книги из ГПНТБ / Головинский В.В. Статистические методы регулирования и контроля качества. Расчет оптимальных вариантов

При достаточно больших ошибках z в сторону границы регу­ лирования последняя будет нарушена при таких отклонениях у. и. v, которые не были бы забракованы при меньших значе­ ниях z. Иными словами, при прочих равных условиях, пользуясь зависимой от забракования информацией, рабочий при регули­ ровках, сам того не зная, чаще будет встречаться с относительно крупными ошибками z, направленными в сторону границы регу­ лирования, и реже с относительно малыми ошибками z, чем это происходит при независимой (контрольной) проверке отклоне­ ния у. н. V. Так как ошибки z, взятые с обратным знаком, ста­ новятся ошибкой при оценке заданного при регулировке уточ­ нения d, в результате перераспределения z меняются распреде­ ления р (ирг) и ф (унс).

Вопрос заключается в том, чтобы рассчитать новое распреде­ ление р (z) и на этой основе уточнить распределение вероятности ошибки настройки ф (uHt).

Для иллюстрации обстоятельства, позволяющего вычислить плотность распределения вероятностей р (z), воспользуемся упрощенным схематическим примером (табл. 6 ). Для простоты в нем пока предполагается, что может быть нарушена только верхняя граница регулирования (случай неустранимого износа

90

уровень настройки S6. В табл. 6 в гр. 3 проставлены значения вероятности б (z j того, что при проверке отклонения у. н. vt выборочная оценка будет содержать ошибку, равную Zj.

Оставив в стороне все выборочные проверки, после которых регулировки не потребовались, вычислим вероятность р (zj) возникновения ошибки г,- в той выборочной оценке, при которой настройка была забракована и на основании которой рабочий определяет величину необходимого уточнения при предстоящей регулировке. Таким образом, вопрос стоит о вероятности совпа­ дения двух событий: а) возникновения ошибки zt- при выборочной проверке и б) наличия такого отклонения у. н. vit при котором граница регулирования будет нарушена, если г = г-г Вероят­

ность первого события задана и равна б (г/) (гр. 3 табл. 6 ). Ве­ роятность второго события (для верхней границы) равна вероят­ ности неравенства vl -f Zj >• у+, где у+ ■— положение оператив­ ной характеристики справа. Таким образом, вероятность нару­

ностью, причем условие состоит в нарушении границы регулиро­

/

Итак, распределение ошибок той выборочной оценки, которой пользуется рабочий при регулировке, иное, чем распределение

этой ошибки при выборочной проверке, непосредственно пред-

о

шествующей регулировке. Новое распределение (3 (z) зависит

о

от старого б (z) и от функции распределения вероятностей F (v) =

V

= J / (v) dv отклонений у. н. v к моменту выборочной про-

— СО

верки. Под / (v) можно подразумевать и плотность распределе­ ния ш (увых) выходных отклонений у. н. увых после промежутка автоматической работы и р (vpr) распределение ошибок регули­ ровки vpr после предшествующей регулировки и т. д. Пока что заметим, что рассмотренный пример, использованный для разъ­ яснения вероятностной схемы, содержит два условия, которые редко встречаются на практике: а) дискретность отклонения v

91

и ошибки z; б) возможность нарушения только одной (верхней)

J б (z) F (у- — z) dz

Плотность искаженного распределения |3 (z) ошибки при возможности нарушения как верхней, так и нижней границ регулирования (но не при одной и той же проверке) равна_

где Q" , Q+ — вероятности нарушения нижней и верхней границ регулирования.

На основании (4.9), (4.10) и (4.11)

Перераспределение ошибки z выборочной оценки отклоне­ ния у. и. V, возникающее при использовании контрольных данных для регулировки всегда снижает .точность настройки, однако лишь изредка (когда большую роль играют ошибки измерений) это приводит к существенным экономическим и технологическим последствиям. Но и тогда, как правило, возможна эффективная коррекция поступающих данных, причем для вычисления плот­ ности р (z) при настройках уточнениями можно воспользоваться схемой независимой настройки (вместо сложного итерационного процесса). Применительно к тем или иным классам операций (и иногда к отдельным операциям) в этой связи возникает вопрос — стоит ли принимать в расчет возникающие искажения информа­ ции и, если стоит, то какие поправки надо внести в выборочные оценки забракованных отклонений у. н. и. Ниже изложены

92

способы несложных вычислений, позволяющие ответить на эти вопросы.

пары прямых (линейный способ) или пары парабол (параболиче­ ский способ) с последующим вычислением (с помощью этих аппро­ ксимирующих функций) четырех первых начальных, а затем центральных моментов ошибки z при плотности (3 (z). Иногда для полного представления о р (г) полезно воспользоваться разложением Грама-Шарлье типа А, но гораздо чаще оказы­ вается, что асимметрией и эксцессом можно пренебречь и fS (z) считать нормальным распределением.

4.4. ЛИНЕЙНЫЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ ИСКАЖЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |3 (г)

Линейный способ исследования (3+ (z) состоит в том, что функция распределения F (и) над интервалом ошибки заменяется двумя отрезками (рис. 5), подобранными глазомерно так, чтобы они накладывались на F (у) с наименьшей абсолютной ошибкой. Сместив начало координат в точку у+, и после подстановки

ляются графически (точки пересечения аппроксимирующих пря­ мых с ординатами на границах интервала ошибки г — см. рис 5).

Воспользовавшись аппроксимацией (4.14), запишем (см. рис. 5):

где GLl ( z ) — аппроксимирующая G (z) линейная функция над интервалом ошибки z слева от у+; G/. 2 (z) то же, справа; с —

— 1 — F (у+) = G (0) — по исходным данным.

93

Заменив в (4.9) функцию G (г) = 1 — F (у+ — z) двумя отрез­ ками Gi. ! (z) и GL 2 (z), получим:

94

Вычисляем fi+ (2 ) в соответствии с (4.9). Согласно (4.20)

Возвращаясь от числового примера к общему случаю, найдем выражения для начальных моментов ошибки 2 , распределенной в соответствии с (3+ (2 ). Начнем с математического ожидания 2 (см. [6 ]). Символами v1(B и р,кВ обозначены соответственно началь­ ные и центральные моменты /с-го порядка для распределения (3+ (2).

По определению

95

В примере начальный момент 3-го порядка равен

°'33+ -'-20. .3-(0,44 72)4 = 0,0915.

0,33

Момент второго порядка v2p ошибки z, распределенной в со­ ответствии с р+ (z), равен

Для начальных моментов четного /с-го порядка можно поль­

Для вычисления центральных моментов ошибки z, распреде­ ленной в соответствии с (3+ (z), следует пользоваться следующими соотношениями ([6, с. 190]):

14 = 0;

2.

р 2 = V 2 — V ; ,

РЗ = V3 — 3v2vi -)- 2v?;

1Ц = v4 ■— 4v3Vi 4- 6v2vi — 3vi-

Прежде чем перейти к выводам для .числового примера, вы­ пишем полученные ранее значения начальных моментов: vlB = = 0,1525; . v2p = 0,2120; v3p = 0,0915; v<l8 = 0,1308. Соответ­ ственно центральные моменты ркр равняются:

PiP = 0,0000; но м. о. zp — vip = 0,1525;

рзр = 0,0915 — 3.0,2120-0,1525 Д-2 (0,1525)3 = 0,0021; Р4р = 0,1308 — 4.0,0915-0,1525 + 60,2120 (0,1525)2 —

— 3 (0.1525)4 = 0,1031.

96

Для того, чтобы составить представление об отклонении распределения р+ (г) от закона Гаусса и интуитивно оценить возможные отсюда последствия для точности настройки, можно воспользоваться рядом Грама Шарлье типа А (см. [16, с. 247]), представляющим собой, если говорить о плотности распределения вероятностей (х), следующее разложение:

и | Д4 | плотности в связи с асимметрией и эксцессами не превы­ шают:

Совершенно очевидно, что отклонения такого порядка не пре­ вышают погрешностей исходных данных и погрешностей прибли­

стройки, а среднее квадратическое отклонение практически не изменилось сравнительно с ог6 = 0,4472. Таким образом, в при­ мере можно пользоваться при вычислении распределения (3+ (z) ошибки настройки z схемой с независимой информацией (неза­ висимой настройкой).

С увеличением дисперсии <з\р ошибки z и при удалении точки от начала координат, искажение информации возрастает, о чем

И С К А Ж ЕН Н О ГО Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я P(z)

В случаях, когда описанный линейный способ связан с ощу­ тимыми погрешностями,. так как очертания F (v) над интер­ валом ошибки не поддаются сколько-нибудь убедительной замене

двумя прямыми, выгоднее пользоваться способом параболической аппроксимации.

Параболический способ исследования р (г) отличается от линейного тем, что двумя прямыми над интервалом ошибки z аппроксимируется не функция распределения F (v), а плот­ ность / (о) (см. рис. 6):

9 8

Э.то значит, что наибольшее отклонение | As | плотности р+ (z) от плотности вероятностей нормального распределения в связи с асимметрией не превышает (см. [16, с. 248 и 608])

0,0 8 5 0,55 = 0,0078.

1 - 2- 3

Таким отклонением заведомо можно пренебречь. Показатель эксцесса Ех равен

Ех ~ - щ т ~ 3 =■ 3-0001 - 3 ~ °-

Итак, в примере распределение Р+ (г) соответствует закону: Гаусса (в этом смысле нормально). От неискаженного распределе­ ния 6 (г) распределение ji+ (г) отличается: а) смещением матема­ тического ожидания м. о. ошибки г на 0,5crv, что соответствует