книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов

На основании теоремы умножения вероятностей и пользуясь обычными в таких случаях способами комбинаторики, можно за­ писать

Пользуясь введенными обозначениями и соотношениями, можно

предложить алгоритм вычисления L?. 2 (v), который в сокращен­ ной записи выглядит следующим образом:

Алгоритм вычисления оперативной характеристики планов Г. 2 при п — 5

2.uK_. ик + .

3.п.

4.Ф (О-

5 . С}, = 5: С2„ = 10.

6. Л.

И. Операции (при всех i):

70

10. ff>^=a.qj.

м. о. х, точки ик- и ик+ соответствуют, как и в планах класса А, точкам равновесия:

зом, чтобы значения их, равные 0,5, совпадали с новыми ик- и и'к + (так же, как при планах класса А). На этом основании и с уче­

том (3.13) в алгоритме (см. операцию 15) Lr) 2 (у) вычисляется на основании Lr. 2 (у).

3 .5 . О С Т А Л Ь Н Ы Е РА ЗН О ВИ Д Н О СТИ П Л А Н О В К Л А С С А Г

Планы класса Г.З, первоначально именовавшиеся методом ка­ либров распределения и позже — методом группировки, были раз­ работаны и впервые опубликованы в 1944 г. В. Н. Гостевым (СССР) и несколько позже, независимо от него Л. Типпеттом (Англия). Так же, как уже рассмотренные разновидности Г.1 и Г.2, в планах Г.З решающая функция определена в трехмерном

пространстве на множестве целочисленных векторов т = т ъ т 2, т 3, где nij — число наблюденных выборочных значений признака качества х, попавших в интервал / = 1 , 2 , 3.

Единственным отличием вероятностных схем планов Г.З от схем планов Г.1 и Г.2 является то, что в соответствии с решающим

71

правилом решение не вмешиваться в технологический процесс, принимается, если

Это отличие не существенно ни в отношении способов измере­ ния (при планах Г.1 и Г.2 применим и шкальный, и предельный инструмент, как при планах Г.З), ни в отношении оперативной характеристики в том особом случае, на который рассчитаны пла­ ны Г.З (в этом мы убедимся позже). Существенное отличие пла­ нов Г.З от планов Г.1 и Г.2 заключается в условии, не имеющем отношения к математической статистике *. Условие это заклю­ чается в следующем. В то время, как границы интервалов груп­ пировки при планах Г.1 и Г.2 можно выбрать в зависимости от экономических или технических соображений, аналогичные гра­

контроля (доказательством этого служит соотношение т 1 -f- /п2 >

планов Г.З, следует учесть, что вследствие несовместимости нару­ шения соотношений (3.9) в данном случае, как и в остальных рас­

где LF. з (у) — частная оперативная характеристика слева, рав­ ная вероятности, что при данном v не будет нарушено соотноше­

Прежде чем изложить алгоритм вычисления LF з (v) и Lr. з (у), введем следующие обозначения для группировок выборочных дан­ ных в общем случае. Общее число групп обозначим через J, каж­ дую группу — через G,-, / = 1, 2, . . ., /, границы между интер-

* Л. Типпетт предложил аналогичный метод для классической контрольной карты У. Шыохарта, на которой границы не зависят от допуска. Поэтому ска­ занное здесь не имеет отношения к предложению Л. Типпетта.

* * Напомним, что началом координат всюду принят заданный уровень на­ стройки SB. В планах Г.З. предполагается, что SB соответствует середине поля допуска.

72

где Ф (/). — функция гауссова распределения; вероятность век­ тора группировки с компонентами ту, на основании теоремы умножения и пользуясь известными способами комбинаторики, можно записать в виде

Разновидностью Г.4 планов класса группировки является комбинация метода медиан (Г.2) и метода крайних значений (Г.1). Когда на заводе электроосветительной арматуры (Москва) в 1947 г. Московским инженерно-экономическим институтом был впервые применен так называемый метод медиан, и позже, когда он был усовершенствован на заводе «Калибр», возник вопрос — как быть, если границы выборочной медианы не нарушены, а в выборке от­ мечено нарушение допуска? Вопрос этот в свое время не был до конца исследован. На практике в инструкциях на некоторых заво­ дах предусматривалось, что наличие в выборке брака даже без нарушения границ регулирования выборочной медианы влечет вмешательство в технологический процесс, что приводит к ино­ му плану, чем Г,2, Обобщая это решение в том смысле, что про­

73

межуток между границами можно по усмотрению уменьшить сравнительно с допуском, приходим к планам Г.4.

