книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии
.pdfнения электрогазодинамики. Подобную оценку можно произвести введением в уравнения безразмерных отношений величин или безразмерных комплексов
этих |
величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем следующие безразмерные независимые переменные |
|
|||||||||||
|
|
x* = xlol, |
t* = ttol |
|
|
|
|
|
|
(3.21) |
|||
и безразмерные зависимые |
переменные |
|
|
|
|||||||||
|
|
V * = V ' o , |
V* = ^-VQ\ |
|
£* = |
Е-ЕО1, |
Н* = |
НЩ\ |
|
||||
|
|
P*=P?mO-Vo2, |
|
Pm = Pm-pJ, |
T* = TTQ\ |
7] * = 7) Щ 1 , |
(3.22) |
||||||
|
|
X* = XXf J1 , с* = ср-Ср0\ |
v * = v e - v e V . |
|
|
|
|||||||
|
Здесь индексом |
0 отмечаются |
некоторые характерные величины. |
||||||||||
|
В |
принятых безразмерных переменных уравнения электрогазодинамики |
|||||||||||
записываются |
так |
[114]: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1. |
Уравнение электрического поля (3.5) |
|
|
|||||||||
|
|
4^L- = у * х (v* х Е*) - |
Re,"1 |
( v * х К |
(V * X |
E * ) \ } . |
(3.23) |
||||||
|
2. |
Уравнение |
состояния |
(3.11) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
vM*/>* = p * - Г * . |
|
|
|
|
|
|
(3.24) |
||||
|
3. |
Уравнение непрерывности среды (3.12) |
|
|
|||||||||
|
|
(St)" 1 |
|
P* + V * ( P ^ - « * ) = 0. |
|
|
|
(3.25) |
|||||
4. |
Уравнение |
движения |
(3.17) |
(магнитными |
составляющими |
и членом |
|||||||
(TJ' + |
JJ- |
*)) V ( V ^ ) |
пренебрегаем) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
?1 |
v* + |
|
©*] = - V * (Р * + R E • £ * 2 ) + |
|
|||||||
|
|
+ Re - 1 - Tj*A*i5* + R i r ( £ * V * ) £ * - |
|
|
(3.26) |
||||||||
|
5. |
Уравнение |
энергии |
(3.20) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р» |
[ с * - Г * + ( Т - 1 ) М § |
| v**] = |
|
|
|||||||
|
|
= ( у - 1 ) М 2 |
^ |
/7* + Re - 1 - Pr - 1 |
v * ( X * v * T * ) + |
|
|||||||
|
|
+ (у - |
1) М 2 |
RE |
( у * х £*) [Re,- 1 |
• v* (у * х Е*) - (Ъ* х £ *)] . |
(3.27) |
НО
Параметры и критерии подобия уравнений индукционной электрогидрогазодинамики
В уравнениях |
(3.23) — (3.27) выделен ряд известных |
характеристических |
||||||||||||||
чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число |
Струхаля |
|
— St = v0 |
• t0 |
• /5"1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
число |
Маха |
|
|
- |
М = v0 |
|
(у Я Т0)* |
, |
|
|
|
|
|
|
||
число |
Рейнольдса |
— Re = v0 |
• l0 |
• р ш 0 |
• т)5~' = v0 |
• /„ • v^1 , |
|
|
|
|||||||
где v0 — кинематическая |
вязкость, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
число |
Прандтля |
— Pr = с р 0 |
• y;0 |
• X^ 1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Уравнения (3.23) — (3.27) |
содержат также ряд новых |
характеристических |
||||||||||||||
чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ree = v0-l0- |
v.!,1 = v0-l0- |
у м |
• ss0, |
|
|
|
|
|
(3.28) |
|||||||
входящая в уравнения |
(3.23) и (3.27), может быть названа |
электродинамичес |
||||||||||||||
ким числом Рейнольдса [115, 116]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Электродинамическое число Рейнольдса Ree можно рассматривать либо |
||||||||||||||||
как отношение линейного размера поля |
течения |
/0 к характерной |
длине 1Х, |
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Х = (v0 • ££0 • уе ) - 1 |
= Ve • Vo 1 , |
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
||||||||
