книги из ГПНТБ / Прессование алюминиевых сплавов. Математическое моделирование и оптимизация

Решение задачи методом последовательных прибли­ жений с применением модифицированного метода Ритца позволяет сводить ее на каждом этапе к решению систе­ мы линейных алгебраических уравнений с матрицей ко­ эффициентов и столбцом свободных членов, образован­ ных аналогично (ІѴ-5) и (ІѴ-6). Программа для реше­ ния осесимметричных задач, составленная для ЭВМ «Минск-32», структурно не отличается от программы для решения плоских задач, хотя существенно больше нее по объему. Поэтому в качестве структурной блок-схемы удобнее использовать схему, приведенную на рис. 36.

4. БЛОК РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

Исследование стационарных температурных полей 1

Расчет температурных полей заготовки и прессизделия с точностью, достаточной для использования в ин­ женерной практике, предполагает учет следующих яв­ лений:

1)тепловыделение в результате пластической дефор­ мации;

2)тепловыделение на контактных поверхностях ме­ талл —■инструмент;

1Алгоритм программы интегрирования уравнения теплопровод­ ности применительно к стационарной задаче разработан Е. В. Сигитовым.

181

3) теплообмен между недеформированной частью слитка, очагом деформации и инструментом.

Учет этих факторов в аналитическом решении пред­ ставляется затруднительным и может быть осуществлен лишь в немногочисленных частных случаях при условии принятия дополнительных упрощающих гипотез. В то

>

же время применение численных методов позволяет решить эту задачу с применением ЭВМ. Ниже будут рас­ смотрены вопросы интегрирования уравнения теплопро­

водности с применением методов конечных разностей [23, 65].

X

182

В качестве расчетной используется схема с центри­ рованием параметров на разностной сетке (рис. 37), ко­ торая используется и в остальных блоках комплексной программы.

Для внутренних узлов (г/) разностное уравнение, со­ ответствующее уравнению (ІѴ-11), можно представить:

Для этих узлов г =0,1 • • • -п, / = 0,1 • • • -т.

Используем граничные условия четвертого рода. Они аппроксимируются следующими разностными уравне­ ниями:

и = мп- «_!,/ + “о,/

du<

где L2 = —VT“ +X" —'П “n— температура на контакт-

2\dty /

ной поверхности.

Л<

183

где

Li

z2 = — Alf;

Xi

ui,-l=u(0 ' Aa|i = иio zi> (IV-14)

Xi

где

— Ai);.

4 = ■

Xi

Используя эти соотношения, можно исключить из (ІѴ-12) точки 11%.—\ И Положим і — 0, и из (ІѴ-12) получим:

Положив ІФ0, іфт, получим разностное уравнение:

184

Приняв j = m , получим разностное уравнение:

Систему уравнений (IV-15а, б, в) можно преобразо­ вать следующим образом:

+d im “ г - і , т = = f im '

или векторно:

185

Теперь используем граничные условия третьего рода. Они аппроксимируются следующими разностными урав­ нениями:

на левой и правой границах области имеют прежний вид, т. е. на левой границе

а«і,_1 + »-о

W (2 )| 2

Выразим Uit—1 и Цгш через Wjo и ці,тп—1 соответствен­

но:

186

М

1/Аф2 + Л/2Дф ’

187

где

г(2«п. 2ип).

Окончательно с учетом (ІѴ-24) получим систему трех уравнений:

188

ных полей методом прогонки составлена в алгоритмиче­ ском языке АЛГОЛ-60 и реализована для использова­ ния на ЭВМ «Минск-32». Первоначально программа ис­ пользовалась только как самостоятельная для расчета температурных полей, а затем была переработана с целью включения в комплекс. Величина Нц в выраже­ нии (ІѴ-11) вычисляется по формуле:

При первом входе в программу Нг3= 0, и мы прихо­ дим к случаю потенциального поля скоростей, т. е. ну­ левого приближения.

Следует заметить, что величина \w'(z)\, входящая в выражения (ІѴ-20) и (ІѴ-21), равна модулю скорости для опорного решения и используется только в нулевой итерации. В дальнейшем на ее место засылается модуль уточненного значения скорости.

Рассмотренная программа позволяет исследовать температурные поля в зависимости от многих факторов, оказывающих влияние на протекание процесса прессо­ вания, в рамках допущения стационарности процесса.

189

Исследование нестационарных температурных полей

Для решения задачи использован экономичный ло­ кально-одномерный метод [65], идея которого состоит в следующем. Двумерное (относительно координат <р, ф) уравнение разбивается на два одномерных, которые в сумме дают исходное уравнение. Затем каждое одно­ мерное уравнение решается методом прогонки вдоль со­ ответствующей оси ер (-ф) при фиксированных координа­ тах другой оси ф(ср). Фиксированные индексы последо­ вательно принимают все значения соответствующих уз­ лов по оси ф(ф).

Уравнение теплопроводности представим в виде:

В области Е рассматривается разностная сетка, вве­ денная рис. 37. Граничные условия и их разностную ап­ проксимацию будем использовать аналогично введен­ ным для стационарной задачи (ІѴ-13), (IV-14), (ІѴ-20) и (ІѴ-21).

190