книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

будут полностью характеризовать пространственный граф (схему кон­ струкции).

Такое задание весьма универсально. Пространственные точки мо­ гут быть любыми особыми точками конструкции: перелома осей, раз­ ветвления, прикрепления связей и опирания и т. д. Линии, соединя­ ющие эти точки, также могут быть любыми пространственными кри­ выми, представляющими собой оси элементов конструкции, проходя­ щие через центры тяжести сечений, а также оси, проходящие через центры изгиба или какие-либо другие заданные точки сечений, и т. п.

В общем случае матрица (11.12) может полностью характеризовать вид конструкции и способы ее соединения и закрепления. Например,

и узел і шарнирно прикреплен к основанию (земле) и т. д. Анализ та­ кой матрицы позволяет выяснить все особенности схемы конструкции, однако он достаточно сложен, потому что матрица будет не симметрич­ ной, с ней трудно производить логические операции. Кроме того, не­ обходимо задавать аналитические выражения для линий, соединяющих заданные точки.

Задание конструкции и анализ ее схемы значительно упрощаются, если принять следующие дополнительные условия:

1.Все точки конструкции с координатами из массива (II. 11) могут соединяться только прямыми линиями.

2.Соединения элементов конструкции, не передающие какое-либо усилие, и опорные закрепления моделируем шарнирно-подвижными связями, причем в месте их прикрепления шарнир перерезает сходя­

щиеся к нему элементы.

3.Во всех точках системы (кроме оговоренных в п. 2) сходящиеся

вних элементы конструкции считаются жестко соединенными, передаю­ щими все виды силовых воздействий.

4.Точки і и /, соединенные прямой линией, обозначаются в матрице (11.12) членом Си = 1. При отсутствии такого соединения ctj ~ 0.

Приняв эти условия, получим схему конструкции, характеризуе­ мую квадратной симметричной матрицей С, состоящей только из еди­ ниц и нулей. С такой матрицей удобно осуществлять логические опе­ рации.

Координаты (П.11) и матрица (11.12) характеризуют как точки жест­ кого соединения элементов конструкции из брусьев, так и места при­ крепления шарнирно-подвижных связей. Чтобы различить эти точки, введем дополнительно одну или две матрицы-строки вида:

(11.13)

Матрица Dx характеризует все точки системы с элементами из брусьев. Если в рассматриваемой точке / имеется жесткое соединение сходящихся прямых элементов или прикрепление шарнира к жест­

лены для конструк­ ций в виде жест­ ких пространственных брусьев, разветвляю­ щихся в различных направлениях и за­ крепленных шарнир­ ными связями. Однако

для комбинированных

конструкций из ферм и брусьев. Так, можно принять, что матрица D1

ферм состоит в том, чтобы и без опорных связей ферма была геометри­ чески неизменяема.

Рассмотрим пример задания схем конструкции по изложенной ме­ тодике.

Пример II. 1. Рассмотрим матрицы смежности С и матрицы строки Dt, Da

И Dз для систем, изображенных на рис. 25.

Матрица смежности системы из двух криволинейных балок, соединенных

Лишние неизвестные статически неопределимой системы могут быть внешними и внутренними. Внешние лишние неизвестные возникают от постановки дополнительных связей с основанием или другими ча­ стями системы, сверх требуемых для геометрической неизменяемости конструкции. Внутренние лишние неизвестные в системе из жестко соединенных брусьев могут возникать только в том случае, если в кон­ струкции есть замкнутые контуры. Поэтому для анализа схемы надо задавать те точки, которые характеризуют места прикрепления шар­ нирных связей и очерчивают замкнутые контуры. Все промежуточные точки перелома на участках конструкции без разветвлений и все сво­ бодные консоли могут быть отброшены. Это значительно сокращает число исходных данных и размеры матриц на этапе анализа схемы сооружения.

Прежде всего необходимо выделить из общей матрицы С новые матрицы, характеризующие отдельные части сооружения. Превратим матрицы-строки Оъ D2 и D 3 в диагональные матрицы /?ід, /)2ц и D Sa, где элементы строки располагаются на главной диагонали, а все остальные значения — нули. Тогда матрицы смежности, характеризу­ ющие часть системы из брусьев Cg, точки прикрепления шарнирно­ подвижных связей Ссв и точки-узлы шарнирных ферм Сф могут быть определены по формулам:

=1 Vо = 1 V 1 = 1 ; оѵо = 0 ).

Если системы не имеют частей в виде ферм, то можно задать только одну матрицу Z>2 и определять Сб и Ссв по формулам:

(II.16)

где Сб — промежуточная матрица.

Добавляя в матрице С'б элементы сн = 1 на главной диагонали во всех строках, где есть хотя бы один элемент с tj Ф 0 (при і Ф /'), полу­ чим матрицу Cg.

После удаления связей часть системы в виде брусьев или ферм мо­ жет распасться на отдельные подсистемы, которые объединялись в одно целое этими связями. Для того чтобы определить характер конструкции в целом, надо найти и проанализировать матрицы смежности каждой такой подсистемы.

Рассматривая порядок выделения матриц подсистем Сбг из матрицы Cg, выполняем операции в такой последовательности:

Знак U означает логическое суммирование (0\/0 = 0; 0 \ / 1 — 1 V 0 ~

=1 ; 1 V I = 1). т. е. все элементы матриц-строк с одинаковыми номе­

рами логически складываются:

Сл1 С(1 V Д'1 V chi V СД V •••’>сл2 = сг'2 V V ch2 V Ci г V И. Т- Д-

3.Вынесем из матрицы Сб строки, соответствующие по номерам элемента слі Ф 0 , прибавляем их к С л и снова выносим строки, соот­ ветствующие новому значению Сл. Так продолжаем до тех пор, пока строка Сл не перестанет изменяться.

