книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

реакций и лишних неизвестных, если система статически неопредели­ мая. Их величину, направление и точки приложения считаем извест­

Рассечем конструкцию в точке і и рассмотрим равновесие одной из отсеченных частей, обозначенной сплошной линией на рис. 27, а. Прежде всего определим, какие внешние силы, опорные реакции и лиш­ ние неизвестные действуют на рассматриваемую часть конструкции.

Способ определения этих усилий зависит от способа задания их местоположения в пространстве или на конструкции. Наиболее целе­ сообразно приложить все усилия и опорные реакции к определенным точкам оси конструкции. Если известна точка / приложения силы Pj

где rj и r t — радиусы-векторы точек / и і, а dr}и d r t — дифференциалы радиусов-векторов линии приложения нагрузки в точке /' и осевой линии в точке і.

При переносе моментов Mj или Mj из точки / в і имеем:

(11.44)

Формулы (11.43) и (11.44) могут быть использованы и для переноса в точки оси усилий Rij. Когда все усилия приложены к оси конструк­ ции и точки или участки приложения этих усилий известны, можно оп­ ределить, какие из усилий действуют на отсеченную часть. Для этого достаточно проверить, принадлежит ли точка оси или участок прило­ жения распределенной нагрузки отрезку оси в отсеченной части.

Определив все силы, действующие на отсеченную часть, найдем внутренние усилия в проведенном сечении. Для этого используем фор­ мулы (11.43) и (И.44), принимая за точку і центр тяжести проведенного сечения, т. е. точку пересечения плоскости сечения с осью конструк­ ции. В общем случае криволинейной оси сооружения получим:

где Рі и Мі — равнодействующие векторы усилий в сечении; / — но­ мера точек приложения сосредоточенных усилий или текущая точка на участке распределенной нагрузки; ki, k2, ki — число сосредоточен­ ных сил, опорных реакций или лишних неизвестных и сосредоточенных моментов, действующих на отсеченную часть; k 3 к k5— число участков распределенной силовой и моментной нагрузки; slj и s2j — координаты начала и конца участка распределенной нагрузки.

Следует отметить, что в формулах (11.45) не надо переносить на­ грузки Rjs Pj, Mj, P, и Mj на ось конструкции, а можно брать их ре­ альные точки приложения. Перенесение на ось необходимо только для выяснения их действия на отсеченную часть.

Если ось конструкции представлена в виде отрезков ломаных ли­ ний, а ее схема задается матрицей смежности, то целесообразно все со­ средоточенные нагрузки считать приложенными в узлах системы. Тогда, зная матрицу отсеченной части системы, можно определить ко­ ординаты всех узлов, принадлежащих этой части. Сравнивая коор­ динаты точек приложения сосредоточенных нагрузок, лишних неиз­ вестных и опорных реакций с координатами узлов отсеченной части,

можно найти действующие на нее усилия. Распределенные нагрузки считаем приложенными вдоль прямолинейных участков оси между уз­ лами системы. Усилия в сечениях таких конструкций определяем по формулам (11.45). Координаты s1;- и s27характеризуют точки по концам прямолинейного участка с распределенной нагрузкой.

Если нагрузки pj и м, постоянны по величине и направлению на участке /, то интегралы формул (11.45) заменяют произведениями ин­ тенсивностей на длину соответствующих участков. При частом рас­ положении узлов на оси распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенными силами, приложенными в узлах.

Векторы равнодействующих внешних усилий на отсеченную часть в точке і позволяют определить все компоненты усилий в сечении, т. е. нормальную N и поперечные Qv и Qw силы, изгибающие Mv, M w и крутящий Мп моменты.

Считая известными направление единичных векторов главных

Если надо определить не векторы усилий в сечении, а их величины, то в формулах (11.46) достаточно взять скалярные произведения век­ торов в круглых скобках, не умножая их на единичные векторы на­ правления осей сечения.

§ 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ СЕЧЕНИЙ КОНСТРУКЦИИ МОСТОВ

Под действием нагрузок конструкции приобретают перемещения. Каждая точка конструкции в пространстве займет после приложения нагрузок новое положение. Это перемещение і-й точки можно обозна­ чить вектором Ut, направленным из первоначального положения точки в ее смещенное положение (рис. 28).

Кроме продольного смещения, конструкция может после деформа­ ции оказаться повернутой в точке і на какой-то угол относительно свое­ го первоначального положения и вокруг произвольно ориентирован­ ной в пространстве оси. Этот поворот обозначим вектором шг, равным по модулю углу поворота (в радианах) и направленным по оси вра­ щения так, что с его вершины поворот наблюдается против часовой стрелки (см. рис. 28, б).

Общие перемещения конструкции в пространстве слагаются из перемещений ее как жесткого целого и перемещений от деформаций в каждом сечении.

с

л /

Рис. 28. Схема перемещения криволинейного бруса в пространстве

Для определения перемещений системы как жесткого целого до­ статочно знать продольное перемещение йг и поворот <ог для какойто одной точки і. Перемещение любой другой /-й точки (см. рис. 28, а) определяется через перемещение точки і по формулам:

(П.47)

Для определения перемещений от деформаций сечений конструк­ ции необходимо знать векторы относительной продольной деформации е и относительной угловой деформации у в каждом сечении конструк­ ции. Вектор е может быть направлен произвольно и характеризовать как продольные деформации сечения, так и его сдвиг по обеим коор­ динатным осям. Однако деформации сдвига оказывают малое влияние на работу сооружения и в дальнейшем их не учитываем, а вектор е считаем направленным по оси нормальной к рассматриваемому се­ чению. Вектор у обозначает суммарный относительный поворот и за­ кручивание сечения (см. рис. 27, в и 28, б), а его положительное направ­ ление относительно направления поворота назначается так же, как у векторов М и ю. Проекция вектора у на главные оси инерции сечения и, w и п дадут соответствующие углы поворота вокруг этих осей и угол закручивания.