либо как отношение |
скорости |
течения v0 к характерной |
скорости vx, |
где |
||||||||||||
vx |
= ("о • Ye • h)'1 |
= ve • /(Г1- |
|
|
|
|
|
|
(3.30) |
|||||||
Д л и н у |
lx можно |
рассматривать |
как характерную |
длину, на |
которую в |
|||||||||||
непроводящей среде распространяется электрическое поле. |
|
|
|
|||||||||||||
Если /0§> 1Х, т. е. R e e > 1, то электрическое поле остается с потоком |
среды |
|||||||||||||||
(поле „вморожено" в среду), движение которой будет сильно влиять |
на |
поле. |
||||||||||||||
С другой стороны, |
если 10<^1Х, т. е. Re„<^l, то движение среды |
не |
будет |
|||||||||||||
оказывать |
заметного |
влияния |
на электрическое |
поле. |
|
|
|
|
||||||||
В конвекционной электрогидродинамике используется аналогичное поня |
||||||||||||||||
тие — электрическое |
число Рейнольдса |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
е |
ab |
ye |
|
|
Lye |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно Штутцеру |
[117], электрическое число Рейнольдса определяется как |
|||||||||||||||
отношение времени релаксации заряда т = г 0 у 7 1 к времени |
продвижения |
жид |
||||||||||||||
кости Lvx~x |
на характерное |
расстояние L = abl~1 |
с характерной |
скоростью |
||||||||||||
vx. Причем длина L комбинируется из нескольких длин, поскольку |
компонен |
|||||||||||||||
та вектора Ё, определяющая |
электрическую диссоциацию энергии, относится |
111
к иной области пространства и имеет иное направление, чем компонента, определяющая в основном накопление энергии в зазоре над поверхностью жидкости [92].
Величина
|
R £ = s S e - £ g ( P m 0 . o § r 1 |
С 3 - 3 1 ) |
|||
в |
уравнениях (3.26) и |
(3.27) также является новой характерной |
величиной |
||
и |
может |
быть названа числом электродинамического давления. |
|
||
|
Число электродинамического давления R £ представляет собой отношение |
||||
давления электрического поля ~ z s0 • Е2 к динамическому давлению |
-jpm0 • VQ. |
||||
|
Электрическое поле заметно влияет на поле течения только в том случае, |
||||
когда R £ |
равно или больше единицы. Если R £ значительно меньше |
единицы, |
|||
то в уравнениях |
(3.26) и (3.27) членами, обусловленными наличием |
электри |
|||
ческого |
поля, |
можно |
пренебречь. |
|
|
|
Комбинируя |
соответствующим образом перечисленные характеристичес |
кие числа, можно получить ряд новых, аналогичных используемым в магнит ной гидродинамике, характеристических чисел.
Например, |
комбинация чисел Ree и R £ |
с числом Рейнольдса дает число, |
||||||
математически |
аналогичное |
числу |
Гартмана [118] |
|
||||
|
|
|
j _ |
|
|
|
j _ |
|
|
R, e = (Ree • RE |
• Re)2 |
= f T " ( e £ f |
%v" |
1 2 . |
(3.32) |
||
Это число |
может |
быть |
названо электродинамическим числом Гартмана. |
|||||
Из отношения электродинамической силы к силе инерции можно |
получить |
|||||||
другое |
характеристическое |
число — электродинамический параметр R e : |
||||||
|
R e = (Ree . RJ |
= f J f ^ S ^ _ T S . |
|
(3.33) |
||||
|
|
|
L |
pmo |
'o |
J |
|
|
|
Граничные условия уравнений индукционной электрогидродина |
|||||||
|
мики |
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
каждой конкретной задачи |
электрогидродина мики должны |
быть за |
даны определенные начальные и граничные условия. Решение задачи заклю чается в нахождении решения основных уравнений, удовлетворяющих этим начальным и граничным условиям .