4.Превращаем матрицу-строку Сп в диагональную матрицу Сля.

5.Умножая

Совершенно аналогично можно разделить Сф на подсистемы Сфг. Имея матрицы подсистем Сбь надо определить, какие связи из об­ щей матрицы связей Ссв закрепляют каждую подсистему. Матрицу всех связей, присоединенных к подсистеме Сбг, обозначим Сові.

Порядок получения матрицы связей і-й подсистемы следующий:

1 . Логически умножаем каждый элемент матрицы Ссв на соответ­

В этой строке единицы стоят в столбцах с номерами, соответству­ ющими точкам в рассматриваемой подсистеме, к которым прикрепля­ ются связи.

3.Выносим из матрицы Ссв строки str,- с номерами і, /, k, ..., соответствующими номерам столбцов с единицами в строке В іср и ло­ гически суммируем вынесенные строки по формуле (11.18).

4.Превращаем матрицу-строку Сл в диагональную матрицу Слд.

5.Умножая

получаем матрицу С'Сві. Эта матрица может быть равна матрице смеж­ ности связей подсистемы (С'сві = Сові), если к концам этих связей не прикреплены внутренние связи других подсистем или если эти связи не сходятся вне данной подсистемы в одну точку.

Для окончательного получения матрицы смежности Ссві переходим к дальнейшим операциям.

6 . Рассматриваем последовательно строки С'сві. Если номер строки соответствует номеру столбца Віср, в котором стоит единица, то остав­ ляем эту строку без изменений. Если номер строки соответствует но­ меру столбца Віср, в котором стоит ноль, но в строке только две зна­ чащие цифры, то ее также оставляем без изменений. Если же при нуле в столбце В іср число значащих цифр в строке С'сві более двух, то

умножение производится между соответствующими элементами двух строк. Матрица СсЕ, с измененными указанным образом некоторыми строками и является матрицей смежности связей Ссві, прикрепленных к рассматриваемой подсистеме.

Повторяя все расчеты, начиная с п. 1 для других подсистем Сб(, + і), Сб(, + 2) и т - Д-> получаем соответствующие матрицы связей Ссв(,+п, Ссв(і+2 ) и т. д. Аналогично определяем матрицы связей для под­ систем Сфі.

Подсистема, состоящая из жестко соединенных в узлах брусьев, может иметь два вида связей: внешние, соединяющие ее с другими под­ системами или с основанием, и внутренние, соединяющие точки, при­ надлежащие этой подсистеме и являющиеся лишними неизвестными.

Матрица Ссві позволяет выделить из нее матрицу внутренних свя­

зей Сев, и матрицу внешних связей С ^ . Выделение матриц внутрен­ них и внешних связей подсистемы производим в следующем порядке:

1. Умножаем матрицу связей на матрицу-строку (II.22) из преды­ дущих расчетов:

Если 7 = 0, рассматриваемая подсистема внутренне статически оп­ ределима; если же у > 0 , подсистема внутренне статически неопре­ делима и имеет 2 7 лишних векторных или 6 7 обычных неизвестных (вектор-сила и вектор-момент в разрезах контуров).

2. Умножаем матрицу смежности подсистемы на единичную матри­ цу столбец:

В полученной матрице-столбце Ссб все элементы ch ф 2 заменяем нулями, а все ск ф 2 — единицами. Эту новую матрицу-столбец Сб превращаем в диагональную матрицу Сд.

3. Умножая

получаем промежуточную матрицу Сб,-, которая характеризует под­ систему с постепенно отбрасываемыми свободными консолями.

4. Сравниваем логически матрицы Са и Сбг. Если Сб* ~ Со; ф ф 0 , то заменяем Со; матрицей Си и повторяем расчет, начиная с п. 2 . Следовательно, при дальнейших циклах расчета по п. 2 и 3 сравнение Си ~ Си представляет собой сравнение нового значения Си с его предыдущим значением, которое мы обозначим Си (на первом цикле расчета Си = Сод- Если Си ~ Си = 0, то Си представляет собой матрицу смежности подсистемы с отброшенными свободными консоля­ ми, т. е. состоящую только из замкнутых контуров.

5. Если Си ф 0, то разрезаем контуры. Поскольку каждая ли­ ния в системе Си входит в состав какого-либо контура, разрезку мож­ но начинать с любой из них. Для этого в первой же значащей строке Си заменяем нулем первый же значащий (не равный нулю) элемент ctj (при і Ф /). Одновременно заменяем нулем элемент сц. Номера і и / запоминаем, так как они обозначают номера точек по краям разре­ занной стороны.

С новой матрицей Си, в которой исключены два элемента: ctj и сн , производим все операции заново, начиная с п. 2. Так продолжаем до тех пор, пока не получим Си = 0 , что означает: все контуры раз­ резаны и номера точек по краям разрезанных сторон зафиксированы.

6 . Зная все номера і и / точек по краям разрезанных сторон, можно

из матрицы Соі получить матрицу основной системы Си*. Для этого в матрице Сбг заменяем нулями все элементы си и сп (где і и / — пары номеров точек по краям 7 разрезанных сторон). Всего будет заменено

нулями 2у элементов. Полученная матрица и будет С и *. Исключенные стороны имеют определенную длину, что надо учитывать в дальнейших расчетах.

Найдя основные системы Си* для всех подсистем из брусьев, пе­ реходим к анализу вида связей между подсистемами и к определению общих свойств всей системы.