книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов

технологическом процессе, что Шыохарт считал заведомо выгод­ ным с точки зрения прибыли предприятия. Английская контроль­ ная карта соответствует критерию максимального выпуска про­ дукции. В новейших работах по оптимизации критерием является сумма расходов на контрольную карту, настройки и брак. В этой книге использован критерий, близкий к последнему из перечислен­ ных и не совпадающий с ним — именно критерий максимального повышения производительности общественного труда.

Применительно к рассматриваемым условиям показателем про­ изводительности общественного труда является величина, обрат­ ная затратам живого и овеществленного труда в расчете на еди­ ницу продукции. Практически, в качестве величины, характери­ зующей эффективность комплекса решений, принята величина, обратная показателю производительности труда, а именно, за­ траты труда в расчете на единицу продукции. Затраты труда ра­ бочего и контролера выражаются в часах рабочего времени, а за­ траты овеществленного труда (инструмент, материал забракован­ ных изделий и пр.) принимаются в пересчете на часы рабочего, исходя из его заработной платы и стоимости инструмента, мате­ риала. Во избежание неудобства в словоупотреблении, связанного с привычным представлением, что показатель эффективности уве­ личивается с ростом эффективности, показатель, вычисляемый описанным способом, именуется показателем затрат S или сокра­ щенно затратами 5. Аналогичный показатель в задачах по опти­ мизации иногда называют функцией затрат. Этот термин соответ­ ствует показателю затрат S, но в особом смысле, о котором ска­ зано ниже.

Теперь следует рассмотреть зависимость затрат S от комплекса решений, принимаемых при выполнении трех функций, обеспе­ чивающих качество продукции в ходе производства. Можно запи­ сать следующую формулу состава затрат в расчете на единицу продукции (в ч):

кущего уровня настройки; /С2 — затраты на сплошной приемочный

В рассматриваемом примере (см. рис. 2) затраты появляются уже при первой регулировке. Затраты на регулировку сГ склады­ ваются из затрат на инструмент (в часах) и затрат рабочего вре­ мени на установку. Затраты являются заданным параметром (не зависят от решений), но затраты на одну попытку при настройке g, т. е. на регулировку и выборочную проверку ошибки регулировки,

50

Здесь сг и ск — заданные параметры, а п одна из переменных, определяемых планом выборочной проверки, оптимальное зна­ чение которой нужно найти. Это — первая форма зависимости затрат 5 от комплекса решений.

Затраты на одну настройку г равны, очевидно, сумме затрат на все попытки до успешной включительно. Обозначив математи­

Но число попыток v x зависит от плана I, так как чем строже план I, тем больше требуется попыток для того, чтобы успешно закончить настройку. Это уже вторая форма зависимости затрат 5 от плана выборочной проверки. Способ расчета v* изложен в гл. 4.

После того, как закончена настройка и миновал первый меж­ проверочный период автоматической работы, выполняется выбороч­ ная проверка выходного отклонения у. н. увых. В случае наруше­ ния контрольной границы производится настройка с затратами, равными /'. Нетрудно вычислить затраты на настройки R в рас­ чете на единицу продукции для отдельного МП. Пусть вероят­ ность того, что в результате выборочной проверки выходного от­ клонения у. н. Увых будет принято решение выполнить настройку, равна Q. Имея в виду, что в течение МП обрабатывается Т единиц продукции, очевидно, можно записать

ная числом повторений операции.

Вероятность Q тем больше, чем строже план II выборочной проверки выходного отклонения. Это — еще одна форма зависи­ мости затрат S от комплекса решений (способ вычисления Q для последовательности МП изложен в гл. 5). Но затраты R зависят еще от длительности межпроверочного промежутка Т, которым можно распорядиться. Итак, первое из рассмотренных слагаемых затрат S, а именно, затраты на настройки R, зависят от планов I и II срока Т (вычисление R для последовательности МП см. в гл. 6).

Существенным слагаемым функции затрат 5 является V — по­ тери из-за нарушения допусков в расчете на единицу продукции. Связь этой величины с комплексом решений определяется следую­ щими обстоятельствами.

