книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов

н о с т и

п о и с к а ,

т а к

к а к

о с т а т о ч н ы й

и н т е р в а л

н е о п р е д

с т и З г(т ) в ы ш е л б ы з а г р а н и ц у и н т е р в3а л а(1 ) .

П р е д п о л о ж и м ,

ч т о п р и м е н я е т с я м е т о д с т а т и с т и ч е с к о г о р е

р о в а н и я к л а с с а А ,

с л е д о в а т е л ь н о ,

п р а к т и ч е с к и в ы п о л н и м ы

с т а к о й к р у т и з н о й о п е р а т и в н о й х а р а к т е р и с т и к и ,

п р и к о т о

с о с т а в л я е т

ц е л о е

ч и с л о .

С о о т в е т с т в е н н о ,

а р г у м е н т о м

ф у

э ф ф е к т и в н о с т и

п р и н и м а е м

о б ъ е м

в ы б опр к(исм .

н и ж н ю ю ш к а л у

н а р и с .

1 5 ). Е с л и в д а н н о м с л у ч а е п р и м е н и т ь с п о с о б с п л о

п е р е б о р а ,

п о т р е б о в а л о с ь б ы 2 5

в ы ч и с л е н и й ; м и н и м а л ь н о г

Р и с . 15. П о к а за т ел ь

з а т р а т

Son (п)

при

условии

проверок р а з в час с английскими гран и ц ам и

регули­

рования

ч е н и я

S onп() — 1 ,5 7

д о с т и г а е т

п рпи =

5 ,

п р и ч е м

о с т а т о ч н ы

и н т е р в а л

н е о п р е д е л е н н о с т3и (2 5 ) р а в н я л с я

б ы

н у л ю .

З д е

н а п о м н и м ,

ч т о п р и н е п р е р ы в н о м а р г у м е н т е ,

н а п р и м е р А,,

п о л н о м

п е р е б о р е

о к р у г л е н н ы х

с

и н т е р в а л о м

/г0 = 0 ,1 А,

н и й Я , о с т а т о ч н ы й и н т е р в3а л (2 5 ) =

0 ,2 Я .

Ч и с л о в ы ч и с л е н и й в п р и м е р е м о ж н о б ы л о б ы у м е н ь ш и т ь ,

д е л и в S on (/г)

т о л ь к о д л я

ч е т н ы х

з н а ч е нпи йи л и

з н а ч е н и йп,

к р а т н ы х 3 ,

п о л у ч и в о с т а л ь н ы е з н а ч епн ис пя о с о б о м г р а ф и ч е с к о й

и н т е р п о л я ц и и

н а д

т е м

у ч а с т к о м

и с х о д н о г о

и н т3е р в(1а )л, а

в к о т о р о м м о ж е т о к а з а т ь с я т о ч к а м и н и м у м а .

Е с л и п р и м е н и т ь с п о с о б н а п р а в л е н н о г о п о и с к а с ш а г о м ,

р а

Д А , , (8 ) =

0 ,0 8 >

0

;

Л А п (? ) =

° - 0 6

>

0 ;

Л А п (6 ) =

0 ,0 5

> 0

;

Д ^ о п (5 )

=

0 ,0 3

0 ;

а А п (4) =

-0 ,0 1 <

0.

м и н и м у м а я в л я е т спя — 5 ,

п р и ч е м о с т а т о ч н ы й и н т е р в а л н е о п

д е л е н н о с т и р а в е н н у л ю .

Е с л и б ы а р г у м е н т о м б ы л а к X,р у т и

с л е д о в а т е л ь н о , т о ч к а м и н и м уX*м а м о г л а о к а з а т ь с я

м е ж д у т о

к а м и ,

с о о т в е т с т в у ю щ и м и

ц е л ы м

ч и с л а м ,

о с т а т о ч н ы й ^

и н

н е о п р е д е л е н н о с т и SBост

(6 )

р а в н я л с я

б ы

] / бУ 4— =

2 ,4 5

—

— 2 =

0 ,4 5 .

