Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

длительных процессов учитываем по соответствующим формулам (см. гл. IV). Однако для возможности этого расчета действующие в се чениях постоянные упругие усилия надо разделить на отдельные уси лия, приложенные к различным материалам, составляющим сечение. Следовательно, для постоянных или длительно действующих нагрузок надо использовать как обычные упругие формулы, так и формулы раз деления общих усилий на составляющие по материалам сечения.

Сечение конструкции в общем случае считаем состоящим из произ вольного числа совместно работающих различных материалов, каждый из которых имеет свои свойства, а геометрические характеристики се чения—приведенными. Если в сечении есть элементы, не участвующие в работе совместно с сечением (например, арматура, не сцепленная с ок ружающим бетоном), то усилия в таком элементе рассматриваем как внешние по отношению к сечению.

§22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

ВОБЫЧНЫХ И ТОНКОСТЕННЫХ НЕЗАМКНУТЫХ СЕЧЕНИЯХ

Нормальные напряжения в любом сечении, подверженном действию нормальной силы и изгибающих моментов, определяем по обычной формуле1 упругого тела (рис. 38, а):

(III.1)

где N, Мѵ и M w — нормальная сила и изгибающие моменты отно сительно главных, центральных осей инерции сечения; F, Іѵ, / ш — площадь и главные центральные моменты инерции сечения; ѵ, w — координаты рассматриваемой точки сечения; £ г — модуль упругости материала в рассматриваемой точке сечения; Е — модуль упругости материала, относительно которого дано приведение геометрических характеристик.

Касательные напряжения, вызываемые действием поперечных сил вдоль главных центральных осей обычного массового сечения, определяем формулами (рис. 38, б):

(III.2)

т = У ХІ -f ХІ,

где Qv, Qw — поперечные силы, действующие вдоль осей ѵ и w\ S°TC,

O TC	«
Sw — статические	моменты отсеченной части сечения относительно

1 Положительные направления изгибающих и крутящих моментов в § 22,

23 и 25 приняты совпадающими и изображенными на рис. 38—42.

Рлс. 38. Виды напряженного состояния в сечениях конструкции

главных центральных осей; bv, bw — ширина сечения в рассматрива емой точке в направлении, параллельном осям ѵ и w; т„, t w, %— ка сательные напряжения в рассматриваемой точке по направлениям осей V и w и полное касательное напряжение в той же точке.

В незамкнутых тонкостенных сечениях, работающих в условиях стесненного кручения, возникают дополнительные нормальные напря жения (рис. 38, в):

о	£	і	(III.3)
	Е ’
где В — бимомент, действующий	в	сечении;	Іа — секториальный
момент инерции сечения; со — секториальная			координата рассматри
ваемой точки.

Окончательные нормальные напряжения в тонкостенном сечении получаются суммированием значений, определяемых по формулам (III.1) и (ІІІ.З).

Касательные напряжения в незамкнутом тонкостенном сечении от действия поперечных сил Qv и Qw направлены вдоль срединной линии сечения (рис. 38, г) независимо от направления поперечных сил. Тогда

полное касательное напряжение вдоль срединной линии сечения со ставит

.	_ 1	іЧ	^ ТС	QwS™
w'	b	\	Iw +	(III.4)
				Iv

где b — толщина сечения в рассматриваемой точке перпендикулярно срединной линии.

Если в сечении действует крутящий момент, то появляются каса тельные напряжения от кручения. В массивном круглом или близком к нему сечении, а также в трубчатом эти касательные напряжения тк можно определять по формуле (рис. 38, д)

т	M n	r Gi_	(III.5)
	'р	G ’

где Мп — крутящий момент в сечении; /р — полярный момент инерции сечения по формулам (ЕЮ) — (1.11); г — полярная координата рассмат риваемой точки; Gj — модуль сдвига материала в рассматриваемой точке сечения; G — модуль сдвига материала, относительно которого дано приведение геометрических характеристик.

Если массивное или тонкостенное незамкнутое сечение составлено из прямоугольников, то касательные напряжения от свободного кру чения на гранях в срединах длинных сторон прямоугольников опре деляются формулой (рис. 38, е)

тК= ^ - Ь ,	(ІП.6)
где Мк0 — момент свободного кручения,	равный при нестесненнном
кручении Мп, b — меньшая из сторон	рассматриваемого прямо

угольника; / к — момент инерции сечения на кручение.

Касательные напряжения от свободного кручения незамкнутого сечения линейно изменяются по толщине сечения и равны нулю на сре динной линии. На гранях сечения они равны выражению (ІП.6), но

имеют	разные знаки.
Если тонкостенное незамкнутое сечение находится в условиях стес
ненного кручения, то возникают		дополнительные касательные на
пряжения (см. рис. 38, е):
	Ѵ	° ТС
	Т(о	(111.7)
		Wo,
где	— изгибно-крутильный момент в сечении; SQTC— статический

секториальный момент отсеченной части; b — толщина в рассматривае мой точке в направлении, перпендикулярном срединной линии сечения.

