Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Интегрируя первое, второе и четвертое из выражений (IV. 13), получим для любого і-го участка:

	о
М	^ М ^ е - ^ + Е , ! ^ - « ^	$ yvea^ d t f t-,	• (IV. 15)
		о
• _	_	*t
Mwi^ M woie - ^ t + E i I wie - ai ^		$ у ^ ф'Лрг.

Подставляя выражения изгибающих моментов из формул (IV.15) в формулы (III. 34), получим значения М ві и M wi. Суммируя значения N u М ѵі и M wi по формулам равновесия (III.28), получим:

# = ' 2	Note-a^t+ 2		E,Fte	5 (; r ê,i) еа*ф' rfqy,
І= 1		1=1		о
м и-		m	+ MBoJ + ft«,«Mwoi) è~a‘ +
м и-		2 (Л^оі	+ MBoJ + ft«,«Mwoi) è~a‘ +
		i= 1	ф£
			ф£
+	2	EiFt dwié - W \ (ег- е уі)е“; ф^ ф ( +
	<=і		о

	«			/	г'.		<	•	\
	«			/	г'.		ФГ	•	\
	+ .2	£ ге-пгф«(/„г $ѵваі ф<гі<р4+								(IV.16)
	+ .2	Ete		Ф<{/у, J) 7е"‘Ф*^Фг+^шг Iwî$ уше“гФгіф() ;						(IV.16)
	і= і			V	е		ö
	Mw =		т
	Mw =		2	(■'Ѵоі^сг + '^юоі+^ог^оог)^				“<ф',+
			г=1		ф,
					ф,
		2			е-а'ф^J (ег- е уг) ^		ф^ Фі+
		г= 1
					фг		ч>і
+	2 ^ \| в	а*Ф‘( / н,»			5 ÿu,eai 9td<ft + kviI vt		J	е“г 9tdq>n .
	і= 1
	В формулах			(IV.15) и (IV. 16) значения Noi, М ѵоі и M wol						— уси
лия на і-ш участке					сечения в начальный			момент	времени	t =	0;
Фі	= 0.
	Умножая		каждое из выражений			(IV. 16) последовательно на е0і%
е“2фг, ...,		е“тФ(,		и дифференцируя		после	каждого		умножения,		по-

130

лучим, например, для первой формулы (IV. 16) после &-го дифферен

цирования
	„	*	Г(А+ 1—/)	(А+1-/),		I	(—ссг)'1-	' ~ п
	Ü E i F i	2	[ ег	— в , . ]		2	(—ссг)'1-	1 С (а) +
	/ = I	/ = !				/7=1п	I	k
+ 2	°гФ( п (а„—а,)+				^E,Fte“гФ‘ П (ап—аг)$(ёг —
1=—	1	/1 = 1			г= 1		п = 1	о
					к	(к-п і ■		(IV.17)
			-еуі)еаіф*d(p(= 2			W С (а),		(IV.17)
					/= о
/ —	/г				k значений аь а 2, ..........afe по / — п
где С	(а) — число сочетаний из				k значений аь а 2, ..........afe по / — п
k

элементов. Эти сочетания рассматриваются как суммы произведений:

O	f	о	ч
С (а) =	1; (в том числе С (а)		1 1;
k
1
С (а) = аі + а 2 + а3+		... + a ft;
k
2
С(а) = а1а 2 + а 1а 3+		... + a xa fe"Ь ••• + ah-i ak'		(IV.18)
С (а) ~	а х а2 а 3 -)- а х а 2 а 4		ah-2 ak-l ah'i
C ( a ) =	a 1a 2 ... a h,			)
k				)

причем число членов суммы каждого сочетания равно числу этих со четаний:

С =

т\

ті! (т— г)!

П (ап —а ;)—произведение выражений (ап—а г); л= 1

П = а 1 — а г;

п = 1

	П = ( а і —а ;)(а 2 —а г);	(IV.19)
	П= 1	(IV.19)
	П= 1

П= ( а 4 —а г)(а 2 —а г)(а3 —а,) ... (ah— а,).