Е с л и п р и м е н и т ь с п о с о б д и х о т о м и и с п р и р а щ е н и е м а р г у м

р а в н ы м

АХ = 0 ,0 2 , и

и с х о д н ы м и н т е р в а л о м

н а ш X,к а лреа в н ы м

А 5 0П ( 2 ,5 ) >

0 ;

A S on ( - Ц ^ - ) =

Д 5 ОП( 1 , 2 5 ) < 0 ;

А50П( 1|25+ 2’5 ) =

А50П(1,87) < 0;

А 5 0П С ’87 +

2 -5

)

=

А 5 0П (2 ,1 9 )

>

0 ;

A S on ( 1-8 7 4 : 2- - 1- ) =

А 5 0П (2 ,0 3 ) <

0 ;

А 5 0П ( 2,0 3 4 -

2- ^

)

=

А 5 0П ( 2 ,1 1 )

<

0 ;

д5оп( ! г1 9 ± М 1 )=

А5оп(2,15) =

0 .

р а в е н

^ ( 1 4 ) =

( 4 - ) 7 - 5 =

0 ,0 0 7 8 - 5 =

0 ,0 4 .

д л и н о й о с т а т о ч н о г о

и н т е р в а л а

н е о п р е д е л е н нSBо с (тти*):

п у с т ь

2 ост ( т *) =

0 ,0 4 .

Д л я

т о г о

ч т о б ы

о п р е д е л и т ь

ч и с л о

в ы ч и с л е

п р и 2 0СТ (m* ) =

0 ,0 4 и п рSBи (1 ) =

5 ,0 ,

в с о о т в е т с т в и и с ( 8 .1

и щ е м ч и с л о Ф и б о н а ч ч и , б л и ж а й ш е е к

Э т и м ч и с л о м я в

Р 12 = 2 3 3 ,

В

с л е д о в а т е л ь н о ,

к о л и ч е с т в о

в ы ч и с шл е*н и йр а в ­

н я е т с я 1 2 .

с о о т в е т с т в и и

с

( 8 .1 1 )

н а х о д и м

и н т е р в а л

д е л е н н о с т и 2 (2 )

п о с л е в т о р о г о и з м е р е н и я :

2

(2 )

= !j? = L S B

(1 )

=

4

| -

5 -0 0

=

3' -0 6 -

К а к я в с т в у е т и з о п и с а н и я м е т о д а Ф и б о н а ч ч и ,

п р и п о и с к е м

м у м а в к а ж д о м и н т е р в а л е н е о п р е д е л е н н о с т и ,

в к л ю ч а я и с х о

д о л ж н ы б ы т ь д в е о б с ч и т ы в а е м ы е т о ч к и , р а з м е щ е н н ы е с и м м е т р

о т н о с и т е л ь н о

г р а н и ц

и н т е р в а л а

и о б л а д а ю щ и х т е м

с в о й

ч т о о д н а и з н и х п о п а д е т в н о в ы й

( с л е д у ю щ и й )

и н т е р в а л н

д е л е н н о с т и ,

а

в т о р а я

с т а н е т е г о

г р а н и ц е й .

П о п а д е т

в

и н т е р в а л

н е о п р е д е л е н н о с т и

т о ч к а с м е н ь ш и м

з н а ч е н и е м

н и е м

5(X),

ч е м

и

о п р е д е л и т с я

п о л о ж е н и е

н о в о г о

и н т е

о т н о с и т е л ь н о

п р е д ш е с т в у ю щ е г о е м у .

И

т а к

д л я о п р е д е л е н и я

г р а н и ц

о ч е р е дтн-оггоо

и н т е р в а л а ,

н а ч и н а я с о в т о р о г о ,

в х о д н ы м и д а н н ы м и с л у ж а т г р а н и ц ы

д у щ е г о

( т

—

1 )-г о

и н т е р в а л а ,

к о т о р ы е

о б о з н а ч и м

А !"1 -1 ),

и т о ч к а м е ж д у н и м и

Т р е б у е т с я н а й т и е щ е о д н у т о ч к у

и с х о д я

и з

у с л о в и я

с и м м е т р и и :

А ,*'"- 1)

— Я.*"1- 1) —

( Ц

" ' - 1'

— А *"

Г р а н и ц ы

н о в о г о

и н т е р в а л а

А*"')

и

А ^")

в ы б и р а ю т с я

т а к ,

в н е г о п о п а л а

т а

и з

т о ч е к

А *"1 -1 ) и

А !"1 -1 ),

п р и

к о т о р о й

5 ( A

ж е т с я

м е н ь ш е .

