книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов
.pdfГ л а в а 3
ОПЕРАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ПРОВЕРКЕ УРОВНЯ НАСТРОЙКИ
3 .1 . П Р Е Д В А Р И Т Е Л Ь Н Ы Е ЗА М Е Ч А Н И Я
В этой главе описаны способы вычисления только тех опера тивных характеристик, которые встретятся при выборочных про верках уровня настройки технологической системы. Оперативные характеристики, связанные с выявлением ненормальностей, рас смотрены в гл. 10. Использованные в дальнейшем понятия: от клонение у. н., ошибка настройки, состояние объективного усло вия и другие, равно как основное понятие для данной главы—опе ративная характеристика, определены в гл. 2. Кроме того, они включены в указатель терминов и обозначений, приведенный в конце книги.
Практически применяемые или применявшиеся планы выбороч ной проверки уровня настройки можно разбить по признаку веро ятностных схем на два класса.
Класс А. Планы на основе теорем о суммировании независимых случайных величин. Особенность планов этого класса состоит в вычислении выборочной средней арифметической с последующим сопоставлением ее с границей регулирования. Планы А разли чаются только значениями трех параметров А, у+, у~ .
Класс Г. Планы на основе теорем о последовательностях неза висимых испытаний. Их особенность состоит в группировке вы борочных значений признака качества с последующими сопостав лениями результатов с требованиями решающего правила. В за висимости от числа групп и содержания решающего правила раз личают пять разновидностей планов Г.
Подробно о каждой из этих разновидностей сказано в соответ ствующих параграфах. Оперативные характеристики планов Г имеют по четыре и более параметров, но, как упоминалось в гл. 2, их можно аппроксимировать оперативными характеристиками пла нов А с тремя параметрами. Способы аппроксимации изложены в данной главе.
Планы обоих классов применимы при любых законах распре деления признака качества, но некоторые соотношения, на основании которых построены описанные ниже алгоритмы вычис ления оперативных характеристик и алгоритм аппроксимации, обусловлены гауссовым распределением. Поэтому общая оговорка
60
к данной главе состоит в том, что без дополнительного исследова ния помещенные в ней формулы нельзя применять в случаях, когда распределение признака качества существенно отличается от гаус сова.
3 .2 . О П Е Р А Т И В Н А Я Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А П Л А Н О В А
(М ЕТ О Д С Р Е Д Н Е Й А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К О Й )
План класса А можно записать следующим образом: а) путем измерения п изготовленных друг за другом изделий составить
выборку объема п\ б) вычислить по ней среднюю арифметическую х;
в) сопоставить х с границами регулирования хк~, хк+. Если гра ницы регулирования не нарушены, то принять решение не уточ нять настройку.
Если величины х, хк-, хк+ выражены в технических единицах, например миллиметрах, для вычисления оперативной харак
теристики |
L (X) |
плана проверки |
уровня настройки X надо |
еще знать |
среднее |
квадратическое |
отклонение ах признака ка |
чества х. |
|
|
|
По определению оперативная характеристика относительно решения «не уточнять настройку» равна вероятности того, что при уровне настройки, равном X, выборочная средняя арифмети
ческая х не выйдет за критические значения хк~, хк+. |
С другой |
|
стороны, на основании теоремы сложения дисперсий |
известно, |
|
что а- = V п |
где а- среднее квадратическое отклонение выбороч- |
|
ной средней х. |
|
|
Можно записать
У л (*к+—х)
i(X)= 7 W |
J |
е“^ г- |
(ЗЛ) |
V ~ h ( х к ---- X ) |
|
||
Перейдем от технических единиц измерения к статистическим, |
|||
что не только упростит запись, |
но, |
как увидим позже, |
приведет |
к удобным алгоритмам вычисления оперативной характеристики планов класса А и к простому алгоритму аппроксимации опера
тивных характеристик |
планов класса Г. В гл. 2 |
были вве |
|
дены обозначения v, у , |
у , X, определяемые по следующим фор |
||
мулам: |
|
|
|
X — Я? |
— К |
X = |
Vn. |
т = - |
|
||
61
После подстановки и очевидных преобразований перепишем выражение (3.1) в виде
Мг*--и) |
|
|
£ ( и) = у = - I" е 2 Лг = |
Ф[Я(у+ — и)] — Ф [Я(у- — и)], (3.2) |
|
X ( V —f ) |
|
|
|
t |
2 ~ |
Ф (0 = |
-Д = Г е |
2 dz. |
— СО
Как увидим позже, при вычислении L (v) и для аппроксимации оперативных характеристик планов класса Г нормальным рас пределением удобно пользоваться соотношением 1
L (v) = |
L+(v) |
+ 1г (v) — 1, |
(3.3) |
где Lr (v) — вероятность |
того, |
что выборочная |
оценка х ока |
жется не меньше ее критического значения слева хк~. Эта функ ция от v именуется в дальнейшем частной оперативной характери стикой слева и при нормальном мгновенном распределении при знака качества определяется по следующей формуле:
L~ (v) = 1 — Ф [Я (у“ — и)] = ф [Я (ц — у-)]; |
(3.4) |
L+ (п) — вероятность того, что х не превысит своего критического
значения справа хк+; эта функция от v именуется в дальнейшем частной оперативной характеристикой справа:
L+ (и) = |
Ф [Я (у+ — v)]. |
(3.5) |
Если v = у+, то Lr(v) —0,5. |
В данном случае и в случае любого |
|
иного плана выборочной проверки точку, над которой частная оперативная характеристика равняется 0,5, будем называть точ
кой равновесия. |
Частная оперативная характеристика справа |
L+ (v) является |
той же функцией распределения вероятностей, |
но взятой с обратным знаком. Параметр Я является угловым коэф фициентом обратной функции распределения ошибки выборочной
средней х.