п= 1

Продифференцировав выражения (IV. 16) т раз, убедимся, что вто рое и третье слагаемые в уравнениях типа (IV. 17) исчезнут, так как в

		т					■ т
произведении П			(ап —’осг) для	каждого члена			суммы 2	°ДИН	из со~
множителей обязательно будет равен нулю (аг							—■а г =	0). Тогда вы
ражения	(IV. 16)		превратятся	в	линейные дифференциальные				урав
нения т-й степени с постоянными коэффициентами:
™	"	r(m + 1 -/■) ( т + 1 - / ) ,			I	, ' ^ П ,
	2	[	ег — 8 ,	J 2		( - а , ) " " 1 С (а) =
г = 1	/ =	1			л = 1		m

т(т — У) і

=2 ІѴ С (а);

			1	= 0		Lm
”	22,	Г(т + 1 —/)		-	( m + 1 —У+		1	(-а,)"“1 С (а) +
і = 1	2	I	ег	-	еуг	J	2	(-а,)"“1 С (а) +
і = 1	/ = 1					л =		1		m
			г ( .
+ 2	Е і	2	Ы в і		Y B	~"Ь &іѵі		I w i	Y IB J	X
1 = 1		У=1	y—л				( m — /')			(IV.20)
y			y—л			m	( m — /')		У	(IV.20)
X 2	(—1аг)п_І			С	(а)= 2			М ѵ С (а);

	л = 1
m	m		( m + i _ y )
^ E tFt dvl 2			I	ег
г=і	у=і
m			m	r
-			-	r
2		2.
î = l	У= 1
	1

m	У= 0	m
( m + 1 - / ) ,	У	(—а;)"-1 С (а) +
— еѵг	J 2	(—а;)"-1 С (а) +
	n= 1
( m + 1 — У)		(m + 1 — y )I
yw ~\~kvI ITJi YB JX
i — n	m	(m — y) У

X 2	(-« i)n- ‘ C (a)=	2	С (a).
л = 1	m	y= 0	m

В системе дифференциальных уравнений (IV.20) неизвестные ег, YD и уш могут быть представлены через продольные относительные де формации любых трех точек сечения по формулам (III.30) и (IV. 13). Примем, что Ej = 8Х; ек = е2 и ег = е3. В этом случае система (IV.20) превратится в систему уравнений вида:

2 2 Г	( m + 1 — у)	( m + 1 - )	( m + 1 — уь
2 \-а Ц	е 1	+ a 2j е 2 +	a 3j е 3 J = Ф і \
У= 1

2 2

	8х	+ Ь2j	е2	+	b3j	83	J = Ф2‘,	(IV.21)
г ( m + 1 — У)		( m + 1 — У)			( m + 1 — ; Ь
1							J = ФЯ,
г	( m + 1 — У) m + 1 — У)				( m + 1 — у ь
1 ІСу	е 1	+ ^2У	е 2	+	c3jf	ез

где значения постоянных				коэффициентов					при неизвестных опреде
лятся выражениями:
	т				i				j - n	(a);
аи—2			EtFtАа2				(— ajV1- 1 С			(a);
	i = 1			n =			1		m
	m				i				j — n
a2l=	2	1	EiFt Ai2 2				(—“ гГ-1		C	(a);
asi =	i =	1		n =			1		m
	m				j				j - n
			EtFAi32				(— аг)'1- 1 C			(a);
	i — 1			n =			I		m
	m		/
	i =	i	'						Л
+ ^		/ , . 1 ^ = ^ )					2	(-a ,)« -1 Cn(a);
	2 £ і ( м » М					и +		/ рі^ = ^ - +
	i =	i	V						л
+kwiIwl^zhû:\2								(-a ,)" -1 c"(a);
			Л			J n =		1		m
	m							A	A		(IV .22)
h;-= ^Ei(FidwiAi,+lJ^~^+											(IV .22)
	i =	i	\						л
+			Л			/	2	( - а 4)в-		‘ c" (a);
			Л			/	rc=	1		m
	m							A	A
Cu=2			Ei l F i dviAli +Iwi-^ d^..+
	i =	i	V						л
+							2	(-a ,)" -1 C"(a);
Саі = ЖEi [Fidvi4г + Iwi AW1~AW1+
+kviIvi^î=^) 2								(-a ,)» -« C"(a);
Csj-	m		Л	/		n=: 1				m
	m							а	а
	.2		Ei (FtdBiA3i+Iw- ^ d™+
+	fePt/ Pt d*27			^	)		2			m
			Л	/	/1= 1					m

Переменные во времени правые части уравнений (IV.21), включающие в себя известные величины внешних усилий в сечении * усадки, имеют вид:

5 В Гибшман M. Е.

m —j ) i

tn(

(

Ф1='%NC(«)+ 2

eyi

( — «гГ-1

(a);

( m — j)

(

ф 2 =

C ( a ) +

E i F i d n t

Еуг

= l

j — l

(IV.23)

(— ^i)n~ l C (a);

(

ф3 =

m ( m —j) j

E t Ft dBi

;

Мц, C (a )+

еуг

X 2

(— “ г)"-1 C (a).

n =

Системы линейных дифференциальных уравнений типа (ІѴ.21) могут быть решены как в замкнутой форме [7], так и численными ме тодами с применением цифровых или аналоговых счетных машин.

