книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

Вид связей между подсистемами анализируем в следующем порядке: 1. Суммируем логически логические произведения матриц внешних

связей всех k подсистем:

Формула (II.30) означает, что вначале логически умножаем і-ю матрицу внешних связей на матрицы внешних связей всех остальных подсистем, так как это делается в формуле (1 1 .2 1 ), а затем все эти мат­ рицы логически суммируем. В результате получаем матрицу смежности

связей I-и подсистемы с другими подсистемами Ссві• 2. Сравниваем логически

и, добавляя в Ссві элементы сп = 1 на главных диагоналях в нену­ левых строках, получим матрицу Ссві связей і-й подсистемы с основа­ нием (землей). Число опорных связей с основанием п°ы определяем по формуле (11.26), заменяя Сев) на С°в;.

3. Если п°в» = 6 , то считаем, что все эти связи являются опорными для подсистемы, т. е. в них возникают опорные реакции. Если п°ві >

>6 , то связи сверх шести (п°в; = п°ві — 6 ) являются лишними не­

известными в подсистеме. Если п ° в і < 6 , то необходимо добавить опорные связи в данной подсистеме за счет связей с другими подсисте­

мами из матрицы С с ы - Для этого в матрице С сві любые пары значений си и ед (при і Ф /), не равные нулю, и соответствующие Сц и Сц перено-

евь а в Ссві и в Ссві и во всех остальных Ссв;- (при / Ф і) заменяем нулями сі;- и сп (а также си и са, если в строке не оста­ лось других значащих цифр). Опорные реакции в таких связях будут действовать на другие подсистемы, к которым прикреплены эти связи, как известные сосредоточенные силы, а не как лишние неизвестные.

4. Производя операции по пунктам 1—3 для всех остальных подси­ стем, получим новые матрицы всех опорных реакций Ссві и новые матри­ цы внешних связей Сс™-. ЕІз C"îfi исключены связи, служащие опорны­

ми для подсистем, и перенесены в С с в і- Следовательно, все оставшиеся связи между подсистемами — лишние неизвестные. Чтобы определить их общее количество, вначале производим вычисления по формуле

из этих матриц число связей по формуле (11.26), получим число лиш­

них неизвестных в каждой подсистеме Пев/. Таким образом, в каждой подсистеме имеем:

п°ві = 6 — число опорных связей с матрицей Ссві (номера точек концов опорных связей, прикрепленных к другим подсистемам, зафик­ сированы);

системы, решая два векторных уравнения:

которые соответствуют шести обычным уравнениям равновесия. Если определитель системы (11.37) равен нулю, то система связей

мгновенно геометрически изменяемая и надо изменить направление хотя бы одной какой-либо связи. Если он не равен нулю, система опор­ ных связей геометрически неизменяемая.

Радиус-вектор точки разреза контура можно определить по радиу­ сам-векторам точек і и / по краям разрезанной стороны. Положение точки разреза на этой стороне безразлично. Если взять точку разреза

всередине стороны, то ее радиус-вектор составит

г— £ і± £ і

где а — скалярный параметр.

Если принять а = 1, то разрез стороны будет расположен беско­ нечно близко от точки /, а при а — 0 от точки і.

В этой точке надо приложить единичные векторы усилий и момен­ тов так, чтобы они дали ненулевые проекции на разрезанную сторону и на перпендикулярную ей плоскость. Тогда, обозначая вектор единич­

единичный вектор по направлению разрезанной стороны, определяе­ мый по формуле (11.36).

Если известны векторы m a l направления главных осей инерции сечения стороны ij в координатных осях хуг, то лучше определять Rf,- :

Здесь первая формула дает единичное значение самого вектора лиш­ него неизвестного, а вторая—единичные проекции его на главные оси инерции и нормаль к сечению стороны ij.

водном случае принимаем значения /?і; и Rf;-, а в другом — R tj и —Rfh

Вдальнейшем для расчетов на ЭЦВМ необходимо будет ввести так­ же какой-то признак, по которому можно отличать единичные векторы

опорных реакций от единичных векторов лишних неизвестных — сил

илишних неизвестных — моментов.

