет постоянное значение.

52

Возьмем две точки Р\ и Р2 в области D; пусть apt и фг — соответствующие значения функции тока.

Подсчитаем поток вектора скорости через дугу С, со­ единяющую эти точки. Интеграл по поверхности (11-12) от нормальной составляющей скорости для двумерного движения сводится к интегралу по контуру С:

4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Внешние силы

Пусть нам дано некоторое тело D, ограниченное по­ верхностью 5.

Со стороны окружающей среды на рассматриваемое тело действуют силы. Будем называть их внешними си­ лами и делить на объемные (массовые), приложенные к элементам объема (массы), и поверхностные, прило­ женные к поверхности тела.

К основной особенности этих сил следует отнести то, что они непрерывно распределены по объему или поверх­ ности тела.

Плотность

Возьмем внутри рассматриваемого тела произволь­ ную точку М и выделим в окрестности этой точки эле­ ментарный объем Аw с массой Ат.

53

Составим отношение Ат/Aw и устремим размеры эле­ мента к нулю. Величина

р(М)— lim

дю - о А ш

называется плотностью среды в точке М.

Массовые внешние силы

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих

на выделенный элемент, равна ДФ.

Составим отношение ДФ/Ат и вычислим предел

Полученная в результате предельного перехода век­ торная величина называется внешней массовой силой.

Поверхностные внешние силы

Как мы уже отмечали, на поверхности 5 действуют внешние поверхностные силы. Выделим элемент поверх­

ности с единичной нормалью п. На этот элемент дейст­

вуют силы, их равнодействующая равна АР. Устремим размеры элемента к нулю и вычислим предел

ап— lim — .

Ä S -I-OA S

Векторная величина ап (по индексу п суммирования не производится) характеризует интенсивность прило­ женных к поверхности внешних сил и называется векто­ ром поверхностных напряжений.

Внутренние напряжения

Вернемся к первоначально рассматриваемому телу D и мысленно рассечем его поверхностью 2 на две части D\ и D2 (рис. 5).

Отбросим часть D2. Оставшаяся часть тела будет оставаться в равновесии, если на поверхности 2 действу­ ет некоторая система сил.- Назовем их внутренними си­ лами.

54

Возьмем на поверхности 2 точку М и выделим в ее

окрестности элементарную площадку Д2 с нормалью п. Пусть равнодействующая сил, приложенных к пло­

щадке Д2, равна АР.

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, пре­ дельным переходом получаем вектор внутренних напря­ жений:

.. Д Р

а" = lim —

Д 2^0 Д2

действующих в точке М на площадку с нор­

мали П.

Выберем в связи с этим три площадки, проходящие

через точку М и нормальные ортам е».

—У

На площадке, перпендикулярной орту ей действует

вектор напряжений а 1с компонентами

fall I СТ12> °1 з)-

Аналогично на двух других площадках действуют векторы напряжений

° 2 — (°21> ^22> ®2.з) И CF3 — f a e i , СГ32, СТ33).

Составим матрицу

°12 <Аз

и рассмотрим физический смысл ее компонентов. Диагональные элементы матрицы сгц, а22, сгзз назы­

ваются нормальными компонентами напряжений, по­ скольку они представляют собой проекции векторов на­ пряжений на нормаль к площадкам.

Боковые элементы матрицы называются касательны­ ми компонентами напряжений. Они являются проекция­ ми векторов на плоскости площадок.

55

Напряжения на наклонной площадке

Зная векторы напряжений о{, действующие на пло­ щадках, ортогональных координатным осям, или, что то же, зная компоненты напряжений аа, можно вычислить вектор напряжений на

произвольной площадке.

п и построим элементар­ ный тетраэдр, образован­ ный пересечением этой площадки с плоскостями, перпендикулярными к ко­ ординатным осям (рис. 6).

Устремим размеры тетраэдра к нулю, при этом он будет стягивать­

Рис. 6. Элементарный тетраэдр ся в точку 0.

В результате получа­ ем формулу Коши

Таким образом, формула (ІІ-ЗО) каждому вектору п

ставит в соответствие вектор напряжений о", действую­

щий на площадке, ортогональной к нормали п, по пра­ вилу умножения вектора на матрицу напряжений. Матрица (ста) является тензором

<*11 <*12 <*13

<*21 <*22 <*23

<*31 <*32 <*33

который называется тензором напряжений,

56

Тензор напряжений

Итак, мы ввели в рассмотрение новый тензор второй валентности — тензор напряжений ||a,ftli.

В дальнейшем будет показано (см. с. 62—63), что этот тензор симметричен.

Для приведения его к диагональному виду необходи­ мо решить характеристическое уравнение

к 3 —

Корни

>з

этого уравнения являются собственными значениями тензора Та напряжения и называются главными компо­ нентами напряжений.

В новой координатной системе тензор напряжений принимает вид

При этом касательные компоненты напряжений об­ ращаются в нуль.

Таким образом, на гранях элементарного куба, орто­ гональных новым координатным осям, будут действовать только нормальные напряжения.

Коэффициенты характеристического уравнения обра­ зуют систему инвариантов

III I ,

°= К-fei -

Девиатор напряжений

Тензор напряжений можно представить в виде суммы девиатора и шарового тензора:

To = Do+ % !•

Здесь величина

57

называется средним напряжением.

называется интенсивностью касательных напряжений.

5. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Уравнения неразрывности

Выведем уравнение неразрывности сплошной среды. Мысленно вырежем в последней объем W, ограниченный материальной поверхностью 2 (рис. 7).

Масса, заключенная внутри этой поверхности, оста­ ется неизменной во времени и равна

т= рdW = const,

отсюда

pm _ Q dt

58

или

(Н-35)

w

Вспоминая формулу (II-18), определяющую полную производную от интеграла во времени, получаем

Воспользуемся формулой Гаусса — Остроградского и преобразуем интеграл по поверхности 2 в интеграл по объему:

W

Отсюда уравнение (II-38) принимает вид:

Из леммы (см. с. 28), поскольку объем произволен, следует, что

(II-36)

59