Прежде всего напомним тот очевидный факт, что вероятность нарушения допуска (или коротко вероятность брака) зависит от уровня настройки X , тем самым от отклонения у. н. у. В дальней­ шем вероятность брака, как функция отклонения у. н. у, обозна­ чается через b (у) (в гл. 5 эта функция рассмотрена подробно).

Исследуем соотношения за отдельный межпроверочный про­ межуток при условии, что в примере матрица армирована твердым

сплавом и отклонение у. н. v в течение МП не меняется (износо­ стойкая настройка). Очевидно, вероятность брака в течение всего МП будет такой, какой она была при первом повторении операции, т. е. равной b (vBX).

Так как входное отклонение нвх является случайной перемен­

ной с распределением вероятностей а (vBX), вероятность брака q в течение МП можно вычислить как безусловную вероятность на

очередь, зависит от распределения ошибок регулировки р (ирг), являющегося статистической закономерностью, и от плана I вы­ борочной проверки. При жестком плане II уменьшаются вероят­

настроек и, следовательно, расходов на них, отраженных в по­ казателе R. Вот почему вопрос оптимизации комплекса решений

где b (ивх -f- a xi) — вероятность брака при повторении операции в t-й раз.

Таким образом, слагаемое V показателя затрат 5 за один МП равно

Износ настроенных элементов приводит к необходимости вы­ борочных проверок выходных отклонений пвых. Тем самым, а (vBX)

52

зависит (как видно на рис. 2) не только от плана I, но и от плана II.

Кроме того, вероятность брака q меняется в зависимости от выбора длительности Т. Этот параметр тоже является одной из перемен­ ных, которыми можно распорядиться, выбирая систему выбороч­ ных проверок для комплекса решений, связанных с обеспечением качества. Таким образом, частный показатель V зависит от выбора двух планов выборочных проверок и от сроков контрольных про­ верок отклонений у. н. v. Способы вычисления показателя К, причем не для одного МП, а для их последовательности, рассмо­ трены в гл. 5 и 6.

Но от планов I и II сверх того зависит вероятность брака в про­ дукции, предъявляемой на приемочный контроль. Если этот кон­ троль выборочный, в связи с ним возникнет возможность потерь из-за пропуска брака в производство, соответствующих в расчете на единицу продукции слагаемому 0 г показателя затрат 5. За­ траты и г зависят от распределения доли брака в предъявленных на контроль партиях, т. е. при прочих равных условиях от пла­ нов I и II, и от плана III выборочного приемочного контроля. Способы вычисления U x рассмотрены в гл. 6 и 7.

Естественно, что вероятность выгодных решений, уменьшаю­ щих затраты и потери R, V, U ъ возрастает с увеличением объемов выборки п при выборочных проверках, на основании которых эти решения принимаются. Но зато с ростом объемов выборки увели­ чивается показатель К г затрат на контрольные проверки откло­ нения у. н. иВЬ1Х. Кроме этого связанного с контролем показателя в составе 5 имеются еще К 2 — затраты на сплошной приемочный контроль предъявленной продукции и К 3 — затраты на выбороч­ ный приемочный контроль. Как увидим в гл. 6 и 7, где описаны способы вычисления этих показателей, все они зависят от пла­ нов I, II, III и сроков контрольных проверок.

Все расчеты, связывающие затраты 5 с комплексом решений, опираются на систему постоянств (перманентностей), выраженных параметрами распределений или параметрами уравнений, описы­ вающих изменения распределений. Эти постоянства уже упомина­ лись в гл. I и были названы статистическими закономерностями. В примере встречаются три статистические закономерности: а) рас­ пределение ошибки регулировки, обусловленное распределением

мгновенное распределение признака качества х, заданное средним

Все расчеты затрат 5 для комплекса решений верны до тех пор, пока не нарушены статистические закономерности. Если пред­ положить, что выявленное нарушение закономерности — ненор­ мальность — тут же устранится, потери из-за невыявления ее можно рассчитать следующимо бразом. Сохраняя все расчеты, опи­ санные выше для оперативной цепи, надо сделать подстановку,