Под начальными условиями понимаются значения всех переменных ( £ , Т, р и др.), рассматриваемых в электрогидродинамике в некоторый начальный момент времени t=0. Обычно в электрогидродинамике нет необходимости за-
112
давать пространственное распределение этих начальных значений, а только необходимо, чтобы начальные условия отвечали граничным условиям при / = 0 и удовлетворяли бы основным уравнениям.
Под граничными условиями в электрогидродинамике будем понимать зна чения переменных на границе исследуемой области во все моменты времени t >0 . В электрогидродинамике граничные условия задаются как для гидродина мических, так и для электромагнитных переменных. Д л я гидродинамических переменных они задаются в виде обычных условий прилипания.
Граничные условия для электромагнитного поля в движущихся средах, как известно, сводятся к следующим четырем условиям:
1. Напряженность электрического поля £ на границе раздела выражается уравнением
nx(Es-£1)=-¥:\ |
(3.34) |
где SMS ) — поверхностная плотность магнитного тока |
(настила); |
п— единичная нормаль к граничной поверхности, направленная из об
ласти 2 в область 1.
2. Величина вектора электрической индукции на границе определяется уравнением
n-(Di-D1) |
= q<<\ |
(3.35) |
где q(s) — плотность свободных поверхностных электрических зарядов.
3. Переход нормальной компоненты магнитной индукции В на границе раздела выражается зависимостью
« • 0 В 2 - В х ) = ^ \ |
(3.36) |
где q^ — плотность поверхностных магнитных или движущихся |
электричес |
ких зарядов. |
|
4. Поведение напряженности магнитного поля Я на границе раздела опи сывается уравнением
й х ( Я 2 - Я 1 ) = ^ , |
(3.37) |
где SgS)— плотность поверхностного электрического тока.
В случае необходимости граничные условия должны включать также опи сание движения жидкости у поверхности электродов — раздела фаз с учетом двойного слоя.
113
3,3, Основные уравнения индукционной электрогидродинамики
Когда числа Маха очень малы и среда несжимаема, уравнения индукцион ной электрогазодинамики переходят в уравнения индукционной электрогид родинамики.
Уравнение состояния (3.11) заменяется уравнением
рт = const, |
(3.38) |
и неизвестными величинами будут |
E,v,pnT. |
Уравнение непрерывности (3.12) |
сводится к уравнению |
V ^ = 0, |
(3.39) |
а уравнение движения жидкости (3.17) заменяется равенством (магнитными составляющими пренебрегаем)
?m^f=-v[p+ |
\ Ы - ^ ] + ч А 5 + Ц ) - М Д > ) 5 . |
(3.40) |
Уравнение энергии (3.20) при низких числах Маха заменяется уравнением теплопроводности обычной гидрогазодинамики с учетом потерь энергии элект ромагнитного поля:
?т ^ |
(сР-Т) = ч(кчТ) |
+ (чх£)[ге0-ме(чхЕ)-ге0@хЕ)]. |
(3.41) |
|
Выражение |
v / x ( s x £ ) |
в уравнении (3.5) преобразовывается |
так ( у £ = 0 ) : |
|
V х (v х Ё) = (Еу) |
v - |
{V у ) Е. |
|
|
Следовательно, |
дифференциальное уравнение электрического |
поля (3.10) |
в электрогидродинамическом индукционном приближении может быть пред
ставлено в |
виде |
|
|
|
1*- |
= (Еу)Ъ-(йу)Е+че^Е. |
|
(3.42) |
|
Соответственно, основные уравнения индукционной электрогидродинамики |
||||
в безразмерной форме имеют следующий вид: |
|
|
||
V * » * = 0, |
|
(3.43) |
||
р™ -§f |
v* = - у * (р* + R E • Е*2) + Re" 1 • у)* Д* v* + RE {Ё* у*) Е*, (3.44) |
|||
|
^ |
(cp *-r*) = R e - 1 - P r - 1 V * ( X * - V * r * ) |
+ |
|
+ (у - |
1) М§ • RE (у * х Е*) [Rer 1 • v* ( у * х Е*) - (о* х £*)], |