Касательные напряжения стесненного кручения по выражению (II 1.7) равномерно распределены по толщине b и направлены касатель но к срединной линии сечения в данной точке.

Для получения окончательных касательных напряжений в тонко стенном сечении, подверженном действию поперечных сил и стеснен-

102

Рис. 39. Напряжения в замкнутом сече нии при свободном кручении

ного кручения, надо суммировать напряжения по формулам (III.4), (III. 6) и (III.7).

Усилия N, Мѵ, M w, Qv, Qw, Mn, Мк0 и Ма можно рассматривать как суммарные упругие усилия от всех постоянных и временных на грузок или как усилия от какой-то части этих нагрузок, например только от временных.

§ 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ СВОБОДНОГО КРУЧЕНИЯ

В ТОНКОСТЕННЫХ СЕЧЕНИЯХ С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ

ЗАМКНУТЫМИ КОНТУРАМИ

Касательные напряжения свободного кручения в тонкостенном сечении, имеющем один замкнутый контур (рис. 39), определяем по формуле

2Mn Q

(III.8)

к l Kbs' ' G

где /„ — момент инерции на кручение сечения с одним замкнутым

контуром (см. гл. 1); s' = $

— приведенный периметр срединной

линии замкнутого сечения. Остальные обозначения прежние. Касательные напряжения по выражению (II 1.8) равномерно рас

пределены по толщине сечения b в рассматриваемой точке и направлены касательно к срединной линии. В случае постоянной толщины сечения касательные напряжения составят:

	2Мп Q	Сц	(III .9)
к	i KL	' G

где L — периметр срединной линии. При сечении из одного мате риала они будут постоянными по всему сечению.

Рассмотрим расчет произвольного тонкостенного сечения, имею щего несколько замкнутых контуров. Нормальные напряжения от внецентренного сжатия и изгиба определим по-прежнему по формуле (III.1).

Определим касательные напряжения от действия поперечных сил и крутящего момента при сво бодном кручении (рис. 40).

Суммарный поток касатель ных напряжений в сечении дол жен быть равен этим усилиям. Поперечные силы считаем при ложенными в центре тяжести се чения и направленными вдоль главных, центральных осей се чения. Отдельные участки сече ния могут иметь разные модули упругости на сжатие (растяже ние) и сдвиг (кручение).

Будем рассматривать не касательные напряжения т, а погонные касательные уси лия qih вдоль срединной линии сечения:

qih= %b,

(ШЛО)

где Ъ — толщина сечения в рассматриваемой точке в на правлении, перпендикуляр ном срединной линии.

Разрежем многоконтурное заданное сечение так, чтобы оно превратилось в незамкну тое (см. рис. 40). Тогда ка сательные усилия от попереч ных сил в незамкнутом сече нии составят:

	Яѵ	О 50ТІ
	Яѵ		to
			to
			(III.И)
	Яш
Рис. 40. Напряжения в сечении с несколь	где Iv, I w,		S°TCи S°TCгео
Рис. 40. Напряжения в сечении с несколь	метрические		характеристики
кими замкнутыми контурами при свободном	сечения с разрезами.
кручении	сечения с разрезами.

Для того чтобы напряжен ное состояние сечения с раз резами соответствовало напряженному состоянию реального сечения,

приложим циклические неизвестные касательные усилия q01, q02)...,q0p

в р замкнутых контурах сечения (см. рис. 40).	Эти	касательные
усилия на основании формул (II 1.8) или (II 1.9)	дают	касательные
усилия на любом t-м участке k-ro контура в виде
Яш-ЯokGi		(III.12)

Учитывая, что при жестком контуре сечения все его элементы имеют одинаковый угол закручивания и при обходе любого замкнутого кон тура приращение депланации равно нулю, а сумма всех касательных усилий относительно центра изгиба сечения с разрезами равна моменту внешних сил относительно этой точки, получим следующую систему р + 1 уравнений для определения р неизвестных qoi и неизвестного относительного угла закручивания сечения са'п [27, 59]:

ЯO l ®И 9o2 ^1 2 ~ Ь	• • • “Ь Я о р ^ і р —	© 1	G	Ql a	Qiw;
9 o i s 2 1 + ^ 0 2 S22 +	••• + я Op S2 p =	(i>n ©2 G —		Q 2U— Q 2 IO!
Яоі SP 1~r 9O2SP2 ~f" •••	Ь^ор SPP — wn0pG		Qpc		QpW;
				k
Я о і Ѳіпр + Яоч ® 2пр + • • • + Яор ® Р П Р +			/2= 1G j l кj =