53

заменив нормальное значение параметра статистической законо­ мерности фактическими, возникшими в условиях ненормальности. Предполагается, что ненормальности одного и того же вида могут различайся по интенсивности, причем возможны уровни интен­ сивности т = 1 , 2 , . . . , М с вероятностями р {hm). С точки зрения выборочной проверки наличия ненормальности, уровни интенсивности hm являются состоянием объективных условий, а поставленные им в соответствие вероятности р (hm) распределе­ нием вероятностен состояний hm. Пусть (hm) потери из-за ненормальности типа g равны приращению показателя затрат 5 вследствие ненормальности с интенсивностью hm. Обозначим опе­ ративную характеристику плана выборочной проверки ненормаль­ ности относительно решения «не вмешиваться в процесс» через

L (/г). Тогда математическое ожидание потерь U%g) из-за ненор­ мальности вида g равно:

к = М

На рис. 2 представлены три выборочные проверки ненормаль­ ностей и их планы. В гл. 10 изложены способы вычисления U2 и L (/г) для различных видов ненормальностей.

Таковы в общих чертах и в интуитивном изложении зависи­ мости слагаемых показателя затрат 5 от планов и сроков выбороч­ ных проверок. Теоретико-вероятностные схемы и алгоритмы вы­ числения изложены в соответствующих главах этой книги.

2 .4 . СИ СТЕМ А В Ы Б О Р О Ч Н Ы Х П Р О В Е Р О К В Ц ЕЛ О М И Е Е О П Т И М И ЗА Ц И Я

На основании того, что сказано в последних двух параграфах, можно предложить следующие обобщенные формулировки. Выбор решений, составляющих рассматриваемый комплекс, обусловли­ вается результатами системы выборочных проверок, регламенти­ рованной сроками и планами. Поэтому показатель затрат 5 за­ висит от совокупности планов и сроков выборочных проверок, соответствующей тому или иному варианту системы статистиче­ ского регулирования и контроля технологических процессов и качества продукции (СРК). Оптимальным вариантом СРК име­ нуется такой, при котором показатель затрат S достигает мини­ мума.

Прежде чем перейти к задаче выбора оптимального варианта системы СРК, надо сказать несколько слов о вычислении показа­ теля S. Как будет показано в соответствующих главах, вычисле­ ние S сводится к выполнению простых алгоритмов с помощью на­ стольной техники с очень небольшой затратой времени. Поэтому в тех случаях, когда стоит вопрос об оценке эффективности одного варианта СРК или о сравнении двух-трех конкурирующих вари­ антов, не возникает никаких существенных затруднений, связаи-

54

ных с объемом вычислительных работ. Сравнения альтернативных вариантов СРК даже без оптимизации системы может принести очень большую пользу. В частности, можно ответить на вопрос, оправдывается ли вообще какой-либо вариант СРК на операциях данного типа и не лучше ли ограничиться интуитивной системой решений, принимаемых рабочим? Практические примеры сравни­ тельной оценки альтернатив разобраны в гл. 7.

Переходя к вопросу выбора оптимального варианта СРК, нач­ нем с изложения традиционной формулировки задач подобного рода. В мировой литературе получила распространение следующая концепция, сформулированная С. Карлином и Э. Д. Эрроу [34] (оба — видные американские ученые в области применения мате­ матических методов в экономике):

«На протяжении последнего десятилетия возникло течение, именуемое исследованием операций или наукой об управлении. Совокупность задач, относящихся к области управления произ­ водством, коммерческой, административной деятельности, полу­ чила общее наименование проблематики решений. Для этих задач характерны четыре элемента:

A.Модель, выражающая совокупность предполагаемых за­ висимостей между переменными.

Б. Подмножество переменных, значения которых выбирает фирма или организация, принимающая деловое решение.

B.Целевая функция переменных, вошедших в модель, обла­ дающая тем свойством, что возрастание ее значений соответ­ ствует улучшению в ходе дел с точки зрения фирмы.

Г. Вычислительные методы, позволяющие исследовать из­ менения целевой функции в зависимости от выбора вариантов зна­ чений переменных, определяющих решение. В идеале желателен вычислительный метод, который приводил бы к оптимальному решению, т. е. к определению таких значений переменных, при которых целевая функция в рамках ограничений, заданных мо­

делью, достигла бы максимума».

В условиях рассматриваемой задачи модель, выражающая пред­ полагаемые зависимости между переменными, изложена интуи­ тивно в пп. 2.2 и 2.3 и строго (вероятностные схемы) в гл. 4—7. Целевой функцией является производительность труда, представ­ ленная в вычислениях обратной величиной — затратами S. Вы­ числительные методы заимствованы в основном из теории выбора решений и математической статистики; они изложены в после­ дующих главах.

