книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов

Эта модель аналогична модели с блужданием частицы между двумя поглощающими стенками (см. [6, с. 111 и 113]). Иначе говоря, попав в одно из состояний Л,„к, технологическая система

уже не может из него выйти до тех пор, пока не потребуется на­ стройка, вызванная иной причиной, чем результат контрольной проверки. После того, как система попадет в одно из состояний Ат ,

отклонение у. н. v в рамках конкретной последовательности меж­ проверочных промежутков перестанет быть случайной величиной, получив единственное значение vm .

Однако, если представить себе множество независимых, но аналогичных последовательностей межпроверочных промежутков (будь то на разных станках или на одном станке за разные очень длительные технологические промежутки), то финальное отклоне­

Доказательство этого соотношения аналогично доказательству соотношения (4.2), лежащего в основе распределения ф (инс) ошибки инс при независимой настройке (см. п. 4.2). В обоих слу­ чаях использована известная схема пристрелки (см. [6, с. 304]), основой которой является теорема Байеса.

Нетрудно вычислить среднее число межпроверочных проме­ жутков, после которых возникает установившийся режим, когда отклонение у. н. унс больше не меняется (аналогичный расчет см. в п. 4.2).

Из сказанного можно сделать также следующий вывод. Какой бы ни была точность настройки (пусть самой низкой), если есть хоть одно значение отклонения у. н. цнс, при котором брака не бывает, и если при контрольных проверках это значение никогда не бракуется (между тем, как все значения, при которых брак бы­ вает, бракуются с вероятностью, отличной от нуля), то после до­ статочно большого числа контрольных проверок потери из-за неточности настройки падают до нуля. Напомним, что речь идет только о стационарных операциях и что достаточно большое число контрольных проверок может оказаться слишком большим с точки зрения расходов на них. Но это уже вопрос оптимизации варианта СРК-

111

5.5.ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ВХОДНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ У. Н. ипх В СЛУЧАЯХ 2 И 3

Случай 2. Если на операции с износостойкой настройкой, обновляемой только при нарушении границы регулирования, возможные состояния Ат технологической системы таковы, что ни одному из них ие соответствует оперативная характеристика L (Vf (т )) = 1, то, как видно из соотношения (5.11), все элементы рг5 матрицы перехода положительны: 1 > рп > 0. При этом условии применима теорема о предельных вероятностях (см. [6, с. 116]), в соответствии с которой

где Put (/) — условная вероятность того, что, если имеет место состояния Аи, то после / переходов система перейдет в состояние I; Pt — независимая от состояния Аи вероятность перехода в со­ стояние At. В рассматриваемой задаче независимая от Аи вероят­ ность pt события At соответствует предельной вероятности со­ стояния Ат технологической системы к началу межпроверочного промежутка, отдаленного от исходной настройки многими про­ межутками. Тем самым pt является предельной вероятностью входного отклонения у. н. vBX. В дальнейшем эта предельная

где кружок над а указывает на то, что речь идет не о плотности распределения вероятностей, а о функции вероятностей дискре­

не зависит от того, в каком состоянии она находилась в далеком прошлом [6, с. 118].

О

Для вычисления предельного распределения ацт (vl (т)) со­ ставляется система уравнений. Уравнения составляются исходя из предположения, что число j — 2 предшествовавших переходов настолько велико, что, с точки зрения применимости теоремы о пре­ дельных вероятностях, практически ничего не меняется от того, будет ли предшествовать данному межпроверочному промежутку /

Рассмотрим два способа вывода одной или той же системы уравнений.

При первом из возможных способов для вывода системы урав­ нений используются зависимости, записанные в матрице перехода

112

с элементами prs в виде соотношений (5.11). Пользуясь понятием полной вероятности, можно записать М уравнений:

«шп (у« Ю ) = «Пт ( P i К )) L (P i К ) ) +

т —М

т—1

Спомощью несложных приемов, рассматриваемых в высшей алгебре [19], можно показать, что буквенным решением системы (5.16) является

т= М

Второй способ вывода системы уравнений для определения

О

а Пш (vt (т)) обоснован теми же соображениями, что и рассмотрен­ ный. Он представляет собой непосредственное использование соотношений (5.11). В отличие от предыдущего способа ищем зна­ чения М -(- 1 неизвестных, из которых первые М являются пре-

неизвестной является предельная вероятность Qnm того, что граница регулирования будет нарушена (безразлично, при каком

системе уравнений (5.19) и (5.20), совпадает с (5.18). Заметим, что вероятность Qiim нарушения границы регулирования в конце

второго только формулой элемента prs матрицы перехода п 1. Вместо (5.11) здесь следует воспользоваться соотношениями (5.12). Для вывода системы уравнений воспользуемся способом, анало­ гичным второму из рассмотренных в предыдущем случае.

Qiim. Соотношения (5.12) для данного варианта перепишем сле­

межпроверочного промежутка, выраженный в интервалах округ-

О

лення; Qnm определяется в соответствии с (5.20); ф (v£ (т)) — распределение ошибки настройки опс.

В этих обозначениях система уравнений для вычисления

С

сС],т (v£ (т)) такова:

В табл. 8 приведен пример вычисления предельного распреде-

О __

ления ацт (vt (гп)). Вычисление вероятности брака q выпол­ няется с помощью алгоритма (5.13). Результаты приведены в той же таблице *.

