книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов

иа основании опыта предыдущих вычислений или по соображениям общего характера. Как увидим, удаление х х от х* не влияет на точность результата поиска, но от него зависит количество вычислений т г.

Вторая точка х 2 для вычисления f (х) выбирается справа от х х на удалении /г0. Само собой разумеется, что шаг поиска /г0 = A.v, где А х— приращение аргумента х, должен быть кратным интер­ валу округления /г непрерывного аргумента х и должен быть целочисленным при целочисленном х. От выбора h0 зависит, как увидим позже, остаточный интервал неопределенности L0CT (т ) при заданном количестве вычислений т (или т при задан­ ном L0CT (т)).

После вычисления f (хА) и f (х2) находим конечное прира­

чай, так как второй ему аналогичен.

Итак, если поиск продолжается вправо от ху, после / (х2)

интервал дискретизации при непрерывном х, то производится

где /гЕ — приращение переменной х перед последним сопостав­ лением / ( x j и / (хт + /гЕ) .

152

hn и от ошибки 1е интуитивной оценки точки минимума х , допу­ щенной при определении исходной (эвристической) точки лд:

сать соотношение, определяющее число вычислений m f\ необ­ ходимых для отыскания точки минимума х* способом направлен­ ного сплошного перебора с заданным остаточным интервалом неопределенности:

Как видим, эффективность направленного сплошного перебора в основном зависит от ошибки 1е при выборе исходной точки х ±. Величина 1е является случайной переменной, распределение кото­ рой можно вычислить при тех или иных более или менее произ­ вольных предположениях. В дальнейшем соотношение (8.5) будет использовано для сравнения метода направленного сплошного перебора с другими методами. При этом можно будет ограни­ читься экспертной оценкой возможного максимума ошибки 1е.

Сравним полный перебор (параллельный поиск) с направлен­ ным сплошным перебором, имея целью не столько выяснить несложный вопрос, какой из них выгодней, сколько проиллю­ стрировать применительно к простым условиям два необычных понятия, минимаксная и максиминная оптимальность. Эти поня­ тия возникли при решении задачи следующего типа. Пусть суще­ ствует г возможных решений Rt, i = 1 , 2 , . . . , г, из которых надо выбрать наиболее выгодное решение R* с меньшими поте­ рями z. Показатель эффективности zlK каждого из решений R зависит от фактического возникновения одного из возможных вариантов условия ик, к = 1, 2, . . . . Условия vt могут быть раз­

1 5 3

место при выборе вариантов СРК. Значения zlK известны или, по меньшей мере, известны max (z(-K) и min (ziK) для каждого

КК

из возможных решений Rit где max (zlK) — наибольшие возмож-

К

ные потери при данном решении R it если сравнивать ztK при

всех вариантах ик условия v; min (z,-K) — наименьшие возмож-

К

ные потери при данном решении R r Выбор решений в такой задаче1 определяется одним из двух сформулированных ниже принципов, который представляется предпочтительным в данных условиях.

1. Минимаксный принцип («minimax») заключается в выборе такого решения R, которое сведет к минимуму потери при самом худшем варианте мыслимых условий V, влияющих на потери z. Речь идет уже не об условиях, существенных для отдельного решения, а о всех таких условиях каждое из которых влияет на эффективность хотя бы одного из конкурирующих решений. Ясно, что в соответствии с этим принципом надо выбирать реше­

Минимаксный принцип может оказаться единственным прием­ лемым, например, тогда, когда возможные потери z должны быть немедленно и всегда полностью возмещены страховым резервом, расходы на содержание которого, как правило, пропорциональны его количеству, а потребность в нем пропорциональна max z[K. Минимаксный принцип применяют и в менее очевидных обстоя­ тельствах. Но надо иметь в виду, что обычно он оправдывается только недостаточностью информации о распределении вероят­ ностей условия щ,{, так как иначе он может привести к большим потерям.

2. Максиминный принцип является своего рода негативным аналогом минимаксного в том смысле, что совпадает с ним после перемены знака показателя эффективности z. Оптимальным счи­

тается такое решение Rt, при котором min (ziK) оказывается

К

больше, чем при всех остальных решениях. Например, к исполь­ зованию такого принципа может привести необходимость гаран­ тировать наибольший срок безотказной эксплуатации машины или узла.

1 Эти и подобные задачи относятся к классу выбора решения в условиях неопределенности. Математическая теория их решения рассматривается в тео­ рии игр, элементарное изложение которой можно найти в работах [4, 5].

154

В данной книге используется лишь минимаксный прин­ цип.