Имея законы изменения во времени деформаций ех, е2 и е3 с учетом всех длительных процессов, по формулам (IV. 13) находят уѵ, y w и е,- для каждого і'- г о участка. Далее по формулам (IV. 15) определяют N u

М ѵі и M wi, а по формуле (II 1.36) — напряжения на каждом участке сечения.

Пример IV.1. Рассмотрим в общем виде пример составления дифференциаль ных уравнений для случая конструкции из трех бетонов с разными свойствами при постоянных усилиях в сечении.

По формулам (III.30) получим:

A—dwl(dv3—dvz)~!tdW2(dvi—dci)Ardw3 (dv2—dpi);

^ 11= [dpi (dpp2—djp3)^pdp2 (dpуз — dwl)-^dv3(dwi—dpp2)] : A; ^ 22= [dp2 (dpp3 —dppj)^p dpi (dpp2—dw3)-^rdv3(dwi—dpp2)] : A; A3=[dp3 (dppi'—dpp2)+ dpi (dW2—dw3)^-dV2(dws—dlci)] : A;

A12— A21 = Ai3= ASi = Л2з = A32 ~ 0.

Нетрудно заметить, что для трех		бетонов
	Ли = А22 =		Азз= 1.
В формулах (IV. 22) [получим:з2
2	(— «г)'1-1		С (а)=1;
п= i			з
2	2 — п	(a) = «i + a2-fа3 —ац
2 ( —а і)п~ 1 С
п = 1	3

зз — п

2	(— а;)”-1 С (a) = ai a2-f аіа3 + а2а3 —(«і + аг-ф «з) «г + «г»
n= i	з

а коэффициенты уравнений будут:
0ii = £j F1A11,			ai2 = £iFiAn (а2 -фа3) ;				аіз — Ei Fi Ап			a3;
сі2і = Е2 F2 A22',			CI22 — E2 F2 A22 (аі-фа3);				а2з ~-Ez F2 A22 a i a3;
азі = £3 E3 A33;			аз2 — Ks ^з A33 (а іФ а г );				о33 =	Яз F3 Л33 a i а2!
	^11 = ^1 К1 Ап rfu)l +			(Ei f vi "фКг Iv2 + E3 fv3)				;		-Ф
								A
	(EiftU>1 ^lül						du)2 — dw3
	(EiftU>1 ^lül			ш2 ^U)2 + Я 3k w 3 I шз)
bi2 = Ei F iA ndun (a2 + a3) + [Еі/ві(а2 -\|^а3)-ф£2 /у2 (а іф a3) -Ф
'¥ E 3Iv3 (ai4^ a2)]			,	+	[ £ i kwi I-wi	(ягФаз) -ф^г^ш			2 ^u>2 ( а і ф а 3)-ф
'¥ E 3Iv3 (ai4^ a2)]			,	+	[ £ i kwi I-wi	ф	3 -		2 ^u>2 ( а і ф а 3)-ф
		Е3 kw31w3 (аі-фа2)]				Au>2— dw3
біз = £ 1Р1Л11 £Іші ®2 а 3-ф ^ і/у і а 2 а 34^£2 ^г>2а і а 3Ф Е 3 /и3 а і а 2) dys ^»2 •ф
■Ф(£і&и>і /ц,і а 2 аз -ф£ 2 feu>2 1w2 а і а 3+						£ 3 fety3 /ц,3 a i а 2)			^да2__dW3
■Ф(£і&и>і /ц,і а 2 аз -ф£ 2 feu>2 1w2 а і а 3+						£ 3 fety3 /ц,3 a i а 2)
Аналогично получим остальные коэффициенты.											(IV.23)
По формулам		(IV .23)	и (IV. 18) определим правые части уравнений								(IV.23)
при постоянных внешних усилиях в виде:
					Фі = а х аг а SN;
					Ф2= а і а 2 аз Мѵ;
				Ф3 = аі а2 а3 Mw.
Система уравнений (IV .21) примет вид:
(3)		.	(3)		..	.	(3)			а 33 е 3 =
а ц бі - ф я щ ßi -ф Яіз в і - ф « 2 i 8 г Ф а 2 2 8 2 ф в 2з 8 2 ф							а 3і 8 3 ф я 3 2		8 3 ф	а 33 е 3 =	Ф і;
(3)	..	.	(3)			.	(3)
Ьц 8іф	&12 Біф6і3Ёіф62і 62 ф &22е2Ф &23е2Ф^ЗІ е3 Ф ^32 Б3 Ф^ЗЗ Е3 = Ф2І
(3)	..	.	(3)		..	.	(3)
с1і 8іф	Сі28іф С із		ЁіфС2і Ё2фС22 Ё2фС2з82ф С3і ё3ф с з2 83фС33 Ё3= Ф3.

