книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

того сечения) порядок задания участков может быть любым, хотя внут­ ри участка координаты должны располагаться последовательно при проходе по срединной линии от узла к узлу, от начала к концу участка. Для вычисления геометрических характеристик при кручении замкну­ того одноконтурного сечения участки должны располагаться после­ довательно один за другим. При этом в выражениях (1.48) начальная точка последующего участка будет повторять конечную точку преды­ дущего. а общие последние координаты совпадать с первыми:

— y 12 ’> Wkl— ® 12 i Vh2— vla\

При вычислении секториальных координат такой порядок распо­ ложения участков обязателен во всех случаях; для незамкнутого се­ чения не будут выполняться лишь последние условия ѵп =f= vhk

и Wn =f= Wkk-

Расположив исходные данные по правилам выражений (1.48) и (1.49), можно производить вычисления и суммирования в расчетных формулах, переходя последовательно от узла к узлу и от участка

к участку.

Такое требование вызывает некоторые трудности для сечений оп­ ределенного типа. Например, двутавровое сечение (рис. 18, а) при рас­ чете геометрических характеристик на изгиб, внецентренное сжатие и кручение можно задать в виде пяти участков: три полки и два участ­ ка стенки. Если же надо определить еще и векториальные геометри­ ческие характеристики, то его надо задать в виде непрерывной ломаной

Рис. 19. Схема зада­ ния сложного сечения из прямоугольников

кнутых контуров (рис. 19, а) неудобно задавать изложенными спо­ собами. Для задания информации о таких сечениях можно предло­ жить общий метод, использующий элементы теории графов [8 , 42, 431.

Пусть произвольное тонкостенное сечение имеет срединные линии, пересекающиеся в различных точках. Порядок нумерации узлов — точек пересечения может быть произвольным. Различные части сече­ ния могут иметь разные упругие свойства. Единственное условие при задании сечений состоит в том, что границы участков с различной уп­ ругостью должны проходить по узлам и участок с одинаковой упру­ гостью не должен иметь подряд два граничных узла (рис. 20). На таких

Величины Cij показывают, соединяется ли вершина і с вершиной j стороной или нет. Если сторона ij существует, сі} ф 0, если такой сто­ роны нет, Сц = 0. Всеси = 1. Так как матрица (1.50) симметричная, то можно задавать только верхнюю (или нижнюю) ее половину в виде треугольной матрицы. Если участки сечения имеют разные толщины, то матрицу смежности можно задавать в виде

где bij — постоянная толщина на участке между і-м и /-м узлом, если они соединены стороной.

Если эти узлы не соединяются стороной, Ьі} = 0. Для некоторых расчетов все значащие цифры (btj Ф 0) в матрице (1.51) заменяют единицами Ьи = 1 .

В некоторых случаях значения Ьц можно задавать с разными зна­ ками. Граф с такой матрицей смежности называют ориентированным. Его могут применять для выбора направления обхода узлов. Однако в дальнейшем рассматриваются только неориентированные графы, когда все Ьц ^ 0. Матрица смежности (1.51) характеризует форму заданного сечения и его толщины.

Номер каждой строки матрицы (1.51) соответствует вершине графа с тем же номером, а номера столбцов со значащими цифрами в этой строке — номерам вершин, соединенных с данной сторонами.

Для выделения в сечении частей с различной упругостью задают диагональные матрицы Dt, имеющие значащие цифры только на глав­

где dPi — элемент на главной диагонали. Если узел с номером р при­ надлежит г-му участку с одинаковыми упругими свойствами (в том числе, если этот узел граничный для і-то участка), то принимают dpi = = Г, если же этот узел не входит в рассматриваемый участок, dpi = 0.

Число диагональных матриц D t равно числу участков с разной упругостью k.

Тогда, произведение матриц

дает матрицу смежности Си в которой остаются только стороны се­ чения с і-ми упругими свойствами (рис. 19, в).

где U — логическая сумма матриц.

Следовательно, имея общую матрицу С и k диагональных матриц D, можно получить информацию о всем сечении и о любой его части с оди­ наковыми упругими свойствами.

Остается задать массив координаты вершин графа-узлов срединных

Если рассматривать массив координат как диагональную матри­ цу R, где каждому Ему элементу на главной диагонали соответствует пара координат ViWt, то произведение

(1.56)

даст матрицы N или N h в каждой строке которых останутся только координаты узлов, связанных с данной вершиной стороной.

Координаты в N u Nt будут увеличены в btj раз.