Вшарнирной ферме необходимо проверить мгновенную геометри­

ческую изменяемость узлов основной системы. Пусть R tj — единичные векторы элементов, сходящихся в узле і. Узел будет геометрически неизменяемым, если

Если для всех s условие (11.41) не соблюдается, то стержни, поддер­ живающие узел, лежат в одной плоскости и система в этой точке мгно­ венно изменяемая.

§ 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТСЕЧЕННОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ И НАПРАВЛЕНИЯ

УСИЛИЙ В МЕСТЕ РАЗРЕЗА

Расчеты по определению усилий в сечениях потребуют определения матрицы смежности отсеченной части конструкции или ее подсистемы. Обозначим матрицу смежности отсеченной части подсистемы С^і в виде

Сб/. Матрица Сы имеет такой же порядок, как и матрица СбгИндекс р обозначает номер точки, в которой дан разрез. Вообще конструкцию можно разрезать в любом месте между узлами, но для удобства будем считать, что разрез проходит бесконечно близко от точки с номером р в стороне Ір.

Порядок определения Сы может быть следующим:

1.В матрице Сы заменяем нулями элементы ср1 и сгр.

2.Разделяем Со, по способу выделения подсистем, т. е. по фор­ мулам (II. 17) — (II.20), принимая за исходную матрицу Сбі.

3.Результаты расчета по п. 2 дадут две матрицы Сы и Сы, харак­ теризующие, две рассеченные части исходной подсистемы.

Матрица Сы содержит точку разреза р (ее элемент срр = 1), а мат­

рица Сы ее не содержит и характеризует отсеченную часть в предпо­ ложении, что разрез в стороне Ір проведен бесконечно близко от точки /.

Разделение сечениями конструкции в виде сквозных ферм более сложно, так как связано с поиском стержней, рассечение которых при­ ведет к разделению системы на две самостоятельные части.

динатам соответствующих узлов-концов стержней), то общее число пересекаемых стержней может быть больше. Так, например, четыре и более не лежащих в одной плоскости параллельных стержней экви­ валентны по числу уничтожаемых степеней свободы трем непараллель­ ным стержням. Это следует учитывать при определении отсеченных частей фермы.

Пример II.2. Рассмотрим конструкции, изображенные на рис. 25. Система из двух криволинейных балок распадается на две подсистемы, одна из которых дана на рис. 26. Ее матрица смежности имеет вид:

Проведя сечение сразу за точкой 5 в стороне 5—8, получим две матрицы межности отсеченных частей

Матрица смежности шарнирной фермы Сф без опорных связей будет:

0........... 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 . . 0 1 1 1 0 0

О........... 0 1 0 . . . . 0 1 0 . . . 0 1 1 0 0

§ 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СЕЧЕНИЯХ КОНСТРУКЦИИ МОСТОВ

Все усилия, действующие на конструкции моста, можно предста­ вить в виде сил и моментов, приложенных в различных точках сосредо­ точенно или распределенно на какой-то длине (рис. 27, а).

Сосредоточенные силы задаем в виде векторов Р. Векторы сил сколь­ зящие, т. е. могут перемещаться в любую точку вдоль линии их дей­ ствия. Сосредоточенные моменты задаем в виде векторов М. Вектор момента свободный и может перемещаться параллельно самому себе в любую точку пространства. Вектор момента считаем направленным перпендикулярно плоскости действия момента так, что с его вершины направление действия момента будет против часовой стрелки (рис. 27, в). Аналогично распределенные нагрузки можно задать в виде вектора интенсивности нагрузки р и вектора интенсивности момента л . Эти интенсивности располагаются вдоль известных пространственных линий и могут оставаться параллельными самим себе или изменять свое направление от точки к точке. Модуль векторов интенсивности также может быть постоянным или переменным.

Пространственные линии, вдоль которых приложены р или м, определяют их положение в пространстве относительно конструкции. Поскольку нагрузки прикладывают к конструкции, то эти линии обыч­ но совпадают или с осью конструкции, или с какой-либо другой линией на самой конструкции. Точно так же точки приложения сосредоточен­ ных усилий Р и М должны быть определены в пространстве; обычно это точки оси конструкции.

Усилия P, М, р и л считаем вызванными внешними нагрузками. Кроме этих усилий, на конструкцию действуют усилия от опорных