Эту систему трех линейных дифференциальных уравнений с тремя неизвест ными, постоянными коэффициентами и постоянными правыми частями нетрудно решить.

Пример IV.2. Рассмотрим в общем виде пример составления дифференциаль ных уравнений для случая четырех участков с разными свойствами в сечении конструкции.

Вначале по формулам (III.30) найдем значения:

A = dwi (dv3—dv2) -фс!и)2 {dvi— dv3) фгі^з (dv2—dDi);

А ц =	[dyi ( d w 2 — d w3) ф d C 2		(du>3	du)i) -ф йуз ( d w i		d W2)] • A;
A41 = [dVi (dw2— dwe) Ф ^Î)2 (^u)3 —dwi) Ф dv3 (dw4						^ша)] : A;
A2 2 —	v2 (dw3 — dwi ) (		w3	dw3) + dv3 (dwi		^102)] : A,
A42 —	[dv4 (diy3—du>i) -Ф dvi(dw4			сіціз) + rfi>3 (^UJI		^104)] • A;
A33 — [dy3 (dwi —		2) Ф dv1	(dW2	^юз) 4* dv2 (du, 3		dua)] : A,
A43 =	[dy4 (du;i—dw2) -ф dBi (du)2			^104) Ф	(^104	du,i)] • A,
	A2i =	A3i = Ai3 = A 32 = А із = A 23 = 0 .

Как и для случая трех бетонов (см. пример IV. 1),

Ац = А22= А33= 1.

В значения постоянных коэффициентов по формулам (IV.22) входят выраже-

/, / - п

ния 2 (— «г)"		С (а),		которые раскрываются формулами (IV. 18) в виде:
п— 1		4
^	(— а г)п _ І		С	( а ) = 1;
п =	I		4
2		1	2— п		а з 4-с&4— а г ;
У I	( а і ) п	1	С	(а) = а і + ®2 +	а з 4-с&4— а г ;
п =	1		4
3			3 —л
		1 С		(а) = а 1 а 2+ “ і « з ф а і «4 + “ 2«з + ®2 а 4+ «з « 4 —
f t =	1		4
				— (аі + а2 + а3 + а4) «г г а?;
4		4 — /г
^	( — “ О" -	1С (а) = «х а 2 a 3- f			а 2 а 4-ф-ах а 3а 4-\|-а 2а 3а 4—
n —	I		4

— ( а 4а 2+ а 4а 3+ « і а 4+ а 2 а 3+ а 2а 4ф а 3а 4) аг + (а 4- f а 2+ а 3-ф- а 4) а? — а? .

Тогда постоянные коэффициенты по формулам (IV .22) составят:

а 11— Ді F \ А ц - ^ Е д

^4^41*

û-l2= ^ 'l ^ 'l ^ l l ( t^2‘f:'^ 3 _b a 4)4ii

'Ь ^4 ^4 ^41 (a l "h

&з)і

^13 —^1 F 1 ^11 (&2 «3

OC4—

-ф»

^ - £ 4 F t A 41 ( a 4 a 2 + a 4 а 3 ф а 2 a 3 — а | ) ;

a 14 = £ 4 f 4 Л п а 2 а 3 а 4 - f

+ £4 А4 Л41а1а2а3.

