книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

Дифференциальное условие равенства углов закручивания и кру­ тящих усилий с учетом ползучести для каждого г-го участка имеет вид:

откуда

а напряжения в концентрическом участке (см. рис. 49, а) или в части сечения в виде прямоугольника ( см. рис. 49, б) в середине более длин­ ной стороны определятся соответственно

= фкі : фк— отношение конечной характеристики ползучести на кру­ чение рассматриваемого участка к величине фк, относительно которой осуществляется приведение (обычно фк = 1); Gt и І кі — модуль уп­ ругости на сдвиг материала рассматриваемого участка и его момент инерции на кручение, который для замкнутого участка можно вычис­ лять по формулам (1.34) и (1.36); ф( — переменная во времени харак­ теристика ползучести на кручение; М поі — крутящий момент в t-м

слое в начальный момент времени; уп — первая производная по ф( переменного во времени относительного угла закручивания сечения

Суммируя выражения (IV.61,б) по всем слоям, получим

Уравнение (IV.62) аналогично выражениям (IV. 16) и, дифференци­ руя его так же, как выражения (IV. 16), получим одно дифференциаль­ ное уравнение т-й степени относительно угла закручивания уп:

i — n

где C (ß) — то же, что и в формулах (IV.18), но с величинами ß.

т

Так как минимальная величина производной в уравнении (IV.63)

составляет уп, общее решение однородного уравнения (IV.63) будет иметь вид:

Здесь r! -4- rm_x — различные корни характеристического урав­ нения (IV.65).

Все корни уравнения (IV.65) будут различными, потому что при кратных или равных нулю корнях какие-то слои сечения имеют оди­ наковые свойства и их всегда можно объединить в один слой.

В общем случае, когда правая часть дифференциального уравнения (IV.63) переменна во времени, частное решение неоднородного диффе­ ренциального уравнения ищем методом вариации постоянных. Си­ стема линейных алгебраических уравнений, определяющая значения

С, будет:

т — Î . m (m ~ j ) / )

при / = 2, 3, 4, ..., m—I; значения Ct находят по формуле (IV.32). Общее решение неоднородной системы дифференциальных урав­

нений

Постоянные этого решения Сх — Ст _! определяют из системы т — 1 уравнений:

величины УпМп и Мпі в момент времени t — ipt = 0.

Если в сечении действует неизменный во времени крутящий момент Мп, частное решение неоднородного дифференциального уравнения (IV.63) принимаем в виде:

а постоянные Сх -г- Ст-\ этого решения определятся из системы т — 1 уравнений:

т k т — 1 І і —п k

при k — 1, 2,3, ..., m — 1; постоянная Cm определится по формуле (IV.70).

Таким образом, порядок расчета при общем решении задачи будет следующим:

1.По формуле (IV.66) определяем постоянные коэффициенты ctj. Решаем характеристическое уравнение (IV.65) и находим т — 1 кор­ ней этого уравнения.

2.Решаем систему уравнений (IV.67) и, интегрируя по выражению

(IV.32), находим все Сі.

3.Решаем систему уравнений (IV.69) и находим Сх -h Ст- г. По формуле (IV.70) определяем Ст.

4.Подставляя общее решение (IV.68) в формулы (IV.616) —

(ІѴ.бІв), находим усилия и напряжения на каждом участке сечения от кручения с учетом ползучести.

Пример IV.6. Определим формулы для расчета сечения конструкции из двух материалов с разными свойствами.

По формуле (IV .66) имеем

Щ = Gl Іхі Т^2 ІЦ2г а2 ~ Gl ßä 4 ^ 2 /к2 ßlХарактеристическое уравнение (IV .65) имеет один корень

б і 7кі ßä бг 7к2 ßi

Gi /KIT'G2 7K2

учетом ползучести, усадки и других длительных процессов более сло­ жен, так как сопровождается изменением во времени как всех лишних неизвестных, так и напряжений в сечениях конструкции.

Вывод формул для расчета статически неопределимой системы с учетом длительных деформаций весьма сложен даже при применении теории старения. Для произвольной конструкции из бетона и стали или из двух бетонов разных свойств можно получить прибли­ женное решение, а для случая неизменных геометрических харак­ теристик сечений — точное 119]. Но эти решения неприменимы, когда сечения конструкции состоят из произвольного числа совместно ра­ ботающих слоев материалов с разными свойствами и надо переходить на численные методы расчета [19], которые могут осуществляться в сле­ дующем порядке:

1.Разделить рассматриваемый период работы сооружения на до­ статочно большое число отрезков времени.