Параметры оперативной характеристики Я, у+, у~ относятся к числу переменных, значениями которых можно распорядиться, выбирая оптимальный вариант СРК, причем вовсе не обязательно,
1 Строго говоря, план имеет три оперативные характеристики: а) относи тельно решения не вмешиваться в процесс L (о); б) относительно решения вме шаться в процесс, повысив уровень настройки (1 — L " (о)); в) относительно решения вмешаться в процесс, понизив уровень настройки (1 — L + (о)).
В данном параграфе использована иная интерпретация, потому что она упрощает изложение и раскрывает ту связь между всеми оперативными характе ристиками плана, которая, в сущности, положена в основу аппроксимации опе ративных характеристик для планов класса группировки. Но при расчете потерь при различных убытках на единицу продукции в зависимости от нарушения нижней или верхней границ поля допуска требуется основная интерпретация оперативной характеристики планов класса А.
62
чтобы .у- = Y+ и чтобы по меньшей мере при одном из допустимых значений у хотя бы приближенно L ( у) = 1.
Вычисление оперативной характеристики L (у) выполняется для последовательности дискретных значений отклонения у. н. у. Выбор величины интервала округления Н, отделяющего два смеж ных значения v{ и уш , определяется рядом соображений, изло женных в гл. 6. Здесь пока что предполагается, что последова
тельность значений у£mln, |
. . ., v_z, y_lt |
v0, yx, y2, |
. . ., ymax, |
для которой вычисляются |
L (у), задана |
входными |
условиями. |
|
|
ыМ |
|
н а проверки отклонени я уровня |
н астр о й к и v н а |
|
основе средней ари ф м ети ч еской |
и |
о б р а т н а я о т |
носительно L { v) ф ункция |
ш (о) |
|
Ниже приведен алгоритм вычисления L (у), а в табл. 2 — число вой пример. На рис. 3 показаны результаты вычислений.
А л г о р и т м вычисления оп ерати вн ой х а р а к т е р и с т и к и L (и) планов класса А
I.Входные данные:
1. Последовательность значений отклонения у. н. и,-; £ = £mln, . . ., —2,
1, 0, 1, 2, . . ., £тах.
2. Параметры оперативной характеристики А, у ", у+.
tZ*
3.Таблица Ф (£) = — 1— Г е— Т dz (см. табл. 1 приложения). II. Операции (для всех £):
1.d T = o ._ v-.
2.t~.=U~r
3.Д-(о.)=ф(£7).