(3.45) |
||
дР* |
= {Е* у*) v* - (v* у*) Е* + Re,"1 • v* у * 2 |
Е*. |
(3.46) |
|
|
114
Если обе величины M Q - R £ И M Q - R E • Re^1 , когда М0 ->0, пренебрежимо малы, то уравнение (3.45) значительно упрощается и представляет собой урав
нение теплопроводности |
в обычной газодинамике при низких числах |
Маха: |
|||||
|
4* ( ^ r * ) = R e - 1 - P r - i V * ( X * V * r * ) . |
|
(3.47) |
||||
В определенных специфических условиях соотношения между величинами |
|||||||
критериев |
подобия сильно изменяются и основные уравнения электрогидро |
||||||
динамики |
(3.43) — (3.46) |
значительно |
упрощаются. |
Рассмотрим некоторые |
|||
частные случаи |
уравнений |
индукционной электрогидродинамики. |
|
||||
Если величина Ree очень мала, то первые два члена в правой части |
уравне |
||||||
ния (3.44) |
будут |
пренебрежимо малы по сравнению с третьим членом, который |
|||||
пропорционален |
Re"1 . В этом |
случае |
электрическое |
поле Ё практически не |
зависит от движения жидкости. Можно полагать, что величина Ё задана, и
решать ЭГД-уравнения (3.43) — (3.45) |
только относительно v, |
р и Т. |
В случае очень малых значений RE |
из уравнения движения |
(3.44) видно, |
что гидродинамические свойства практически не зависят от электрического
поля, и задачу о движении жидкости можно решать при |
помощи чисто |
|
гидродинамических уравнений дл я v, р и Т: |
|
|
V*o* = 0, |
(3.48) |
|
Р* |
- § ^ = - v * i ' * + R e - 1 r J * A * w * , |
(3.49) |
Р« |
( c ; r * ) = Re - 1 - Pr - 1 v * ( X * V * 7 1 * ) . |
(3.50) |
В случае идеальной (невязкой, нетеплопроводящей) и непроводящей жид кости Re = оо и R e c = оо, а число Рг имеет конечное значение. Уравнение дви жения (3.44) тогда принимает вид
Р*, |
-%=-УЧР* |
+ ЪЕ-Е**) |
+ |
ЪЕ(Ё*У*)Ё*, |
(3.51) |
а уравнение |
теплопроводности (3.42) |
упрощается |
|
||
Р * ~ Т * = 0. |
|
|
|
(3.52) |
|
Дифференциальное |
уравнение |
электрического |
поля в данном случае |
||
записывается так: |
|
|
|
|
|
^ r |
= (E*y*)v*-&*y*)E*. |
|
|
(3-53) |
115
3.7.Электромеханические эффекты электрогидродинамических ин дукционных течений
Механические свойства системы электрическое поле — жидкообразная среда определяются уравнением движения. Если предположить, что скорость жид кости v=0, то уравнение движения (3.13) для идеальной жидкости принимает вид
у/> = [(его)"1 (V х D) х D + ( р ^ ) - 1 ( у х В ) х В] |
(3.54) |
или с учетом только составляющих электрического поля имеет следующий вид:
|
V/» = ( s e o ) - M V > < ^ ) x ^ - |
( 3 - 5 5 ) |
||||
Из |
равенства |
(3.55) |
видно, что градиент давления нормален векторам |
|||
( y x i j j |
и D. |
|
|
|
|
|
Вектор у/>, по определению, также должен быть нормален к |
поверхности |
|||||
/?=const. Отсюда |
вытекает, что векторы (у х D) и D лежат в плоскости |
р = |
||||
=const, т. е. в плоскости постоянного давления. |
|
|
||||
Из уравнения движения в форме (3.17) для идеальной жидкости, пренебре |
||||||
гая магнитными составляющими, дл я случая v=0 имеем |
|
|
||||
|
у (Р |
+ ~ |
Es0-EA |
= ze0(£V)E |
(3.56) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
р + Y |
ге0 • Ег = const. |
(3.57) |
|||
Уравнение (3.57) математически аналогично уравнению Бернулли в обыч |
||||||
ной гидродинамике |
|
|
|
|||
|
P + jf |
p m - » 2 = const |
(3.58) |
|||
и означает,что сумма механического р и электродинамического-^- |
гг0-Е2 |
дав |
лений является величиной постоянной.