В процедурно-вычислительном отношении планы Г.4 можно описать следующим образом. На основании выборки нечетного

объема п = 2b + 1 вычисляется выборочная медиана х. Решение о невмешательстве в технологический процесс принимается, если

пытаний, каждое из которых состоит в изготовлении и измерении

2.Группировкой значений ивый определяются компоненты т и

т2, rn3, mit пц вектора группировки т . Границами интервалов группировки являются

3.Решающее правило: решение о невмешательстве в техноло

в одной выборке можно было пренебречь. Поэтому при вычисле­

74

Lf. 4 (v) — частная оперативная характеристика справа, равная суммарной вероятности векторов т , для которых

группировки в соответствии с экономическими и технологическими

ная идея использования для проверки уровня настройки по возможности большего числа членов вариационного ряда. Способ

В процедурно-вычислительном отношении планы Г.5 можно описать следующим образом. На контрольной карте наносятся две пары границ для индивидуальных (наблюденных) выборочных значений хпЫб признака качества: внешние нижняя и верхняя

границы 4 -> 4 +( и внутренние нижняя и верхняя границы

х<2> х<2>

ЛК-> лк+- При выборке фиксированного объема п — 5 решение не вме­

шиваться в технологический процесс принимается, если за внеш­ ними границами 4 -\ 4 + не окажется ни одного наблюдения хвыб,

а за каждой из внутренних границ 4 -> 4 + — не больше одного наблюдения. Положение границ фиксировано на поле допуска, причем внешние границы совпадают с границами поля допуска, внутренние смещены к середине поля допуска на 1 / 1 0 последнего.

В статистических понятиях планы Г.5 формулируются сле­ дующим образом:

1. Выполняется п — 5 независимых вероятностных испыта­ ний, каждое из которых состоит в изготовлении и измерении одного

изделия с результатом в виде отклонения ивыб — выб-~~— .

Ох

2 . Группировкой значений пвыб определяются компоненты т х, т 2 > tn3, /п4, т ь вектора группировки т .

75

3.Решающее правило: решение о невмешательстве в техно

Так как по условию применимости планов Г.5 нарушение верхних и нижних границ в одной выборке практически несов­ местимо, для вычисления оперативной характеристики можно

При планах Г.5 в том виде, в каком они получили практиче­ ское применение, оперативная характеристика зависит только от допуска, и выбор варианта по технологическим или экономи­ ческим соображениям невозможен.

3.6. АППРОКСИМАЦИЯ ПЛАНОВ КЛАССА Г НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

В гл. 2 в связи с вопросом экономической оптимизации СРК отмечено, что многочисленность методов статистического регули­ рования, отличающихся в процедурно-вычислительном отношении, и сложность формул их оперативных характеристик крайне за­ трудняет выбор лучшего варианта для того или иного класса технологических операций. Там же упоминалось, что это затруд­ нение можно снять, так как оперативные характеристики всех рассмотренных выше планов можно приближенно выразить с помощью одной и той же формулы оперативной характеристики планов А с различными значениями трех параметров %, у~ , у+ для каждого из планов.

76

Следует добавить также на основании сказанного в этой главе, что достаточно найти общие формулы для частных оперативных характеристик планов класса группировки, так как переход от них к полным оперативным характеристикам не представляет никаких затруднений. Частные оперативные характеристики планов А имеют только два параметра (X, у~ или у+) и, как из­ вестно (см. и. 3.2), совпадают с функцией нормального распре­

ристики плана A L J (у) можно выполнить различными способами, причем обоснование последних [включая вычисление линейной

регрессии для выпрямленной характеристики LF (у)] в большей или меньшей степени включает произвольные постулаты и носит интуитивный характер. Как увидим, это ие существенно для выво­ дов, которые будут представлены ниже. Не вдаваясь в элемен­ тарные мотивировки и детальные пояснения, перейдем к изложе­ нию использованного способа, который можно назвать аппрокси­ мацией через функцию нормального распределения по двум точкам. Этот способ по идее совпадает с выпрямлением кривых накопленных частостей на «вероятностной бумаге», отличаясь от него большей объективностью и удобством (по крайней мере, при отсутствии хорошей вероятностной сетки).

Рекомендуемая аппроксимация функции L~ (у) функцией нормального распределения Ф (t) выполняется с помощью таб­

77

Вычисления для правой частотной оперативной характери­ стики аналогичны. Точки аппроксимации у(1) и г/2) при /_Г(и(1)) =

в интервале значении v, над которыми погрешности аппроксима­ ции могут привести к ощутимым отклонениям оценок эффектив­ ности статистического регулирования в отличие от периферийных участков.

Втабл. 3 и 4 частные оперативные характеристики L? (v) планов Г.1, Г.2, Г.З, Г.4 сопоставлены с ближайшими к ним пла­ нами А.

Вприведенных ниже примерах приняты объемы выборок и границы, указанные в табл. 3. В той же табл. 3 в гр. 8 показано

характеристики плана А. В гр. 9 проставлены отношения объема выборки па плана А к объему выборки пг планов Г при равной

78

-j

га