63
05 |
Таблица 2 |
Вычисление оперативной характеристики планов класса А
Х = 0 ; h = 0,3571а*; у~ = — 1,0713; v+ = 0,7142; ^ - = — 3;- - ^ - = 2 ; |
% = 1/5 =2,236; Р Л = 0,7985 |
1 |
vi |
“7 = |
^ — |
L - (U(.) = |
|
Y t - v , |
Vt — у- |
= dJ~Xh |
= ф 0 г ) |
“ l ~ |
ft |
||
|
|
h |
||||
|
|
|
|
|
||
—8 |
—2,8668 |
—5 |
—3,5 |
0,0000 |
|
10 |
—7 |
—2,4997 |
—4 |
—3,1940 |
0,0007 |
|
9 |
—6 |
—2,1426 |
—3 |
—2,3955 |
0,0082 |
|
8 |
—5 |
— 1,7855 |
—2 |
—1,5970 |
0,0548 |
|
7 |
—4 |
— 1,4284 |
— 1 |
—0,7985 |
0,7881 |
|
6 |
—3 |
— 1,0713 |
0 |
0,0000 |
0,5000 |
|
5 |
—2 |
—0,7142 |
1 |
0,7985 |
0,7881 |
|
4 |
— 1 |
—0,3571 |
2 |
1,5970 |
0,9452 |
|
3 |
0 |
0,0000 |
3 |
2,3955 |
0,9918 |
|
2 |
1 |
0,3571 |
4 |
3,1940 |
— 1,0 |
|
1 |
2 |
0,7142 |
5 |
3,5 |
— 1,0 |
|
0 |
- (o/-V + *) |
L + (,,.) = |
L (0f) = |
= |
= L - (.,.) + |
|
|
= Ф ( ^ ) |
|
> 3 ,5 |
- 1 ,0 |
0,0000 |
> 3 ,5 |
- 1 ,0 |
0,0007 |
> 3 ,5 |
— 1,0 |
0,0082 |
> 3 ,5 |
- 1 ,0 |
0,0548 |
> 3 ,5 |
- 1 ,0 |
0,7881 |
> 3 ,5 |
- 1 ,0 |
0,5000 |
> 3 ,5 |
- 1 ,0 |
0,7881 |
3,1940 |
0,9918 |
0,9370 |
2,3955 |
0,9452 |
0,9370 |
1,5970 |
0,7881 |
0,7881 |
0,7985 |
0,5000 |
0,5000 |
8 |
2,8668 |
11 |
> 3 ,5 |
1,0 |
—10 |
3,5 |
0,0000 |
1,0000 |
4.4 = V+ -t»,-
5.£ =
6 . |
! > , ) - |
Ф (^). |
7. |
Q. = L - ( , . ) + L - (,.). |
|
8. |
L (Vi) = |
ai — 1. |
Напомним, что оперативная характеристика L (v) не меняется в зависимости от принятых на операции технических единиц из мерения, от допуска, номинала и от фактического среднего квадра тического отклонения ах. Она пригодна на любых операциях при выборочных проверках с данными параметрами К, у~ , у+ и дан ным интервалом округления h. При изменении параметра поло жения у+ или у~ новую оперативную характеристику можно получить, переписав соответствующую старую частную опера тивную характеристику L” (v) [или L+ (и)] со смещением ее на разность между новым и старым параметрами. Иначе говоря,
если вместо у~ параметром положения слева принять уГ, |
то новая |
частная оперативная характеристика слева LT (н,-) равняется |
|
й (vt) = L [vt + (у? — у")] • |
(3.6 ) |
Во избежание ошибки надо проверить, чтобы L x (y~ ) — 0,5. Описанный способ вычисления оперативных характеристик при изменении параметров у" и у+ очень удобен при аппроксимации вариантов СРК (подробней в п. 3.6). Если меняется параметр кру тизны X, оперативную характеристику L (v) надо вычислить за ново.
3.3. М ЕТО Д КРАЙНИХ З Н А Ч Е Н И Й
Наиболее простой разновидностью планов класса Г является так называемый метод крайних значений, обозначаемый в дальней шем как план Г.1. В процедурно-вычислительном отношении он
состоит в том, что назначаются границы |
регулирования |
хк~, хк+ |
|
для выборочных наблюденных значений |
/ = |
1 , 2 , . . ., п при |
|
знака качества х, и решение о невмешательстве в |
процесс |
прини |
|
мается в случае, если при очередной выборочной проверке ни одна из границ не нарушена. Промежуток между границами дол жен быть таким, чтобы вероятность нарушения обеих границ в результате одной и той же выборочной проверки была пренебре жимо мала х.51*
1 Если бы метод крайних значений допускал одновременное нарушение обеих границ, потребовалось бы изменение решающего правила в смысле указаний, как быть в этом случае и вообще в случаях, когда в результате одной выборки нарушаются обе границы с теми или иными количествами индивидуальных значе ний ниже нижней границы и выше верхней.
Тем самым метод крайних значений превратился бы в метод калибров рас пределения, отличительной особенностью которого является именно это решаю щее правило (о методе калибров распределения сказано позже).
5 В . В . Гсловинский |
65 |
В статистических понятиях планы Г. 1 формулируются следую щим образом:
1. Выполняется п независимых вероятностных испытаний каждое из которых состоит в обработке и измерении признака ка чества одного изделия с результатом, соответствующим отклоне-
нию цб) л-( / ) — % выборочного значения яб) признака каче
ства х от заданного уровня настройки 86. Соовокупность получен ных значений составляет выборку.