2.На каждом отрезке времени в основной статически определимой системе найти усилия, напряжения и деформации в каждом сечении конструкции с учетом длительных процессов.

3.По найденным деформациям сечений определить на каждом от­ резке времени перемещения по направлению действия всех лишних неизвестных.

4.Приложить к основной системе конструкции вынужденные пере­ мещения, равные, но обратные по величине перемещениям по направ­ лению лишних неизвестных из п. 3 (условия неразрывности деформа­ ций). К этим перемещениям прибавить другие, известные вынужденные перемещения в конструкции, такие, как искусственное регулирование, осадка опор и т. п.

5.Для каждого отрезка времени по заданным вынужденным пере­ мещениям из п. 4 найти вынужденные деформации в каждом сечении конструкции.

6.По вынужденным деформациям сечения из п. 5 определить уси­

лия и напряжения в сечениях конструкции, с учетом длительных про­ цессов.

7. Суммируя усилия, напряжения и деформации для всех моментов времени в п. 2 и 6 и складывая их между собой, найти окончательное на­ пряженное и деформированное состояние конструкции.

Реализация этого метода расчета возможна только в случае приме­ нения быстродействующих цифровых автоматических машин.

Изложенный метод можно применять в сочетании с упругими рас­ четами как по методу сил, так и по методу перемещений или смешан­ ному методу, поскольку в расчет входят как силовые факторы, так и вынужденные перемещения. Он пригоден и для расчета конструкций, работающих в несколько стадий или имеющих переменные по длине характеристики упругих и длительных деформаций. Действительно, принимая в соответствующих слоях сечения начальные напряжения равными нулю, можно учесть постадийное во времени включение в ра­ боту отдельных частей сечения. Принимая в каждом сечении свои ха­ рактеристики ползучести, усадки и т. д., можно учесть переменность свойств материалов по длине конструкции, а это позволяет учесть

166

и влияние способов монтажа сооружения из отдельных блоков с раз­ ными свойствами.

Таким образом, предлагаемый метод расчета позволяет охватить широкий класс случаев реальной работы сооружений.

Рассмотрим основные выражения, необходимые для расчета кон­ струкции мостов по этому методу.

Пусть будет задан промежуток времени dt. Деформации сечения основной системы с учетом всех факторов за этот промежуток времени определятся дифференцированием по dt выражений (IV.34):

Аналогично деформации кручения незамкнутого сечения будут [см. формулу (IV.68)]

a деформации сечения с p замкнутыми контурами [см. формулы (IV.76)]

р

Перемещения dUt по направлению /.'-го лишнего неизвестного ста­ тически неопределимой системы за момент dt составят

Приращение деформаций можно определить и в векторной форме, подставляя

de den;

(IV.82)

dy .= dyv m + dyw 14- dyn n

в формулы (11.48) — (11.49) и определяя по ним векторы перемещений по направлению лишних неизвестных.

Здесь N iy M vi, M wi и M ni — усилия в рассматриваемом сечении основной системы от единичного усилия, приложенного по направле­ нию действия t-го лишнего неизвестного; L — длина всей конструкции; de, dyv, dyw и dyn — приращения за dt относительной продольной деформации по центру тяжести сечения и относительных угловых де­ формаций, найденные по формулам (IV.78) — (IV.806).

Полученные смещения из условий неразрезности должны быть равны нулю или dUBi; поэтому к системе прикладывают по направле­ нию лишних неизвестных вынужденные смещения (— dUi + 4- dUв;), где dUBi — перемещение за dt по направлению г'-го лиш­ него неизвестного от вынужденных деформаций искусственного регу­ лирования.

Относительные деформации каждого сечения от этих вынужденных смещений определяют по формулам (II.55) —■(II.61) и находят de и dy (de; dyv; dyw; dyn) для каждого сечения за момент dt. Приращения усилий от приращения вынужденных деформаций с учетом длительных процессов определяют по формулам (IV. 13), (IV.61) или (IV.76), сум­ мируя постепенно получаемые приращения для вычисления оконча­ тельных усилий.

§ 38. ВОПРОСЫ МЕХАНИЗАЦИИ РАСЧЕТОВ НА ДЛИТЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Расчеты различных конструкций на длительные деформации свя­ заны с решением одного или системы линейных дифференциальных урав­ нений с постоянными коэффициентами и переменной правой частью. Обычно имеются готовые программы решения таких задач. Само ре­ шение дифференциальных уравнений распадается на ряд стандартных операций:

168