Существенное расхождение с обычной схемой оптимизации от­ носится к подмножеству переменных, значения которых выбирает фирма пли организация, принимающая деловое решение. Проще говоря, речь идет об аргументах показателя затрат S, которыми можно распоряжаться. Как видно из пп. 2.2 и 2.3, слагаемые затрат S частично зависят от величин в виде сроков выборочных проверок. Сюда относятся: длительность МП, число межпровероч-

55

ных партии, объединяемых в одну приемочную партию при выбо­ рочном приемочном контроле, и сроки проверки некоторых не­ нормальностей, не совпадающих со сроками проверки отклонений у. и. Но главным условием, от которого зависят затраты 5, яв­ ляется применение тех или иных планов выборочных проверок. Эти планы не всегда поддаются прямому количественному описа­ нию в соизмеримых единицах, так как они могут различаться качественно (принципиально).

Речь идет о так называемых методах (рецептах), выработанных практикой статистического регулирования для выборочных про­ верок уровня настроек. Такие планы отличаются друг от друга качественно, сверх того каждая качественная разновидность имеет модификации с количественными различиями объема выборки, гра­ ницами регулирования, критических соотношений при группи­ ровке. В этой книге будет идти речь о следующих методах (рецеп­ тах) выборочной проверки отклонения у. и.: а) на основе выбо­ рочной средней арифметической; б) на основе выборочной медианы; в) способ группировки на группы качества (калибров распределе­ ния); г) способ индивидуальных значений; д) способ крайних значений; е) комбинация способов б и д.

Все эти методы описаны в гл. 3. Здесь, на стадии формулировки задачи, заметим лишь, что возможность применения качественно различных планов чрезвычайно ее усложняет. Если бы перед нами был единственный метод выборочной проверки отклонения у. н., достаточно было бы найти оптимальные значения установленных им параметров (конечно, в сочетании с оптимальными сроками). При наличии шести методов задача усложняется в шесть раз. Сначала надо найти значения показателя 5,., i = 1, 2, . . ., 6 при оптимальных параметрах для каждого метода, затем сравнить полученные 5,- друг с другом, определив тем самым оптимальный метод и его оптимальные параметры. Между тем, одно из существен­ ных препятствий для выбора оптимального варианта системы СРК заключается в большом объеме вычислительной работы. В усло­ виях шестикратного усложнения потребовалось бы такое коли­ чество машинного времени ЭВМ, при котором затраты заведомо не окупаются.

Определяемые планами границы регулирования, объем вы­ борки, соотношения при группировке и пр. не единственные ве­ личины, которые можно поставить в соответствие планам. В си­ стеме зависимостей математической модели каждый план пред­ ставлен своей оперативной характеристикой, а качественные раз­ личия выражаются в различных формах оперативной характери­ стики как функции от отклонения у. н. v. Оказалось, что суще­ ствует функция, с помощью которой можно аппроксимировать (упрощенно представить) любую из известных оперативных харак­ теристик, причем возникающие неточности лишь немного иска­ жают вычисленный показатель 5. Такой аппроксимирующей функ­ цией является функция нормального распределения вероятностей.

56

Способ аппроксимации Описан в гл. 3. Откладывая до гл. 3 подроб­ ности и разъяснения, ограничимся лишь той стороной вопроса, которая имеет отношение к оптимизации. С этой точки зрения, суть в том, что любую оперативную характеристику независимо от метода можно приближенно представить как функцию трех параметров: крутизны Х\ положения слева у“; положения справа у+.

Задавшись значениями X, у~ , у+, можно подобрать при любом методе статистического регулирования план с оперативной харак­ теристикой, достаточно близкой к аппроксимирующей функции с заданными параметрами. Иначе говоря, при заданных X, у~ , у+ оперативные характеристики при различных методах по форме практически одинаковы, следовательно, если X, у~ , у+ оптимальны, неважно какими статистическими методами будет выполняться выборочная проверка отклонения у. н. и.

Это обстоятельство сразу приводит модель оптимизации в соот­ ветствие с обычной, когда вопрос сводится к поиску оптимальных значений, которыми можно распорядиться, и не включает выбора между качественно различными вариантами.