2. |
Группировкой значений иб') определяются |
числа |
т х, т » |
|||
т 3,. где т 1 — число значений |
цб) |
таких, что цб) < |
ик~; |
т 2 — |
||
то же, |
таких, |
что цк-*^ыб) |
цк+; |
т 3 — то же таких, что иб') > |
||
> цк+; |
здесь |
ик- и ик+ — левая и |
правая границы |
интервалов |
||
группировки |
на числовой прямой: |
|
|
|
||
|
|
И I t ----------- |
ик+ — |
|
|
|
|
|
|
|
ах |
|
|
3.Решающее правило: решение о невмешательстве в техноло
гический процесс принимается в случае, когда вектор т — т х, т 2, т 3 обладает свойством
т х = т 3 — 0, т г = п. |
(3.7) |
Таким образом, решающая функция плана определена в трех мерном пространстве на множестве допустимых целочисленных
векторов т , причем решению не вмешиваться в процесс поставлены в соответствие все векторы, удовлетворяющие условию (3.7).
Оперативная характеристика L r.i(v ) плана Г.1, взятая от носительно решения не вмешиваться в процесс, равна (в соответ ствии с решающим правилом) вероятности того, что при данном
значении v вектор т = |
0 , п, 0 . |
|
|
Вероятность Р 2 того, |
что отдельное отклонение цб') не выйдет |
||
за границы ик- и цк+ |
|
интервалов группировки, равна |
|
ик+-и |
^ ^ |
|
|
Р 2 = ~ = г J |
е |
2 dz = 0 (u K+ — v) — Ф (цк----v), |
(3.8) |
у2 л нк-V
авероятность Lr. х (v) того, что все п отклонений попадут в тот же интервал, по теореме умножения вероятностей независимых со бытий равна
L r.i(v )= P S . |
(3.9) |
Аналогично тому, как это сделано для планов класса А, введем формулы:
частной оперативной характеристики слева, равной вероят
ности того, что нижняя граница регулирования хк- |
наблюденных |
-значений не будет нарушена ( т г = 0 , т 2 + т 3 > |
0 ): |
й . х (у) = [Ф (v — цк-)Г; |
|
66
частной |
оперативной характеристики справа, равной вероят |
||
ности того, |
что верхняя граница регулирования х,<+ |
наблюденных |
|
значений не будет нарушена ( т 3 = 0 , т.! |
т 3 < |
0 ): |
|
Ьг. 1 (v) = [Ф (ык+ — ц)]'*.
Как уже сказано, особенность метода крайних значений со стоит в том, что допустимыми являются лишь планы, при которых в результате одной выборки может быть нарушена только одна из границ регулирования.
Практически речь идет о таком промежутке между границами регулирования, при котором вероятность одновременного их на рушения пренебрежимо мала. Это условие дает основание для применения приводимых ниже формул (3.10) и (3.11) с оговоркой, что они правильны практически во всех случаях использования
метода крайних значений: |
|
|
|
|
|
( 1 - |
й . 1 (v)) + |
(1 - |
Lr. i И ) + Lr. 1 |
(v) = 1 , |
(3.10) |
откуда |
Lr . 1 (v) = |
Lr. i (v) + Lr. i (v) - |
1 . |
(3.11) |
|
|
|||||
Если границами регулирования хк- и хк+ |
приняты |
границы |
|||
поля допуска, |
то |
|
|
|
|
|
L(v) = |
( l - b ( v ) y , |
|
(3.12) |
|
где b (и) — вероятность брака.
В гл. I была рассмотрена оперативная характеристика на при мере выборочной проверки годности продукции в предъявленной на контроль партии, близкая к (3.12). Различие между L (v) в (3.12) и L (q) в (1.1) не столь уже существенно при больших объемах предъявленных на приемочный контроль партий продук ции. Гораздо важней то, что выборочные проверки, к которым от носятся L (v) и L (q), выполняются для решения разных вопросов применительно к различным объективным условиям. В первом случае нужно решить, надо ли вмешиваться в технологический процесс с целью уточнения уровня настройки, учитывая состояние объективного условия в виде отклонения у. н. v. Во втором случае решается вопрос о возможности приемки партии без разбраковки
применительно к фактической доле q брака в ней. |
вычисляется |
|
Оперативная характеристика Lr..i (v) планов Г.1 |
||
с помощью следующего алгоритма. |
|
|
|
Алгоритм вычисления оперативной характеристики планов Г.1. |
|
I. |
Входные данные: |
—2, — 1, |
1. |
Последовательность допустимого значения у;, |
|
0 , 1 , 2 , . . ., iraax:
хк- - Х
2.ик-
3.ик+
5* |
67 |
4.п.