Однако если для произведения (1.56) все значащие цифры в матри­ цах С и Сі заменить единицами, то координаты узлов не изменятся.

Тогда суммирование в расчетных формулах предыдущих разделов надо производить построчно по матрицам N f и затем, переходя от ЛГ* к N i+1. Каждый элемент на главной диагонали матрицы определяет радиус-вектор Гц вершины і, а значащие цифры в і-й строке — радиу­ сы-векторы гц вершин, соединенных с t-й вершиной сторонами. При суммировании в строке величина r it не меняется.

Таким образом, матрица смежности С, диагональные матрицы D и массивы (1.55) дают полную информацию о сечении и порядке его расчета при произвольном виде сечения и произвольной нумерации уз­ лов перелома срединных линий.

Матрицы (1.51) — (1.56) применимы и для расчета массивных се­ чений, однако здесь они не имеют особых преимуществ перед заданием сечения последовательными координатами узлов перелома его контура по выражениям (1.46).

Поскольку запись матриц (1.51) — (1.52) требует довольно большого числа цифр, можно использовать различные виды упрощенной и сок­ ращенной записи этих матриц.

Рассмотрим пример, поясняющий изложенные способы представ­ ления информации о сечениях.

Пример 1.5. Составим матрицы исходных данных для тонкостенного сечения

.(см. рис. 19, а). Матрица (1.51) смежности вершин будет иметь вид при т = 9:

Системы мостов могут быть как статически определимыми, так и ста­ тически неопределимыми.

Усилия и деформации в мостовых конструкциях под действием на­ грузок определяем обычными методами строительной механики в пред­ положении упругой работы всего сооружения. Конструкции считаем подчиняющимися закону плоских сечений и плоских напряжений. При учете депланаций сечений от закручивания считаем справедливой гипотезу о недеформируемости контура сечения.

Для расчета сложной, пространственной системы желательна ме­ тодика, позволяющая определить схему конструкции, направление и место приложения опорных реакций и лишних неизвестных, вид ос­ новных систем и другие данные непосредственно на вычислительных машинах, так как предварительное задание всех этих значений потре­ бует большого количества исходной информации и анализа системы. Поэтому вначале рассмотрим способы задания исходной информации о конструкции и методику ее анализа, позволяющие получить все дан­ ные о системе для дальнейших расчетов автоматически, а затем способы расчета статически определимых и неопределимых систем в простран­ стве трех измерений.

§10. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ СХЕМЫ МОСТА

Криволинейная пространственная конструкция моста может быть задана аналитическим уравнением линии, проходящей через центры тя­ жести сечений, в пространстве трех измерений. Наиболее удобно пред­ ставить эту линию уравнением радиуса-вектора, выходящего из начала координат до рассматриваемой точки пространственной кривой (рис. 22). Радиус-вектор считаем функцией длины s, отсчитываемой

вдоль криволинейной оси конст­ рукции от какой-либо начальной точки:

Тогда единичный вектор нор­ мали к сечению конструкции в произвольной точке оси опреде­ лится как производная

ной оси конструкции. Однако этих данных недостаточно для оп­ ределения в пространстве трех измерений направления главных осей инерции сечения. Надо задать аналитически направление единичного вектора одной из главных, центральных осей инерции сечений в функ­ ции от длины s, например (см. рис. 8 и 2 2 ):

Уравнения (II. 1) — (П.З) позволяют полностью определить поло­ жение конструкции в пространстве координатных осей х, у, г. Часто уравнение (II.I) удобно задавать в параметрическом виде:

X = *(s);

У = У (s);

г = z(s).

Тогда длина криволинейной оси определяется как

где i, j, k — единичные векторы по направлениям осей х, у , г.

Иногда вместо уравнений (П.З) целесообразнее задать уравнение еще одной пространственной кривой, проходящей через какие-либо точки сечений конструкции с известными координатами в осях v, w или v", w", лежащих в плоскости рассматриваемого сечения (см. гл. I).

Радиус-вектор кривой центров тяжести сечения определяется фор­ мулой (II. 1), а известный радиус-вектор другой кривой в пространст­

Тогда для рассматриваемой точки на кривой (II.I) с координатой s разность векторов гх — г — г* определяет вектор, лежащий в пло­ скости сечения. По условию этот же вектор в координатных осях се­ чения дает известные проекции

Из условий

г*т" — о"; r*l" = w"\ т"п = 0; т'т" = 1; 1"п = 0; Г Г — 1

с учетом того, что

г*п = 0 \ пп — 1 ; да" х Г — п,