Нам надо сравнить эффективность поиска способом полного перебора, и способом сплошного направленного перебора, име­ нуемым в дальнейшем «направленным перебором». Показателем эффективности является число вычислений т г при определении точки х* экстремального значения / (х) при одинаковом остаточ­ ном интервале неопределенности 3 ?,. Единицей измерения интер­ валов принята здесь и в дальнейшем величина исходного интер­

число шагов зависит от ошибки 1е при определении оценки исход­ ной точки х ± в соответствии с (8.4). Так как ни определенное зна­ чение /е, пи распределение вероятностей этой величины не из­ вестны, сравнение методов возможно с точки зрения минимаксной оптимальности. При минимаксном подходе эффективности обоих методов равны. В самом деле, при целочисленном х и /г0 = 1 остаточный интервал неопределенности при полном переборе

равен З ?^ = 1 и число вычислений т = 3?\ + 1. Переходя к направленному перебору, заметим, что самым неблагоприятным для его эффективности случаем будет такой, когда точка экстре­ мума х* совпадет с границей исходного интервала, а эвристиче­ ская исходная точка поиска либо совпадает с противоположной границей исходного интервала или отделена от нее на 1. При этих

условиях т * 2) = т Р = 3?г + 1.

Если принять правило, что направленный перебор начинается из середины исходного интервала 3£i, при минимаксном подходе он окажется примерно вдвое выгодней, чем полный перебор. Если х — непрерывная величина и при направленном переборе последний шаг хг — хт+1 можно сделать достаточно малым, мини­ максная оптимальность направленного перебора почти вдвое больше (число измерений вдвое меньше), чем полного.

Минимаксный подход при суждениях, связанных с отысканием экстремума, не применяется. Но можно отметить, что в исключи­ тельном случае при h0 = 1 минимальное число измерений

min (m.r2)) = 3, между тем, при полном переборе, как всегда,

т'г = д?\.

Приведенные соотношения сами по себе не представляют ин­

тереса, так как интуитивно очевидны. Они привлечены для иллюстрации минимаксного подхода, который будет использован при рассмотрении метода Фибоначчи.

155

8.3.МЕТОДЫ ДИХОТОМИИ, ФИБОНАЧЧИ

ИМАРЖИНАЛЬНЫХ ЗАТРАТ

Перейдем к способам отыскания экстремума функции одной переменной у = f (л:), при которых пользуются тем или иным правилом, определяющим не только направление дальнейшего поиска, но и интервалы между значениями х, для которых вычи­ сляется f (х). К числу таких способов относится, в частности, метод дихотомии или последовательного деления на два [26].

Пусть, как и до сих пор, требуется отыскать минимум одно­ экстремальной функции / (х) (рис. 13) над интервалом S£ (1)

значении х, допустимых и существенных для решения задачи. Интервал^ (1) является исходным (первым) интервалом неопре­ деленности в последовательности аналогичных интервалов 1 g?(l), 3?(2), . . ., 3?(т), которые будут возникать в ходе поиска мини­ мума f (х). Для упрощения сравнений с другими методами при­ равняем исходный интервал неопределенности единице: 3?{\) = 1.

Пользуясь методом дихотомии, мы начинаем с вычисления

1 Величина каждого из этих интервалов зависит от числа шагов поиска. Соответственно изменены обозначения.

1 5 6

дущего интервала неопределенности 3?(2). В зависимости от знака приращения новым интервалом неопределенности S£ (3) станет левая или правая сторона интервала SE (2) и т. д. Если пренеб­ речь относительно малым интервалом /г0 = Дх, можно записать следующую зависимость величины интервала неопределенности от числа вычислений т (экспериментов):

Например, после 14 вычислений, иначе говоря, после семи­ кратного уменьшения вдвое интервала неопределенности остаточ­

ный интервал при способе дихотомии SEV (14) равнялся бы У = 0,0078 исходного интервала.

Способ направленного перебора при таком же остаточном ин­ тервале неопределенности потребовал бы не более 14 вычислений при условии, что расстояние от эвристической точки х г до точки

минимумах* не превышает-у- 0,0078 = 0,0547 (за единицу длины

принят исходный промежуток неопределенности). Если принять минимаксный критерий эффективности, методы направленного перебора и дихотомии равноценны при условии, если интервал

дихотомии.