5.Ф (/).
II. Операции (для всех i):
1. t\ = ц к+- ц ; .
2 . р ;= Ф (/;).
3.Г. = u K— vlm
4.р := Ф (Г ).
5 . р : = р ' . - р . .
6. l (ir) = ( Р " : у .
Вариант алгоритма планов Г.1 с вычислением частных оперативных характеристик Lф j (и)
I. Входные данные те же.
II. Операции:
1 . t\ = uK+- v ..
2 . р(: = ф (р;).
3- L r. 1 (vi) = (P i)
4-fi = “к- -»f
5 . p J = ® ( Q .
6. L-(0 / ) e (pJ)-.
7. at- = Lp j (u(.) + Lr ! (o(.).
8 - Lr. 1(yi) = a i — 1 .
3 .4 . М ЕТО Д М Е Д И А Н Ы
Планы этой разновидности, обозначаемые в дальнейшем как Г.2, в процедурно-вычислительном отношении можно описать сле дующим образом. На основании выборки нечетного объема п —
= 2b -j- I вычисляется |
выборочная медиана х, |
равная хЙе в по |
|
следовательности 4 ыб, |
4 ыб, • ■ 4 ыб, 4 ’Й 1), |
■ • |
4 ыб, распо |
ложенных в порядке возрастания выборочных значений Хвыб при
знака |
качества х. |
Решение о невмешательстве в процесс выби |
||
рается, если хк- |
х |
хк+, где хк~, хк+ — границы регулирова |
||
ния выборочной медианы х. |
|
|||
В |
статистических понятиях планы |
Г.2 формулируются сле |
||
дующим образом: |
|
п независимых |
вероятностных испытаний |
|
1. |
Выполняется |
|||
каждое из которых состоит в изготовлении и измерении признака качества одного изделия с результатом, соответствующим откло-
68
|
у |
_ gg |
выборочного |
значения хВЬ|б |
признака |
|||
нению « выС — |
----- |
|||||||
|
|
ах |
|
|
|
|
|
|
качества х от заданного уровня настройки w . |
числа т ъ т 2 |
|||||||
2. |
Группировкой значений ишб определяются |
|||||||
т 3, где ту — число значений |
ивыб таких, |
что ивыб < г / к-; |
т ъ — |
|||||
то же таких, что и]Г |
мвыб ^ |
« к+; т 3 |
— то же таких, |
что |
ивыб > |
|||
> ик+, |
здесь ик- |
и мк+ — левая и правая |
границы между интер |
|||||
валами |
группировки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ик----■ |
|
11к+ ' |
к+ ■а? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.Решающее правило: :решеиие о невмешательстве в техноло
гический процесс принимается, если вектор т |
= т ъ т 2, т 3 обла |
дает свойством т 1 ^ b и т 3 ^ Ь, где b = |
1 . |
Оперативную характеристику Lr . 2 ( у) планов Г.2 можно вы числить несколькими различными способами. Здесь рассмотрен способ наиболее точный и связанный с вероятностной схемой. Прежде всего заметим, что вследствие очевидной невозможности нарушения обеих границ регулирования при одной проверке опе ративная характеристика LT. 2 (у) выражается через частные опе
ративные характеристики Af". 2 |
( у) |
и |
Aj\ 2 (а) так же, |
как при |
планах А и Г. 1, а именно: |
|
|
|
|
L r .o (v )= L r . 2 |
(v) + |
L r .2 ( v ) - \ , |
(3.13) |
|
где Гр)г(и) — частная оперативная |
характеристика слева, "рав |
|||
ная вероятности, что при данном |
у |
не будет нарушена |
нижняя |
|
граница регулирования хк-; 2 (у) — частная оперативная характеристика справа, равная вероятности, что не будет нару
шена верхняя граница регулирования хк+.
Вероятность того, что не будет нарушена нижняя граница,
очевидно, является суммой вероятностей & (т 1 = |
/), / |
== 0 , 1 , . |
. ., |
|
b несовместных событий, |
состоящих в том, что т |
1 = |
0 , или т г |
— |
— 1, или т 1 = 2 и т. д. |
до tnx — b включительно. Итак, |
|
||
Аг . 2(у) = !Р (nil — |
(nil = 1) -f- . • • -j- 53 |
(mi = b). ■ (3.14) |
||
Обозначим через p ’ вероятность того, что при очередном испы тании (при очередном повторении операции и измерении детали)
окажется, что июб <Сик-.
~ |
2“ |
2 |
|
«к--и - — |
|
|
|
р' = у = - | |
е |
dz = <D (ык- — и). |
(3.15) |
— СО
69