		= -^n + Qu
Srfs	= J	çs(drjdrk) \dr\
Здесь5; , = Г ?	= J	bds2
		bds2

» ds

ти t-го и Æ-го контура; s,-* = у -т-

+ Qw ім-

приведенная длина общей час-

» \dr\ — приведенная длина і-го

замкнутого	контура; Ѳ; = \j>‘r x d r \ — удвоенная площадь, ограни-
	т	Sj
ченная і-м	замкнутым контуром; Ѳгпр = 21 gj[f	r х dr\ — при-
	/=і

веденная секториальная площадь при обходе і-го контура и центре изгиба для незамкнутого сечения; Gj, I Kj — модули сдвига и моменты инерции на кручение свободных консолей сечения (см. гл. 1) как для прямоугольников; VA, WA — координаты центра изгиба (точка А) се чения с разрезами относительно центра тяжести заданного сечения (без разрезов); Мп — крутящий момент внешних сил относительно

центра тяжести заданного сечения;				Qiv = 2 ]	§‘ Яѵ~^у->	Qiw=
2	і	I dr\	известные части	поперечных	сил при	обходе

;=і S]
-го контура; gj = —
Величины		slk, Qi0 и Qiw могут иметь разные знаки в зависимости

от направления действия усилий в контуре. Значения s'a всегда поло жительные. Знак величин s/* зависит от направления потоков qoi qok. Если на данном участке направления потоков противоположны, то slk < 0. Чаще всего эта величина отрицательная. Если направления Яоі и Яок совпадают, то s/* > 0. Знак slk может определяться знаком

скалярного произведения единичных векторов дифференциав — ’

направленных по направлению обхода контуров, т. е. по направлению

потоков касательных усилий qoi и qoh. Момент инерции консульных k

свесов можно представить в виде G 21 g j ^ j = Glкпр- /=і

Решая систему уравнений (III.13), находим неизвестные юп' и qoi, а по последним касательные усилия из условия (III.12) и напряжения по выражению (ШЛО) в каждой точке сечения с учетом замкнутости

контуров. Суммируя усилия qoi с усилиями от поперечных сил, получим окончательные значения касательных усилий и напряжений в заданном сечении от действия поперечных сил и крутящего момента.

В случае определения центра изгиба замкнутого сечения со мно гими контурами в системе (III. 13) следует принять = 0 и Мп = = 0. Тогда она преобразуется к виду:

9оі SH +	.....+	Яор sip — —Qii>;
Vol SP1 +	.....+	(III.14)
		(Jop S P p ---------- Qpv’>
Я01 ©lnp +	.....+ Яор ©pnp = Qv W A ■

Из первых p уравнений находим p значений qoi и, подставляя в по следнее из уравнения (III.14), определяем WA. Аналогично, подстав ляя в правые части первых р уравнений (II 1.14) значения Q!U), a QWÜA


в последнее уравнение, получим значение		V A .	Здесь V A и W A	будут
координатами центра изгиба заданного сечения			(без разрезов)	отно
сительно его центра тяжести. Поперечные		силы при определении
центра изгиба можно принимать: QB =	Qw =		1. В случае действия
только крутящего момента в системе	(III. 13)		Qv — Qw = 0.	Тогда
Яоі s и + ......“Г Яор Slp — ©і G;
QoisPiJr ....... ~l~Qopspp — мя©р G;			(III.15)

Яoi ®іпр H- ...... + Яop ©рпр	GI кпр		AIп,

откуда определяются значения qoi и

Поскольку определение величин qoi связано с решением систем уравнений (III.13) — (III.15), их целесообразнее представить в виде матриц. Тогда, составляя матрицы

	S n	S i 2 .........	S ip
S = S2 I		S2 2 ........	S2 p
		9 .......	Spp
	©1
Ѳ	©2	>
Ѳ		>	(III.16)
			(III.16)
	© P
	Qiv + Qiw
Q =	Q2V+ Q2 W .
Q =			>
	Qpv	Qpw

ѳР пр I >

получим решение системы (III.13) в виде матрицы столбца:
			<7оі
		<7о =	^
или			Яор
или
	Mn+ QvwA + Qw 0а + Ѳ				s ^ Q
<7о	— Q) =			____ пр	S -!0 - S - ' Q ,
<7о	— Q) =	® п р >s_1 Ѳ + / КПр			S -!0 - S - ' Q ,
		® п р >s_1 Ѳ + / КПр			(III.18)
где					(III.18)
где
	M n + Qv WA + QW ѵ а + ѳ пр s 1 Q
	(О п =				^	^
	СѲПр S~1Ѳ -]- G/Knp				^	^
Число	в знаменателе формул (III. 18) и (III. 19) можно рассматри
вать как	момент инерции на	кручение		/ к многоконтурного сечения:
	/ к =	Ѳ п р 5 -	Ѳ	+ / кпр»	(III.20)

s - w

а матрицу-столбец —j— как матрицу величин, обратных моментам сопротивления на кручение (при Qv= Qw= Q = 0):

IF1K

	Ѳ	1
	1 к	W«
		W'PK
Тогда	_	3	(III.21)
Тогда	я°і -	w	(III.21)

Величины, составляющие матрицы (III. 16), зависят от формы задан ного сечения.