Тогда в общем случае криволинейной оси конструкции перемещения в точке / можно определить через перемещения в точке і с учетом де­ формации сечений:

(II.48)

<ÙJ — (ài + ^ у I dr

где г — радиус-вектор текущей точки на оси балки при интегрирова­ нии; st и Sj — координаты начала и конца участка интегрирования между точками і и /.

В случае представления оси конструкции в виде отрезков ломаной линии перемещения каждого последующего узла / можно определить через перемещения предыдущего узла і. Полагая, что на участке между точками і и / нет сосредоточенных нагрузок, получим:

Щ= «г + X (г, —r f) + I г}— Г; | +

(П.49)

где уі и Yj — относительные угловые деформации по концам участка ij, а 8; — постоянная на длине участка ij относительная линейная де­ формация.

Выражения (П.49) позволяют, переходя от узла к узлу вдоль со­ единяющих их отрезков, получить перемещения любой точки конструк­ ции в деформированном состоянии. Однако перемещения самого пер­ вого узла, с которого начинается этот обход, неизвестны. Обозначим их щ и со0. Перемещения и0 и ©„ задают положение деформированной формы конструкции в пространстве, и их нужно определять с учетом условий закрепления. Пусть перемещения по направлению внешних связей системы получились равными uri, а единичные векторы направ­

ления этих связей равны R is.

Вдействительности, перемещение по направлению жесткой связи

соснованием (землей) должно быть равно нулю. Если опорная связь прикреплена к другой части конструкции или ей специально задано перемещение, то реальное перемещение конструкции вдоль этой опор­ ной связи равно этому заданному перемещению. Следовательно, для

каждой внешней связи is системы должно удовлетворяться уравнение

перемещения а 0 и (о0, а и вг — величина заданного смещения по на­ правлению і-й связи. При жесткой связи, прикрепленной к основанию,

Иві = 9.

Составляя шесть уравнений (11.50) для шести опорных связей кон­ струкции и решая эту систему уравнений, получим значения неизве­ стных й0 и ш0. Учитывая эти перемещения при последовательном рас­ чете по формулам (II.49), автоматически получим нулевые или за­ данные перемещения вдоль опорных связей.

За начальную точку с вектором г0 можно принимать любой узел конструкции.

Остается определить значения е й ѵ, входящие в выражения для пе­ ремещений.

Относительные продольные деформации и относительные угловые деформации сечений могут быть вызваны внутренними усилиями в се­ чениях, а также другими видами воздействий, например ползучестью или усадкой материала конструкции. В этом случае их можно опре­ делять по формулам:

N

8; :

EF

(11.51)

где N, Mv, M w и Mn — усилия в сечении, определенные выраже­ ниями (11.46); F, /„, Iю, Іп — площадь, осевые и момент инерции на кручение; Е и G— модули упругости и сдвига; вд и уд — относитель­ ные продольная и угловая деформации сечения, вызванные длитель­ ными процессами ползучести или усадки.

Таким образом, формулы (11.49) — (11.51) позволяют определить перемещения конструкции в пространстве при заданной нагрузке и условиях закрепления.

Пример II.3. Для опреде­ ления перемещений рассмот­ рим схему статически опреде­ лимой конструкции (рис. 29), нагруженной одной сосредото­ ченной силой Р.

Полагаем, что момент инерции относительно гори­ зонтальной оси во всех сече­ ниях одинаков и равен/, а мо­ дуль упругости материала—Е. Эпюра моментов в конструк­ ции от силы Р показана на рисунке. Соответственно отно­ сительные угловые деформа­ ции в узлах системы будут:

вдоль стороны 5—7

0,25 PI

Начнем определять пере­ мещения по формулам (11.49) от точки 5, полагая в ней на­ чальные продольные и угловые смещения равными нулю. Тогда получим:

uxo — йуо —Cûzo= fOj/o == 0;

или

Прибавляя эти значения к определенным ранее перемещениям точек, полу чим окончательные значения перемещений:

РР .

48El *’

РР

Таким образом, перемещения по направлениям жестких опорных связей получились равными нулю. Сторона 4—9 повернулась вокруг оси х и прогнулась вниз. Углы поворота в точках 1 к 9 одинаковы, но имеют разные знаки. Сторона 5—7 прогнулась вниз. Наибольшие повороты в ней на опоре 7. Примерный вид начального и реального деформированного состояния системы показан на рис. 29.

§ 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИИ И ЛИШНИХ НЕИЗВЕСТНЫХ В КОНСТРУКЦИИ МОСТОВ

Пространственная конструкция (рис. 30, а) может быть статически определимой или статически неопределимой. Это зависит от числа связей и замкнутых контуров.

Если конструкция имеет только шесть внешних связей, то она ста­ тически определима и опорные реакции в связях можно найти, решая систему уравнений, аналогичную уравнениям (II.45):

2 ^ + 2 \ P j \ d r j \ -)- ^ R j s - 0 ;