В ы к л а д к и

у д о б н о з а п и с а т ь с л е д у ю щ и м о б

я,

5 а ,)

Я,з

S (Я.э)

^■4

0

3,06

1,82

1,94

1,59

5,00

0

1,94

1,59

1,12

2,00

3,06

1,12

1,94

1,59

2,24

1,58

3,06

1,94

2,24

1,58

2,76

1,70

3,06

1,94

2,24

1,58

2,46

1,62

2,76

1,94

2,24

1,58

2,16

1,57

2,46

1,94

2,16

1,57

2,02

1,57

2,24

2,02

2,16

1,57

2,10

1,565

2,24

8.5.

ОПТИМИЗАЦИЯ СРК С

ОДНИМ

УПРАВЛЯЕМЫМ

ФАКТОРОМ

ЭФФЕКТИВНОСТИ

ДЛЯ

КЛАССА

АНАЛОГИЧНЫХ

ОПЕРАЦИЙ

Д л я т о г о ч т о б ы

п е р е й т и о т ч а с т н о г о с л у ч а я ,

р а с с м о т р е

в п р е д ы д у щ е м п а р а г р а ф е ,

к д о в о л ь н о ш и р о к о м у к л а с с у п р о

с т в е н н ы х у с л о в и й ,

к о т о р ы е м о г у т в с т р е т и т ь с я в д е й с т в и т е л ь н

н ы е у с л о в и я п р и м е р а 3 .

_

Р а с с м о т р и м

ф у н к ц и юq (А) в е р о я т н о с т и

б р а к а в з а в и с и м о с

о т А. Н а р и с .

16 ж и р н о й ч е р т о й в м а с ш т а б е , п о к а з а н н о м

и з о б р а ж е н а д о л я б р а кqа(А)

п р и м е н и т е л ь н о у с л о в и я м п р и м е р а

и

а н г л и й с к о м у

с п о с о б у

с т а т и с т и ч е с к о г о

р е г у л и р о в а н и я .

к а з а л о с ь б ы п а р а д о к с а л ь н ы й , ф а к т , ч т о ,

н а ч и н а я с о п р е д е л е

з н а ч е н и я А ( в д а н н о м

с л у ч а е — н а ч и н а я

с А ^

3 ) , д о л я

н е т о л ь к о н е п а д а е т ,

н о н а ч и н а е т , р а с т и ,

с т р е м я с ь в п р е д е л

А —>

о о к 0 ,0 1 5 3 , о б ъ я с н я е т с я т е м , ч т о с

в о з р а с т а н и е м А и ,

в а т е л ь н о ,

с

у в е л и ч е н и е м

ч и с л а

н а с т р о е к

д е й с т в и т е л ь н о

м а л ь н о м

у р о в н е q — 0 ,0 2 9 0 ,

с о о т в е т с т в у ю щ е м

р а с п р е д е

н и ю ар (и нс)

п о с л е с о б с т в е н н о н а с т р о й к и .

Т а к о в р е з у л ь т а т о т

о т н е м е д л е н н о й п р о в е р к и

к а ж д о й н а с т р о й к и .

в ы ч и с

Д и а г р а м м а

н а р и с . 16

п о с т р о е н а

н а

о с н о в а н и и

д л я р а з л и ч н ы хX п о с е м и т о ч к а м с п о с л е д у ю щ е й и н т е р п о л я ц и

( с г л а ж и в а н и е м )

н а г л а з .

В д а н н о м с л у ч а е э т о н е г р о з и л о

шие. 16.- В е р о я т н о с т ь б р ак а

q (А,), з а т р а т ы

н а н астр о й к у

R (X) и

к о н тр о л ь

К (А.) в прим ере 3

ш и м и о ш и б к а м и ,

е с л и

г р а ф и к

в ы п о л н и т ь в

н а д л е ж а щ е м

ш т а б е (0 ,0 0 1

в е р о я т н о с т и б р а к а п о с т а в и т ь в с о о т в е т с т в и е 0

н а г р а ф и к е ) .

