книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

Первые два слагаемых в левой части этого уравне­ ния представляют собой полную производную плотности р по времени t, поэтому после преобразования имеем

рdt Xi

Полученное уравнение называется уравнением нераз­ рывности.

Если среда имеет неизменную плотность p=const, уравнение неразрывности превращается в уравнение не­ сжимаемости:

*1 = 0

дхі

или в векторной форме

Уравнения движения

Применим к выделенному объему необходимые усло­ вия движения сплошной среды, а именно:

главный вектор всех сил, приложенных к частицам объема, включая и силы инерции, должен равняться нулю;

главный момент относительно какой-либо точки всех сил, приложенных к частицам объема, включая и инер­ ционные силы, должен равняться нулю.

Рассмотрим силы, действующие на элемент объема dW, масса которого равна pdW. К ним относятся внеш­ ние массовые силы, равные

FpdW,

и инерционные силы

— — pdW. dt

Равнодействующая указанных сил равна объемному интегралу

Ш(*--£)**•

W

60

На каждый элемент поверхности dh с нормалью п

действует сила а"с?2; равнодействующая этих сил рав­

на поверхностному интегралу $$ crncß. Главный вектор

2

всех сил, действующих на объем w, равен

Главный момент относительно некоторой точки 0 всех сил, действующих на частицы объема W, равен

цы относительно точки 0, принятой за начало координат. Воспользуемся формулой Коши:

оп = о' /,• — aik ek /г

и преобразуем поверхностный интеграл в интеграл по объему:

Поскольку объем W выбран произвольно, из леммы, приведенной на с. 28, получаем уравнение движения в векторной форме:

61

и соответствующие ему три скалярных уравнения

Если инерционные члены малы и ими можно прене­ бречь, уравнения движения становятся уравнениями равновесия:

Наконец, при отсутствии массовых сил уравнения равновесия принимают вид:

Парность касательных напряжений

Перейдем к уравнению (11-39) и также преобразуем поверхност­ ный интеграл в интеграл по объему:

62

d iv T a XxdW + I№'xëdr-

vr

Так как

x = Хіві,

то

ах

дхі = е{.

Далее:

После подстановки зависимостей в уравнение (11-39) получаем:

Очевидно, выражение, заключенное в квадратные скобки, тож­ дественно равно нулю.

Поскольку объем W выбран произвольно,

Попарные векторные произведения ортов едХ^< составляют:

поэтому формула (II-45) принимает вид:

Другими словами, тензор напряжений является симметричным тензором.

Уравнение энергии

Рассмотрим область D, заполненную сплошной сре­ дой и ограниченную поверхностью 5. Введем систему ко­

ординат ей

63

Вычислим мощность, которую развивают внешние силы на поверхности S. Для элемента поверхности dS,

для которого вектор напряжения равен а", а скорость ѵ, мощность равна

on-vdS.

Отсюда для всей поверхности

и преобразуем поверхностный интеграл в интеграл по объему:

D

Вычислим мощность, которую развивают внутренние напряжения при деформации тела. С этой целью в окрестности некоторой точки М выделим элементарный куб с ребрами dl и гранями, ортогональными главным осям тензора напряжений. Будем предполагать, что на­ правления главных осей тензора скорости деформации и тензора напряжений совпадают.

За время dt грань, на которой действует напряжение <ті, переместится на расстояние, равное

dldt,

при этом совершится работа

o1dli -l1dldt = o1l1dPdt.

\

64

Аналогично для других граней эта работа будет равна

сг2 dl3 dt

и

c3i 3 dl3dt.

Общая работа составит а, I; Л 3*#,

а удельная мощность внутренних сил (работа за единицу времени, отнесенная к единице объема) будет равна

Ь-

Переходя к произвольной системе координат и учи­ тывая свойства матрицы направляющих косинусов a« [10], получаем

<*І ^ik

Отсюда общая мощность внутренних сил равна j f $olkllkdW.

Теперь становится очевидным физический смысл уравнения энергии: мощность внешних сил (поверхност­

ных о™ и объемных F) равна сумме мощности внутрен­ них сил и скорости изменения кинетической энергии ма­ териальных частиц.

Вариационное уравнение

Рассмотрим наряду с действительным полем скоро­

стей и кинематически возможное поле скоростей ѵ', сов­ местимое с геометрическими связями на поверхности. Если среда несжимаема, то должно удовлетворяться

условие div ѵ'=0.

Пусть компоненты ѵ'{ отличаются от действительных на бесконечно малые вариации

Вариации компонентов скоростей деформаций равны:

Новому полю скоростей будет соответствовать об­ ласть D', в общем случае отличная от D, причем:

D = D ° + D~, D ' = D ° + D+ .

Здесь область D0— пересечение областей D и D' (ограничена поверхностью 5°), область D~ — дополне­ ние D0 до D (ограничена поверхностью S~), наконец, область D+ — дополнение D0 до D' (ограничена поверх­ ностью S+).

Продолжим непрерывно поле скоростей ѵ' в область D~ и вычислим интеграл

(|)(|) <т” и' dS. ‘ S

Повторяя почти без изменений вывод формулы (11-48), имеем

D

Вычитая почленно из этого уравнения уравнение (11-47), получаем вариационное уравнение:

Уравнение теплопроводности

Выделим в деформируемой среде объем W, ограни­ ченный поверхностью 2.

Пусть температура произвольной материальной час­ тицы выделенного объема составит и, а за время dt из­ менится на du.

Элемент объема dW поглотит тепло, равное рdW-c-du,

где с — теплоемкость.

66

В целом для объема W это тепло равно

^^(du-cp)dW.

и состоит из двух частей: теплового потока через по­

где / — механический эквивалент тепла.

Переходя к вычислению потока тепла через поверх­ ность 2, введем некоторые гипотезы.

Прежде всего предположим, что существует вектор теплового потока

причем количество тепла, протекающего за единицу вре­ мени через некоторую поверхность S, равно потоку век­ тора через эту поверхность:

S

В результате количество тепла, втекающего за вре­ мя dt в объем W, равно

■— J j'qn dZdt,

Преобразуем интеграл по поверхности в-интеграл по объему:

Поскольку объем W выбран совершенно произволь­ но, из леммы следует:

го потока q с градиентом температурного поля и следу­ ющей зависимостью:

Краевые условия

Уравнение теплопроводности описывает перенос теп­ ла внутри движущейся среды. Для того' чтобы найти температурное поле в любой момент времени, необходи-

68

мо знать распределение температуры в области D в на­ чальный момент времени (начальное условие), а .также поле скоростей, форму границы 5 и закон взаимодейст­ вия между окружающей средой и поверхностью дефор­ мированного тела (граничное условие) в любой после­ дующий момент времени.

Совокупность начального и граничного условий назы­ вается краевыми условиями.

Начальное условие определяется распределением тем­ пературы внутри тела в начальный момент времени:

где f(Xi) — известная функция.

Обычно это начальное распределение считают равно­ мерным.

Граничное условие может быть задано различными способами. Принято различать четыре типа граничных

III. Задан закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (для стацио­ нарных процессов):

где а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена; ис — температура окружа­

ющей среды.

IV. Рассматриваемое тело находится в соприкоснове­ нии с другим телом, имеющим другие теплофизические характеристики.

Предполагается, что контакт на поверхности тел на­ столько хорош, что выполняется условие совпадения температуры соприкасающихся точек:

69