Добавим, что оперативные характеристики планов выборочной проверки ненормальностей имеют по два параметра, о чем по­ дробней сказано в гл. 10. По плану приемочного выборочного контроля пока предполагаем, что метод задан на основании сообра­ жений, выходящих за рамки модели, и что оперативная харак­ теристика определяется одним параметром — объемом выборки п (хотя в действительности их может быть несколько).

Итак, в примере подмножество величин, значениями которых можно распорядиться, включает: а) два срока: длительность меж­ проверочного промежутка и число межпроверочных партий, объ­ единяемых в одну приемочную; б) один параметр плана выбороч­ ного приемочного контроля; г) шесть параметров планов выбороч­ ной проверки ненормальности.

Из-за многочисленности аргументов показателя затрат 5 по­ является трудность при выборе оптимального варианта системы СРК. Как увидим в гл. 9, при двух аргументах показателя 5 не­ обходимые вычисления можно выполнить с помощью ручной тех­ ники при сравнительно небольшой затрате времени. При трех аргументах можно ограничиться ручной техникой, но при сравни­ тельно больших затратах времени. При четырех-пяти аргументах требуется ЭВМ с относительно небольшими затратами машинного времени. При числе аргументов, превышающем 5, затраты ма­ шинного времени настолько велики, что вычисления окупаются лишь для больших групп однотипных операций.

Существует несколько способов выйти из затруднения, вызван­ ного большим числом переменных, от которых зависит показа­ тель 5. Во-первых, из общей задачи можно выделить оптимизацию планов выборочной проверки ненормальностей, применив двух­ шаговую выборку. Первый шаг — проверка с жестким решающим правилом на основании совмещенной выборки, второй (в случае

57

нарушения границы регулирования при первом) — проверка рас­ ширенной выборкой с локально-оптимальными параметрами.

Во-вторых, решающими могут оказаться организационные сооб­ ражения. Например, иногда целесообразно унифицировать планы дополнительной выборочной проверки ошибки настройки и вы­ борочной проверки выходного отклонения у. и. оиых.

В-третьих, из числа переменных, от которых зависит S, можно выделить группу относительно индифферентных, т. е. таких, от­ клонения которых от оптимальных значений сравнительно слабо отражаются на S. В отношении их можно принять способ эври­ стического правила, который заключается в том, что в математи­ ческую модель вводится соотношение, соответствующее правилу или принципу, выработанному практикой или установленному де­ дуктивно, исходя из общей посылки. Примером могут служить английские границы регулирования (подробней см. в гл. 10).

И, наконец, можно применить упрощенный способ, при котором существует риск ошибиться. Речь идет о способе покоординатного спуска, описанном в гл. 9. Практически число совместно оптими­ зируемых величин для распространенных операций можно свести к 3—4. Для того, чтобы составить самое общее представление о по­ иске оптимума, условимся о следующих обозначениях и тер-, минах.

со = сох, со2, . . ., сот (точка в /п-мерпом пространстве). Каждой такой точке соответствует свое значение 5 (со). Оптимальным век­ тором со является такой, при котором S (со) достигает минимума.

Если бы затраты 5 (со) удалось выразить аналитически, можно было бы для отыскания оптимального 5 применить метод гра­ диентов или иной способ, связанный с вычислением частных производных (подробней сказано в гл. 9). В рассматриваемой за­

даче невозможно аналитически представить S в зависимости от со, остается воспользоваться одним из способов перебора. Перебором в машинной математике называется вычисление и сравнение после­ довательных значений функции для отыскания оптимального зна­ чения вектора.

Существует много способов отыскания экспериментального зна­ чения функции нескольких переменных в условиях, которые встречались при оптимизации варианта СРК. Здесь нет возмож­ ности и надобности дать даже самый общий их обзор. Подробному их изложению посвящены гл. 8 и 9.

В данной главе представлена в основном интуитивно и в общих чертах система зависимостей между переменными, составляющими математическую модель оптимизации СРК. Конкретизацию модели в виде системы теоретико-вероятностных схем читатель найдет в последующих главах. Там же изложены алгоритмы и числовые примеры вычислений применительно к реальным условиям.

58