П р и

с о м н е н и я х

н а

о т д е л ь н ы х

у ч а с т к а х п

в а л и с ь б ы д о п о л н и т е л ь н ы е о п о р н ы е т о ч к и . Б о л е е с т р о г и е с п

и н т е р п о л я ц и и ( с п о с о б н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в )

з д е с ь н е о п р

в а ю т с я в с в я з и с т е м , ч т о в о з м о ж н а я о ш и б к а , в к о н е ч н о м

н е п р и в е д е т к к р у п н ы м п о г р е ш н о с т я м .

Э т о о б ъ я с н я е т с я м

н ы м и

и з м е н е н и я м и ф у н к ц и и

з а тSрonа т(X)

в б л и з и

о п т и м у м а ;

Н а д

к р и в о йq (X) п о с т р о е н а л о м а н а я л и н и я ,

в ы с о т а

с т у п е н и

к о т о

с о о т в е т с т в у е т п р и р а щ е н и я мq (X)A

п р и АЛ. =

0 ,1 .

Т а к

к а к

п о к

з а т е л ь V п о т е р ь

и з - з а

н е т о ч н о с т и

т е х н о л о г и ч е с к о г о

п р о ц

к а к

у ж е

г о в о р и л о с ь ,

я в л я е т с я

п р о и з в е д е н и е м

в е р о

б р а

к а q {X) н а

п о т е р ись в

р а с ч е т е н а

е д и н и ц у п р о д у к ц и и ,

д о п

й п т е л ь н а я э к о н о м и я A V (А) п р и о ч е р е д н о м у в е л и ч е н и и А

р а в н я е т с я

AV (к)

= cbAq (к).

=

Э т а в е л и ч и н а в д а л ь н е й ш е м и м е н у е т с я м а р ж и н а л ь н о й э

м и е й

п о д к о т о р о й п о д р а з у м е в а е т с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь

щ е н и й

э к о н о м и и

п р и

у в е л и ч е н и и

у п р а в л я е м о й

п е р е м е н

к а ж д ы й р а з н а Д А =

0 ,1

М а р ж и н а л ь н а я

э к о но м и я

А V (А ),

о ч е в и д н о ,

в с в о ю

о ч е р е д ь ,

я в л я е т с я ф у н к ц и

е й о т А,

п р и ч е м

к а ж д ы

р а з и м е н н о т о г о з н а ч е н и я

А, к о т о р о е

д о с т и г а е т

э т а

в е л и ч и н а н е

д о ,

а

п о с л

о ч е р е д н о г о у в е л и ч е н и я н а

0 ,1 . М а р ж и н а л ь н о й э к о н о

м и е й п р и А =

1 ( т о ч к а р а з

р ы в а

А и [ с к а ч к аV (А ))

п р и н и м а е т с я

п р и р а щ е н и е

э к о н о м и и

с р а в н и т е л ь н о

п о л н ы м

о т к а з о м

о т к о н

т р о л ь н ы х

п р о в е р о к

(А =

=

п

=

0 ) .

О б р а т и м с я т е п е р ь к п о ­

к а з а т е л ю

з а т р а т

н а

н а с т

р о й к и R (А ). Э т а ф у н к ц и я ,

к а к и с л е д о в а л о о ж и д а т ь ,

п р и

а н г л и й с к о м

с п о с о б

с т а т и с т и ч е с к о г о р е г у л и р о ­

Р и с . 17.

Н о м ограм м а

для

вычисления о п т и ­

в а н и я и и з н о с о с т о й к о й н а ­

с т р о й к е

с о с т а в л я е т о ч е н ь

м альной

к р у ти зн ы

X *

для

условий

при м ера

н е б о л ь ш у ю

д о л ю

с у м м а р

1 (н а правой оси отл ож ен ы з а т р а т ы

и п о тер и

в %

к рабочему

времени):

н о г о

п о к а з а т е л я

S on (А)

и ,

/—оптимальное

значение

параметра

крутизны

в д о б а в о к ,

м е д л е н н о

и з м е

Я*; 2 —затраты

и потерн со

статистическим

регу­

н я е т с я .