* Как видно из рис. 7 и 8, перераспределение вероятностей в результате контрольных проверок н связанных с ними настроек приводит к предельному

О

распределению, совпадающему с а ц т (у; (in)). Иначе и не может быть. Но не следует забывать, что в основе теоремы о предельных вероятностях лежит, в ко­ нечном счете, закон больших чисел, н поэтому длительность переходного периода

при исходной настройке. Но важно, что перераспределения вероятностей в ус­ ловиях линейного износа приводят к сравнительно небольшим колебаниям

вероятности брака q вокруг фиксированного уровня. Это обстоятельство указы­ вает на то, что возникающие изредка настройки, связанные с технической необ­ ходимостью, а не с контрольной проверкой, практически не сказываются иа точности расчетов.

114

5.6. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ AmV. ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ 4

Этот случай является, в некотором смысле, обобщением модели случая 3. Закон и„зн (т), по которому меняется отклонение у. н. v по мере роста числа т повторений операций, выполненных после настройки, запишем в виде соотношения

Для упрощения выкладок предполагается, что значения функ­ ции g (т) в начале межпроверочных промежутков составляют

где Т — постоянная продолжительность межпроверочиого про­ межутка; р — номер межпроверочного промежутка после на­ стройки.

Эти ограничения не существенны для рассмотренной в даль­ нейшем схемы вычисления предельных вероятностей состояний технологической системы.

Разность между входными отклонениями v\/x и uS/x_I) в двух смежных межпроверочных промежутках по-прежнему именуем приращением и обозначаем через ш. Но в условиях случая 4 приращение w (р) в течение р-го межпроверочного промежутка является функцией от р. Так как

»вх = иизн (О* — 1)Т) = о„с + g ((р — 1) Т),

можно записать

Так как схема рассматривается применительно к дискретизи­ рованным значениям у. н. v, всюду вместо w (р) принимается в расчет ближайшее к нему число d^h, где h — интервал округ­ ления.

Тут же заметим, что вероятность брака q {vt (m), р) в течение р-го межпроверочного промежутка и вероятность настройки в конце его зависят как от - р, так и от входного отклонения.

Обозначим через vt (тД входное отклонение у. н. с к началу р-го после настройки межпроверочного промежутка. Запишем

116

Таким образом, вероятность брака q за тот или иной межлроверочный промежуток является функцией двух аргументов vl (m) и р. каждый из которых характеризует физические особен­ ности одного и того же состояния технологической системы, но в определенной связи, а именно: vt (/га) — в связи с отклонением у. н. v в начале межпроверочного промежутка; р — в связи с изме­ нением v в течение этого промежутка. Соответственно состояние технологической системы в начале межпроверочного промежутка будем обозначать символом АЩ1. Каждому данному состоянию Л,„|Лсоответствует отклонение vt (/га) и такие изменения функции

технологической системы, имея в виду, что без чрезмерных откло­ нений выполняются два условия: настройка, как и в рассмотрен­ ных ниже случаях, выполняется только при нарушениях границ

Ф (увс) вероятность перехода системы из одного состояния в другое находится в зависимости только от признаков /га и р.. Действи­ тельно, не требует доказательства, что, во-первых, технологи­ ческая система может перейти из состояния Amll только в состоя­

117

Для того чтобы вероятности p (rp) (s^ могли составить матрицу перехода, они должны удовлетворять уравнениям для всех до­

S = 1

Теорема о предельных вероятностях в данной задаче приме­ нима, если при некотором п > 0 все элементы матрицы перехода пп

через п испытаний (выборочных проверок) положительны. Иными

большом числе п повторений межпроверочного промежутка (не­

верочный промежуток; М — наибольшее значение т , при котором

L(v-L(т)) >■ е (е — пренебрежимо малая вероятность). Наибольшее число переходов требуется для того, чтобы си­

стема из состояния А Х1 возвратилась снова в А х1, причем настройка выполняется лишь в конце ртах-го промежутка, когда она практи­ чески неизбежна. При такой последовательности состояний (тем

118

более при любой иной допустимой) вероятности перехода /?(гр) (sS) превышают нуль 1:

О

Итак, для вычисления предельных вероятностей а Ит (Лшр) можно воспользоваться, как и в предыдущих трех случаях, теоре­ мой о предельных вероятностях. Систему уравнений для вычисле-

О

ния а 11т (Лтд) можно составить двумя способами — непосред­ ственно на основании матрицы перехода и пользуясь формулами перераспределения вероятности. При втором способе получим:

С^тц) Q Iiт^1-) (Pi (^O)i И1 1!

ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ

Одной из наиболее распространенных разновидностей случая 4 является такой, когда функцию приращения g (т), начиная с х = Т, можно аппроксимировать прямой:

1 Если максимальное число (.imax межпроверочных промежутков неограни­ ченно увеличивать, то только в пределе неравенство (5.32) превращается в равенство:

Но возможность бесконечного числа повторений межпроверочного проме­ жутка без настроек физически исключается при любом технологическом про­ цессе. Тем самым, для рассматриваемой задачи неравенство (5.32) имеет место при всех допустимых вариантах ее условий.

119