Для других значений величины остаточного интервала неопре­

методов отыскания минимума функции затрат 5 ( o j) в случае нескольких управляемых аргументов (см. гл. 9). Для того чтобы отыскать х* способом полного перебора с такой же точностью

157

(с таким же 2.?г3)). какую обеспечивает метод дихотомии после 14 вычислений, требуется

Несколько эффективней метода дихотомии так называемый метод Фибоначчи, в основу которого положена особая числовая последовательность, применявшаяся математиком XII века Фи­ боначчи. Этот метод сравнительно недавно разработан американ­ ским математиком Кифером [26]. Как и метод дихотомии, метод Фибоначчи выражается правилом деления каждого очередного интервала неопределенности, но не на две, а на три части, и не приращением А/ (х), а результатом одного вычисления в отличие от метода дихотомии, но так же, как при способе направленного перебора, число вычислений в каждом конкретном случае при­ менения метода Фибоначчи колеблется в зависимости от непред­ виденных сочетаний обсчитываемых точек и точки минимума х* на каждом шаге поиска. Поэтому в отношении метода Фибоначчи применим только минимаксный принцип оптимальности, что обязательно надо иметь в виду, рассматривая изложенное ниже обоснование метода.

Обоснование метода Фибоначчи начинается с исследования ситуации, возникающей на предпоследнем шаге поиска. Когда поиск после т * вычислений закончится, останется интервал неопределенности, равный З г (т *). Независимо от того, каким он будет, решим вопрос, в каких точках предыдущего интервала

Заметим, во-первых, что таких вычислений должно быть два. При одном вычислении интервал неопределенности не изменится, а при трех вычислениях он изменится два раза. Во-вторых, надо иметь в виду, что в случаях, когда поиск экстремума ограничи­ вается только двумя вычислениями, оптимальным (в минимаксном смысле) способом является способ дихотомии, что легко дока­ зать [26]. Поэтому в интервале неопределенности 3 { т * — 1) при оптимальном варианте поиска надо выполнить первое вычисле­ ние в точке xm*—i, соответствующей середине интервала 3 ( т * — —• 1) второе — в точке хт * на малом, по возможности, удалении от xm*—i, после чего определяется знак приращения А/ (xm*_i) и, тем самым, остаточный интервал неопределенности, который может

158

вычислений в двух точках, обведенных на рис. 14 кружками.

При практическом использовании соотношений (8.9) полезна последовательность чисел Fk Фибоначчи, построенная следующим

159

образом:

Ниже приведены первые 15 чисел Фибоначчи [пользуясь (8.10)], их можно легко дополнить:

Уже известные нам соотношения с помощью чисел Фибоначчи можно представить в следующем виде:

2?(ni* — k) = F k+i3?(m*), пренебрегая Л0,

и

SB (/»* — к) — F k+i2? (т*) — F й_ 1/г0 с учетом /г0.

Приняв длину первого интервала SB (1) за единицу, можно записать

SB {in*) = Тт” , пренебрегая Л0,

Уайльд [26 ] уточняет эту формулу, принимая в расчет прира­ щение /г0, равное приращению Ах при вычислении Af (х) на последующем этапе поиска:

160

Заметим, что поиск методом Фибоначчи, таким образом, можно начать, задавшись длиной остаточного интервала неопределен­ ности или числом вычислений. Если это затруднительно, можно воспользоваться методом золотого сечения, который характери­ зуется примерно такой же эффективностью (см. [26]).

Для сравнения эффективности метода Фибоначчи и метода дихотомии можно привести количество вычислений т гдля каждого из них при одинаковом остаточном интервале неопределенности SSr

на уровне менее одного процента. Для метода Фибоначчи т ^ =

= т * = 11, для метода дихотомии m f] = 14.

Краткий обзор способов, применяемых для поиска экстремума функции одного аргумента, закончим ознакомлением с методом маржинальных затрат. Этот, широко известный в прикладной экономике, способ (см., например [25, п. 10.3]) является анало­ гом известного из анализа метода и представляет собой вариант, близкий к варианту направленного перебора. Он применим в том

ния ASon (со) первой из них монотонно возрастают, приращения

ращение слагаемых функции S on (со) именуются маржинальными

удобен для построения номограмм, с помощью которых можно найти оптимальный вариант для любого из аналогичных случаев, отличающихся значениями одного из параметров исходных усло­ вий.

8.4.ОПТИМИЗАЦИЯ СРК С ОДНИМ УПРАВЛЯЕМЫМ ФАКТОРОМ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЛЯ ОТДЕЛЬНОЙ

ОПЕРАЦИИ

Организационно-техническим фоном для рассмотренных ниже числовых примеров может служить операция механической обра­ ботки, выполняемая на автомате или полуавтомате, на котором конкретные значения признака качества зависят от настройки и состояния технологической системы и не зависят при каждом повторении операций от действия рабочего. Операция характери­ зуется износостойкой настройкой и пренебрежимо малой вероят­ ностью возникновения ненормальностей технологической системы. Предполагается, что на участке внедрен обычный «статконтроль» с одинаковой периодичностью контрольных проверок, а именно, раз в час (тем самым отпадает один из управляемых факторов эффективности С Р К — величина промежутка между провер­ ками).