Е е

з н а ч е н и я , в ы ч и ­

лированием; 3 —то ж е без статистического

регу­

лирования.

с л е н н ы е

в

ф о р м е

т а б л .

2 4

с т а в л е н ы

н а

р и с .

1 7 .

д л я

р а з л и ч н ы х

А,

п р е д

М а р ж и н а л ь н ы е

з а т р а т ы

A 0llA!

(А)

в ы ч и с л и т ь

г р а ф и ч е с к и ,

а н а л о г и ч н о

A(А0),ilKн о

с

н о м о г р а м м о й ,

в ы п о л н е н н о й

в б о л е е к р у п н о м м а с ш т а б е .

М а р ж и н а л ь н ы е

з а т р а т ы

A 0il/C i (А)

н а

к о н т р о л ь н ы е

п р о в

р а в н я ю т с я :

А о д /C i (А) =

0 ,0 0 7 [А 2 — (А — 0 , 1 ) 2 ],

г д е

0 ,0 0 7 — ф и к с и р о в а н н о е

з н а ч е н и е

з а т р а т

н а

о д н о

и

н и е

с к .

А

5

0П

(А,) с у м м а р н о г о

п о к а зSа onт е (X)л я

О ч е р е д н о е п р и р а щ е н и е

в р е з у л ь т а т е у в е л и ч е н иXя н а

ДА, =

0 ,1

н а з о в е м м а р ж и н а л ь н о

э ф ф е к т и в н о с т ь ю .

В в е д е м

е щ е

д в а

т е р м и н а

и

и х

о б о з н а

с у м м а р н а я

м а р ж и н а л ь н а я

э к о н о м и я

Д £ ( А , ) < ; 0 ,

р а в н а я

м а р ж и н а л ь н ы х

э к о н о м и й ;

в

п р и м еЕр е(X)А=

AV (X), т а к

к а к

н и к а к и х и н ы х м а р ж и н а л ь н ы х э к о н о м и й н е т ;

с у м м а р н ы е м

н а л ь н ы е

з а т р а т ы

GA(X) >

0 ,

р а в н ы е

с у м м е

в с е х

м а р ж и н а л ь н

з а т р а т ;

в

п р и м е р еG (X)A

=

AR

(X) +

Д Д ф (А,).

С п о с о б

м а р ж и н а л ь н ы х

з а т р а т

я в л я е т с я

а н а л о г о м

о т ы с

э к с т р е м у м а в а н а л и з е и с о с т о и т в т о м ,

ч т о п у т е м т е х и л и

в ы ч и с л е н и й

н а х о д я т з н а ч е н и е у п р а в л я е м о й

п е р е м е н н о й

( в

м е р е

А,),

п р и

к о т о р о й

м а р ж и н а л ь н а я

э ф ф е к т и в н о с т ь

А

д о с т и г а е т н у л я .

Э т о з н а ч е н и е и я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м з н а ч е

у п р а в л я е м о й п е р е м е н н о й .

Т а к к а к м а р ж и н а л ь н а я э ф ф е к т и в

и м а р ж и н а л ь н ы х з а т р а т ( о т р и ц а т е л ь н а я в е л и ч и н а ) ,

п р и о п т и

н о м з н а ч е н и и

у п р а в л я е м о й

п е р е м е н н о й

А,*,

о б а

э т и с л а г

р а в н ы д р у г д р у г у

п о

а б с о л ю т н о й

в е л и ч и н е :

| А Е ( А * )

| =

| A G

(А ,*) |

и л и Е—

(АА ,*) =

A G

(А ,*).

н о й и н а з ы в а ю т т о ч к о й р а в н о в е с и я

и л и э к в и л и б р и у м а .

В о с п о л ь з у е м с я

р а в е н с т в о м

( 8 .1 3 )

д л я

в ы ч и с л е н и я

п о т е

б р а к а н а е д и н и ц е п р о д у к цсьи и, п р и к о т о р ы х д а н н о е з н а ч е нXи е

о к а з ы в а е т с я

о п т и м а л ь н ы м .