Соотношение (3.57) показывает, что электродинамические силы уравно
вешиваются |
гидростатическим |
давлением |
Р е = \ |
zz0-E>. |
(3.59) |
Слагаемое ss0 ( £ у ) £ В уравнении (3.56) определяет силу натяжения вдоль силовых линий электрического поля.
116
Электродинамические эффекты электрогидродинамических ин дукционных течений
Дифференциальным уравнением (3.5) удобно пользоваться при изучении поведения несжимаемого жидкообразного диэлектрика в электрическом поле.
Уравнение (3.5) математически аналогично уравнению для вихря со = у х v
в обычной газодинамике, если предположить, что коэффициент вязкости v постоянен и жидкость баротропыа.
Уравнение для вихря со записывается в следующем |
виде: |
V « = 0, |
(3.60) |
^ = у х (v х со) + v у 2 со. |
(3.61) |
Так как уравнения (3.10) и (3.61) математически аналогичны, то все теоре мы о вихрях в баротропной жидкости обычной гидродинамики могут быть ис пользованы при изучении поведения жидкообразного диэлектрика в элект рическом поле.
Уравнение (3.10) показывает, что поведение жидкообразного диэлектрика в электрическом поле в значительной мере определяется его коэффициентом электродинамической диффузии v e (3.6), так как для неподвижной жидкости (?>=0) дифференциальное уравнение (3.10) принимает вид
^f = v , - V 2 £ , |
(3-62) |
т. е. вид уравнения диффузии.
Из уравнения (3.62) следует, что Начальные значения электрического поля затухают с характерным временем диффузии
где /0 — характерный размер пространственного изменения вектора Ё.
Следовательно, равенство (3.62) показывает, что электрическое поле „просачивается" сквозь вещество от точки к точке, причем скорость такого „просачивания" пропорциональна проводимости среды.
В тех случаях, когда удельная проводимость среды весьма мала, зависи мость поля от времени определяется уравнением
- § = у х ( £ х £ ) . |
(3.64) |
117
Это уравнение тождественно уравнению для вихря скорости в гидроди намике идеальной жидкости. Как известно, она показывает, что вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Следовательно, уравнение (3.64) показывает, что электрическое поле изменяется так, словно силовые линии электрического поля движутся вместе с жидкостью, т. е. будто силовые линии электри ческого поля жестко связаны с жидкостью. С другой стороны, можно пока зать, что равенство (3.64) является условием постоянства потока вектора электрической индукции, связанного с некоторой плоскостью в жидкости,
каждая точка которой движется с локальной скоростью |
v. |
Таким образом, |
в рассматриваемом случае силовые линии электрического |
поля как бы „вмо |
|
рожены" в вещество и движутся вместе с ним. |
|
|
Если сопротивление среды и коэффициент у м в уравнении |
(3.3) можно счи |
тать бесконечно большими, то очевидно, что под действием электрического {£) и магнитного (Я) полей жидкость должна двигаться таким образом, чтобы
удовлетворялось |
соотношение |
|
|
||
H-(vxD) |
= 0. |
|
|
(3.65) |
|
Когда вектор скорости движения v |
перпендикулярен |
вектору D, из равен |
|||
ства (3.65) получается |
|
|
|
||
v = |
(Ъхн) |
|
|
(3.66) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Следует |
заметить, |
что эффект связанности линий |
электрического поля |
||
с веществом |
с |
позиций |
специальной |
теории относительности рассмотрен |
М.А. Леонтовичем [119], где получены аналогичные результаты.
