книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

Здесь в отличие от аналогичных формул массивного сечения вы­ числяемые геометрические характеристики не векторы, а скаляры.

Дальнейшее определение главных центральных осей и моментов инерции относительно них производится по формулам (1.12) и (1.13).

Пример 1.2. Определим центр тяжести сечения постоянной толщины Ь, ко­

гда его срединная линия очерчена по дуге круга от начала координат на длину s (рис. 11).

Параметрическое уравнение дуги в функции ее длины будет:

и w'ô •= R. Центр тяжести кольца находится в центре окружности.

Новый радиус-вектор срединной линии сечения, выходящий из его центра

Далее, аналогично, можно определить осевые моменты инерции и другие ге­ ометрические характеристики.

§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИИ С КОНТУРОМ В ВИДЕ

ЛОМАНОЙ ЛИНИИ

Многие массивные или тонкостенные сечения конструкций имеют не криволинейные контуры, а ломаные, составленные из отрезков пря­ мых линий. Даже если контур или срединная линия сечения криво­ линейны, их можно с достаточной точностью заменить приближаю­ щейся к кривой ломаной линией. Представление кривых в виде ломаных линий позволяет не задавать кривую аналитическим выражением, но требует определения координат точек перелома прямых отрезков — узлов ломаной линии. Последнее более удобно при вычислении геомет­ рических характеристик на цифровых автоматических машинах.

Будем считать, что массивное сечение задано координатами точек перелома контура сечения, а тонкостенное—координатами точек пере­ лома срединной линии (рис. 12 и 13). Координаты точки перелома— узла ломаной линии в плоскости сечения и в принятых начальных осях ѵ" и w"—определяют радиус-вектор г г, направленный из начала коор-

и /

а приведенного массивного сечения по формулам: k iTij—i

k т - ~ 1

Направление главных центробежных осей и главные осевые момен­ ты инерции определяем по формулам (1.25), (1.26), (1.12) и (1.13).

Рассмотрим тонкостенное сечение со срединной линией в виде отрез­ ков прямых. Толщина сечения b может и в этом случае быть задана в виде функции (1.15). Если эта функция нелинейная, то очертания кон­ туров стенок сечения будут криволинейными. При линейной функции b стенки сечения — прямые линии, а толщина переменна вдоль прямых участков срединной линии. И в том и в другом случае необходимо ин­ тегрирование по формулам (1.17) — (1.21). Если же считать, что на участке между t-м и і + 1-м переломом срединной линии толщина сечения постоянна и равна bh то интегралы превратятся в суммы, а се­ чение будет составлено из вытянутых прямоугольников различной тол­ щины (см. рис. 13). Такое представление тонкостенных сечений удобно и может с достаточной точностью приближаться к любому сечению с переменной толщиной, нужно лишь взять меньшее или большее число точек перелома и отрезков с разной толщиной.

Рассмотрим формулы для сечения с постоянной толщиной на длине между двумя соседними узлами.

Площадь однородного тонкостенного сечения

тать ослабления в сечении; например, отверстия для каналов напря­ гаемой арматуры в железобетоне или заклепочные отверстия в сталь­ ном сечении и т. п. Тогда геометрические характеристики сосредото­ ченных площадей надо вычитать из геометрических характеристик, вычисленных по формулам (1.1) — (1.29). Положение каждой сосре­ доточенной площади Ft определяется радиусом-вектором г г, проведен­ ным из начала координат в ее центр тяжести (рис. 14).

Если каждая из сосредоточенных площадей имеет разный модуль упругости, то геометрические характеристики приведенного сечения из всех р сосредоточенных площадей составят:

и новые значения г ь выходящие из центра тяжести, находим остальные геометрические характеристики сечения:

P

h ' np= ^ { r i l ' f n i Fi\

І— 1

P

§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ, РАБОТАЮЩИХ НА КРУЧЕНИЕ

Конструкции сложных, криволинейных в плане или пространстве мостов работают не только на изгиб или внецентренное сжатие, но и на кручение.

Точное определение напряженного состояния стержней при кру­ чении— задача сложная, решаемая методами теории упругости [1]. Практические расчеты стержней на кручение основаны на тех или иных упрощающих предположениях. При этом для некоторых сечений мож­ но вводить геометрическую величину, характеризующую жесткость сечения при кручении — момент инерции на кручение / к.

Круглые сплошные и кольцевые сечения (рис. 15, а) рассчитывают на кручение, используя величину полярного момента инерции /р, определенного в предыдущих разделах. Сечение в виде вписанных в окружность многоугольников с углами в вершинах более 90° (рис. 15, б) приближенно можно рассчитывать на кручение, тоже используя по­ лярный момент инерции /р; точность расчета будет тем больше, чем больше будет угол в вершине многоугольника. Сечения, составленные из прямоугольников различной длины и толщины (рис. 15, в), можно рассчитывать на кручение, применяя одну геометрическую характе­ ристику / к. В конструкциях мостов такие сечения встречаются чаще всего. Если реальное сечение не состоит из прямоугольников, то его можно заменить ближайшим по форме сечением из прямоугольников и определить величину / к. Чем более вытянутыми будут прямоуголь­ ники, тем точнее будет величина / к.

При большой вытянутости прямоугольников сечение превращается в тонкостенное. Для тонкостенных сечений момент инерции на круче­ ние можно вычислять и при криволинейной срединной линии сечения. Следовательно, тонкостенные сечения с криволинейной срединной линией и переменной толщиной или с ломаной срединной линией и по­ стоянной толщиной между точками перелома могут характеризоваться при работе на кручение одной величиной / к.

Рис. 15. Виды сечений конструкции, имеющие различные характе­ ристики на кручение

Рассмотрим формулы для определения момента инерции на круче­ ние для двух типов тонкостенных сечений:

произвольного, не имеющего ни одного замкнутого контура (сре­ динная линия нигде не замыкается в кольцо);

произвольного, состоящего только из одного замкнутого контура. Момент инерции на кручение тонкостенного сечения с несколькими

замкнутыми контурами найти значительно сложнее (см. гл. III). Если работающие на кручение сечения составлены из материалов

с разной упругостью, то нужно вычислять приведенный момент инер­ ции на кручение по отношению модулей сдвига участков с разными свойствами. Момент инерции на кручение незамкнутого тонкостенного однородного сечения с криволинейной срединной линией и переменной

а неоднородного сечения с участками разной упругости по формуле

где s — длина всей срединной линии сечения; Sj — длина срединной линии /-го участка с одинаковыми упругими свойствами.

Моменты инерции однородного и приведенного тонкостенного се­ чения с одним замкнутым контуром [28, 68] и криволинейной средин­ ной линией (рис. 16,чг) будут:

_ 4Q2 _ _ ( f r X d r ) 2 .

Здесь Q — площадь, охватываемая контуром срединной линии се­ чения.

Начало координат для задания радиусов-векторов срединной ли­ нии г при расчете на кручение может быть произвольным.