Т а к

к а к

| A G (А ,*)Е | (А= ,*)

|| А=

= | Д У (А,*)

|, т о

н а о с н о в е с о о т н о ш е н и я

( 8 .1 3 ) з а п и ш е м :

AG

(А*)

(8 .1 4 )

Aq [X*)

Н а р и с .

1 7 п р е д с т а в л е н а н о м о г р а м м а , с п о м о щ ь ю к о т о р о й

о п т и м а л ь н ы й

в а р и а н т

с т а т и с т и ч е с к о г о

р е г у л и р о в а н и я

а н

с к и м с п о с о б о м ,

о п р е д е л я е м ы й з н а ч е н и е м А,* к р у т и з н ы

X о

т и в н о й х а р а к т е р и с т и к и .

Г о р и з о н т а л ь н а я ш к а л а н о м о г р а м м ы

н е н и е м с р е д н е й а р и ф м е т и ч е с к о й ) .

В п р е д ы д у щ е м п а р а г р а ф е

в ы б о р е о п т и м а л ь н о г о в а р и а н т а п о л у ч и л с я т о т ж е

в ы в о д .

С п о с о б м а р ж и н а л ь н ы х з а т р а т

и с о о т в е т с т в у ю щ а я е м у

г р а м м а н а р и с . 17

п р и м е н и м ы , к о н е ч н о , в о в с е х

с л у ч а я х ,

э ф ф е к т и в н о с т ь С Р К

з а в и с и т т о л ь к о о т о д н о г о ф а к т о р а . В

Г л а в а

9

и с с л е д у е м о й

ф у н к ц и и . Д а ж е к р а т к о е и з л о ж е н и е э т и х

с п о

п о т р е б о в а л о

б ы м н о г о м е с т а и у в е л о б ы в с т о р о н у о т т е м ы .

П о э

о г р а н и ч и м с я н е б о л ь ш о й с п р а в к о й о т е х с п о с о б а х п о и с к а ,

к о т

и б ) в а р и а н т ы т а к н а з ы в а е м о г о с л у ч а й н о г о п о и с к а .

Д л я т о г о ч

с о с т а в и т ь п р е д с т а в л е н и е о б э т и х д в у х н а п р а в л е н и я х ,

д о с т а

о з н а к о м и т ь с я

с н е с к о л ь к и м и

п р и м е р а м и .

Т и п и ч н ы м и н а и б о л е е и з в е с т н ы м

п р и м е р о м д е т е р м и н и р

н ы х

м е т о д о в

с и с п о л ь з о в а н и е м

ч а с т н ы х

п р о и з в о д н ы х

я в л

г р а д и е н т н ы й м е т о д .

Г р а д и е н т о м ф у н к ц и и /

(fХ (°хъ) = х г, .

. .,хп)

в т о ч к еХ ° н а з ы в а е т с я в е к т о р с к о м п о н е н т а м и

f d f ( X ° )

d f

(X»)

grad/(*») = / '(* “) = \ дх1

’

дх2

i ‘ ‘ *

>

Е с л и ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е в ы ч и с л е н ы в н е к о т о р о йХ °т о=ч к е

= (хг, х 2, . .

., хп),

т о

г р а д и е н т

я в л я е т с я

в е к т о р о м

в

/г - м е р

п р о с т р а н с т в е ,

н а п р а в л е н и е к о т о р о г о я в л я е т с я н а п р а в л е н и е

с т р е й ш е г о р о с т а ф у н к ц и и / ( Х ° )

в т Хо ч°.к е

в ы б о р

н а

П е р в ы м

ш а г о м

г р а д и е н т н о г о м е т о д а я в л я е т с я

н о й т о ч к и Х г.

К а к и х - л и б о п р а в и л д л я

в ы б о р а н а ч а л ь н о й т о

н е т и о н а я в л я е т с я э в р и с т и ч е с к о й т о ч к о й ,

к а к и п р и н а п р а в л е

п е р е б о р е (с м .

п р е д ы д у щ у ю г л а в у ) ,

п р е д с т а в л я ю щ и м с о б о й д и с

н ы й

а н а л о г

г р а д и е н т н о г о

м е т о д а в

о д н о м е р н о м

п р о с т р а