3.9.Ламинарное электрогидродинамическое индукционное течение между параллельными электродами
Дл я иллюстрации влияния эффектов вмораживания силовых линий и диф фузии поперек силовых линий, а также влияния граничных условий на электри ческий дрейф рассмотрим распределение скоростей в несжимаемой вязкой не проводящей жидкости, стационарно движущейся в пространстве между двумя плоскопараллельными электродами.
Допустим, что скорость жидкости имеет везде одинаковое направле ние, параллельное электродам, которые в свою очередь параллельны оси х. Приложенное внешнее электрическое поле имеет постоянную напряженность Е0 в направлении оси у. Таким образом, скорость зависит только от координаты у в направлении, перпендикулярном к электродам. То же относится и к возни кающему, благодаря движению жидкости, полю Ех.
118
От х также зависит давление р, так как в направлении движения должен иметься постоянный градиент давления, поддерживающий стационарное те чение.
Уравнение (3.39) выполняется автоматически, а из уравнения \jE=0 следует, что
ЕУ = Е0 = const.
Так как все переменные не зависят от координаты z и времени г, то условия этой задачи такие:
|
vx |
= v0-v*(y*), |
|
vy |
= 0, |
|
vz = 0, |
|
|
|
|
|
||||
|
ЕХ |
= Е0-Е*(у*), |
|
Еу |
= Е0, |
|
£ 2 |
= 0, |
|
|
|
(3.67) |
||||
|
р=Рт-4-р*(х*,у*), |
|
|
|
4 |
|
( |
) = ° . |
i ( |
)=0' |
|
|
|
|||
где |
х = 10шх*, |
у = 1о'У*- |
Причем |
/0 |
и v0 |
— характерные |
длина и скорость в |
|||||||||
рассматриваемой задаче. Необходимо найти безразмерные |
переменные |
v* |
(у*), |
|||||||||||||
Е*х |
(у*) и |
р* (х*, у*) |
для |
заданных |
граничных |
условий. |
|
|
||||||||
|
у — компонента |
|
уравнения |
(3.40) дает |
|
|
|
|
||||||||
|
р+гЧ±Е> |
|
= Р{х), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.68) |
||||
где Р (х) — функция |
только |
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Градиент давления вдоль оси канала |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
3 6 |
9 ) |
|
дх |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
' |
|
является |
величиной |
постоянной. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
х — компоненты |
уравнения |
(3.42) дают |
|
|
|
|
|||||||||
|
Е » ^ + ^ ^ = ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 3 ' 7 ° ) |
||||||
или в безразмерной |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
| |
l + |
R e |
7 |
' ^ |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
(3.71) |
|||
а х — компоненты |
уравнения |
(3.40) |
дают |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
d2vx |
|
|
|
дЕх |
|
|
. |
dP |
|
|
|
/о |
7о\ |
|
|
"1 |
~W |
+ £ £ ° |
'Е° |
~ду~= |
C O |
D |
S t S |
~dx- |
• |
|
( |
3 J |
2 ) |
||
В безразмерных единицах это уравнение записывается так |
|
|
||||||||||||||
|
R e - i |
- p i |
+ R , |
f | = c o n s t . |
|
|
|
|
(3.73) |
119