Пример III. 1.	Определим напряжения при свободном кручении сечения,
изображенного на рис. 41.
Центр тяжести сечения на оси w отстоит от оси верхней полки на величину
(4а +	ЗЛ) h
щ--
2(4а + 3/г+ 2а{) '
По формулам	(III. 13)	с уче
том направления	действия	каса
тельных усилий (?оі и q02 получим:
2 (a + h)		h
S ,	о — So 1 ------------

,2 ( a - \ - h )

S 2 2 =	7	>
	b

Ѳ ^

——2cth: Gjjjp = 02np 2û/ï.

Рис. 41. Схема к примеру III.1

JM 2 (a + h)		—h
b I —h		Ѳ = 2ак
	2{a-\-h)
Ѳпр = 2ah I 1	1\|;		2al b3
		Q = 0; /„ = ^ —
Матрица, обратная 5, составляет
		2 (a -f/i)	h
4(a + h f —h2		h	2 (a->rh)

Тогда по формулам (III.18) и (III.19) получим:

Мп				2Л4П bah (2a-\-3h)		1
Ѳ	+п		8ba2h2 (2a-f3/i) ,		r '
Ѳ	+п		р		к [4 (a + h)2— h2]	1
			4 (a-j-Zi)2— h2		к [4 (a + h)2— h2]	1
		соп	8ba2 h2 (2a + 3h)		Iк
			G	h)2—h.2	Iк
			4 ( a +	h)2—h.2
Если принять	а1 = / к= 0, то
			Mn	и т ==	Mn
		Qoi — QO2— 4ah			4ahb

§24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ СТЕСНЕННОГО КРУЧЕНИЯ

ВТОНКОСТЕННЫХ СЕЧЕНИЯХ С ЗАМКНУТЫМИ КОНТУРАМИ

Когда сечение испытывает стесненное кручение, в нем возникают дополнительные нормальные и касательные напряжения от действия бимомента и изгибно-крутильного момента (см. § 22). Эпюра депланаций сечения с несколькими замкнутыми контурами пропорциональна

эпюре секториальных площадей со при свободном кручении от единич ного угла закручивания со„ = 1. Потоки касательных усилий в замк нутых контурах qoi при со^ = 1 определяют по формулам (III.16) —

(III. 18). Имея значения этих потоков, находят со по формуле

1	'ZQoi 1dr I	(III.22)
со = со------	'ZQoi 1dr I	(III.22)
G

где 2 <70; — сумма всех потоков	касательных	усилий, действующих
в рассматриваемой точке сечения;	со — величина секториальной площа
ди в рассматриваемой точке для	незамкнутого	сечения с разрезами,
определяемая по формулам (1.43).

По значениям со определяют секториальный момент инерции се чения с замкнутыми контурами, статический момент и нормальные на пряжения стесненного кручения:

/5 =	s «	/	\dr
	/= I		'
Sä =	m	>hs w b l dr		(III.23)
	2			(III.23)
	2
	/,=1
0 =	В со		Ei
		'	F.

Касательные напряжения стесненного кручения можно определять следующим образом. Рассмотрим сечение (см. рис. 40) с разрезанными замкнутыми контурами, считая что касательные напряжения возникают только от действия изгибно-крутильного момента Л4Юпри ы'п = 0. Тогда условия равенства депланаций в местах разрезов запишутся в виде системы уравнений, аналогичной уравнениям (III. 13):

ÇMiSu +	,			S -
ÇMiSu +	+ QMpSip	------ jzr ф ~7 I dr \|,
		1(ù	J	t?g
.......................................................				}	(III.24)
Ям\ S P 1 +	+ Ямр S PP =	м	р	s-
Ям\ S P 1 +	+ Ямр S PP =	~— Jr-	(f)	\dr I,

где qMi — поток касательных усилий в і-и замкнутом контуре сечения от стесненного кручения; Sä — статический бимомент сечения с раз-

резами; g = — отношение модуля сдвига в текущей точке GT к по

стоянному значению G.

Интегралы в правой части уравнений (II 1.24) нужно брать вдоль соответствующих контуров.

Обозначая

и	(III.25)
Фі
ф3	»
Ф =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