Аналогично получим выражения

для

a2j

и a3j. Далее:

г’

/ n

^из

dV2 ,

d[c2

dwa

“и —E L I Fi dwlAn -^Ів1

Iwi

, г*

I ,

dV3

dvг ,

dw2— dw3

+ A2 I /B2 ----

д-----Ь«ш2 /ц)2----- “----

, I-

г г

^ѵз

dvг

dW2 — dw3

-ф-

+ E3

I /„3----------

-?kw3Iw3--------------

n J

, -Г

^03

dv2 ,

du,2— ^шз

r 4 “ li)4 ^ 4 1 "T" * V i

~ T

«104 ‘ Ш4 ‘

ftl2 =

£ l

(

X ( a 2 - f a 3+

a 4) + £ 2 ( / 0г ^ РЗ

. ^ 2

-&kw2 I w2

■du’2

■rfu)3

(ax + a 3+

a 4) - f

T-

dv2

^U>2

dW3

\ t

T ^ 3

M l ) 3

' W ' k w Z * W 3

j ( ^ 1 * ^ 0 ^ 2 ' Ф ‘ а 4 ) " Ф '

+ £ 4

( ^ ^ 4 ^ 4 1 - ^ /,4 j 2 £=

jgg-4-feu,4 /u>4

dw2~ dws )

(ax +

a 2 + a ,).

To же

аналогично получим выражения для b13,

b2j. b3j,

с1у-, c2j

и с3}.

Правые части уравнении (IV.21), определяемые формулами (IV.23), находим

с учетом того, что выражения С(а) по формулам (IV. 18) имеют вид:

О I 2

С («) = 1 ;	С ( а ) = &іфи2 Ф а зФ а 4!	С (а) = а 4 а 2 ф а 4 азфах а 4ф
4	4	4

	3
•Фа 2 ссз+ «2 0С4 +	СС3 а 4; С (а) = а 4 а 2 а3 ф а 4 а 2 а 4 ф а 4 а 3 а 4ф
	4
	4
+	а 2 а 3 а 4; С (а) = а 4 а 2 а 3 а 4.
	4

Тогда

(4)(3)

Ф і= +	V (ахф а 2 ф а		3+ а 4)ф А (а 4 а 2 ф а 4 а 3 ф а 4 а 4ф а 2 а 3 ф
4 - а 2 a 4f	а 3 а 4) ф N (а 4		а 2 a 3+	a 4 а 2а 4+ а 4а 3а 4+ а 2 а 3 а 4)ф
	4	(4)	4	(3)
Ф ІѴаіа2а 3а 4ф 2		-Fj eyi ■+• 2 J		T; 8yi (а і Ф а 2Ф oc3ф а 4— а /)ф
	і = 1		і = 1

ФА; 8у; [ах а2 -(- ах а3 ф аха4 -|- а2а3 фа2а4 ф а3 а4 —

/= 1

— (ах -^а2ф а 3ф а 4) а ; ф а ? ] +			2	EiFi гіі Іа і а г а 3фах'а2 а 4 ф а 4 а 3 а 4ф
			і = 1
ф а г а 3 а 4 — (а4 а 2ф а 4			а 3ф а 4 а 4ф а 2 а 3ф а 2 а 4ф а 3 а 4) а г-ф
		Ф (аі-ф-а2 +		а 3 +	а 4) а? — а?].
Аналогично получаем выражения для					Ф2 и Ф3. В развернутой форме первое
из уравнений (IV .21)	запишется:
(4)	(3)	..		.	(4)	(3)
а11 81 Ф а12 8і ф а13 еі ф а14 8іФ					а21 8гФ а22 82Фа23 8гФ

(4)(3)

Ф а24е2 + а31 езФ а32 8 з Ф я З З 8зФ а34 ®3 = ^1-

Такую же форму имеют и остальные два уравнения.

§ 31. МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ РАСЧЕТА

КОМБИНИРОВАННЫХ СЕЧЕНИИ

В общем случае решение системы уравнений (IV.21) представляется как сумма общего решения однородной системы уравнений с правыми частями Фх = Ф2 = Ф3 = 0 и частного решения неоднородной си стемы уравнений.

Однородная система уравнений (IV.21) имеет наименьшую произ водную е и заменой переменных вида уг = ex; у2 = е2 и у 3 = е3 мо-

137

жет быть сведена к однородной системе дифференциальных уравнений т — 1-го порядка:

т	( т—і)			( т - j )			( m - i ) ~
2 а ц	У 1 + а гі Уз				+ а з і		Уз	= 0
/ = 1
т	(■т - і			(т—і)			(m —i ) ~
2 Ь ц	У і	+	t>2j	Уз	+	b 3j	Уз	=	0
І = 1
т	(т- j )			( т - і )			( m— i)
2 с и	У і	+	C%j	Уз	+	C3j	Уз	=	0
/=, 1

Эта система имеет решение в виде:

У2= D21eriЬ+D2ter4+ ... +D2iSm-3)er«-»'rf,
і =	£ >	і і +	£>і е "	ф* +	■■• +	£ > к з т - з , е г г п ^ г
У з =	£>3і	е Гі фі +	D 32 Г *	+	. . . +	D 3(3m_ 3) е г * » - * %

(IV.24)

(IV.25)

где гъ r2, ..., r 3m_3 — различные корни					характеристического урав
нения 3(т — 1) степени, получаемого из определителя:
2	ац гт- і	2	a2j rm~i	2	a3j r
		/=i		/=i
	bu rm- i		b2j rm—i	m	b3j rm~î	: 0.	(IV.26)
2	bu rm- i	2	b2j rm—i	2	b3j rm~î	: 0.	(IV.26)
/=i		/=1		/= 1
m		m		m
2 CUrm~l 2 C2jrm~i 2 C8Km- /
/=1		J=1		/=1

Величины Dik — постоянные. Соотношения между ними опреде ляют из 3 (т — 1) уравнений вида:

£>ife 2	aijrk	1 -	А *	2		m — I
£>ife 2	aijrk	1 -	А *	2	л	a2j rk
/ = :					л
m						^ ^ * “ ,
Dlft2	^ r r	' +	Da	2		^ ^ * “ ,
/=1				1=1

Dzk 2 a3jr t ~ ! = 0-

/=i	(IV.27)
	(IV.27)
+ O № 2 ^ Æ - / = O
/=1

при &= 1, 2, 3, ...... 3 m — 3.

Поскольку система алгебраических линейных уравнений (IV.27) однородная, необходимо при каждом k задавать произвольно одну из постоянных D, например Dlk = Ch, выражая две остальные постоянные D2h и D 3h через Ch. Тогда, решив 3 (т — 1) раз уравнения (IV.27), получим значения всех постоянных решения (IV.25), выраженные че рез 3 (т — 1) произвольных постоянных Ck.

Постоянные Ck определяем из начальных условий задачи. Следует отметить, что вместо принятых двух уравнений (IV.27) можно принять любую комбинацию двух уравнений, выбранную из трех уравнений (IV.24).

Решения системы уравнений (IV.25), представленные через посто янные Ck, примут вид:

y1 = C1e'*vt + ... + Csm_3 г*т-ъ Ь-

У 2 =

Фг + ••• + ' Ф г і з т - З ) С 3т~ 3 в г 3т~ 3 ф6

(IV.28)

Уз —^ з і е Гі фг + ... + 'Фзот-З) С3т- з / 3m- 3<P(-

Здесь

	т		\	/ т		' m	\	(IV.29)
S ь „ ^ - ‘	т		\	/ т	«2н Г '	' m	\
S ь „ ^ - ‘	S	-	U	2	«2н Г '	, ? , ‘u	, r 7
І=1	І=1		/	\/=!		, ? , ‘u	, r 7
tysh			гт —		a rm — I	r~m	\
	° 3j		гт —		a rm — I
	° 3j	r k			a 3j r k

Окончательное решение системы однородных дифференциальных уравнений (IV.21) получаем, интегрируя переменные у1г уг и у 3:

	1 —	3т—3
г	1 —	і=1	(Сі:гі)еГі<Рі+Сзт-2’
г		2
г		3m—3		(IV. 30)
г	2 — /= 1		{Ci Ф : Гг) еГі фг + Сзт- Ï	(IV. 30)
		2	22
		3m—3
е3 — 2			{Ci Фзг : г() е С ^ + с 3т.
		г=1

Здесь добавились три произвольные постоянные С3т_2, С3пг_г и С3т По физическому смыслу задачи все корни характеристического урав нения (IV.26) должны быть действительные и не кратные. Появление кратных корней возможно, если некоторые участки сечения имеют оди наковые упругие, пластические и геометрические характеристики, но

в этом случае такие участки можно объединить в один общий.

Если некоторые участки сечения не имеют ползучести, т. е. а г = = 0, то в характеристическом уравнении (IV.26) возможно появление одного или нескольких нулевых корней, что свидетельствует о необ ходимости понижения порядка дифференциальных уравнений. Однако практически всегда можно задать ползучесть этих участков очень не большой, чтобы сохранить принятую общую форму решения, тем бо лее что даже металлы обладают небольшой ползучестью. Решение за дачи с несколькими нулевыми корнями аналогично приведенному.

Определим теперь частное решение неоднородной системы урав нений (IV.21) с переменными правыми частями. В общем случае это решение можно определить методом вариации постоянных общего ре

шения (IV.30) однородной системы. Считая величины С, = Ct, где

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