книги из ГПНТБ / Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем

В нашем случае наиболее часто повторяются операции с векторами, матрицами и решения линейных алгебраических уравнений. Послед­ нее можно рассматривать и как операцию отыскания обратной матрицы коэффициентов при неизвестных. Обычно для решения систем линей­ ных алгебраических уравнений программы имеются готовыми в боль­ шинстве вычислительных машин, а программы различных математи­ ческих операций с векторами и с разными матрицами, как правило, отсутствуют.

Для осуществления математических операций с векторами нужны программы: сложение двух векторов, вычитание двух векторов, ум­ ножение вектора на скаляр, скалярное умножение двух векторов, векторное умножение двух векторов, определение модуля вектора. Имея эти программы, можно выполнять все более сложные операции с векторами.

Программы следует располагать в постоянных ячейках оператив­ ной памяти так, чтобы начальный адрес обращения к каждой програм­ ме был неизменным. Форма обращения к стандартным подпрограммам векторных операций должна содержать указание, какую подпрограмму надо использовать, и исходную информацию о векторах, с которыми производится математическая операция.

Для трехадресных машин такое обращение может иметь следую­ щий вид:

Я-.k Я + 2 Й со

Я + 1: — a b с,

где Я, Я + 1 и Я + 2 — номера последовательных ячеек оператив­ ной памяти; k — код операции передачи управления в ячейку с но­ мером й; со — постоянное значение номера ячейки с возвратом на ос­ новную программу; а, Ь, с — номера ячеек с первыми проекциями век­ торов a, b и результата с.

Стандартные подпрограммы должны быть такими, чтобы после воз­ вращения на основную программу они были готовы к новому исполь­ зованию без каких-либо добавочных команд. Применительно к машине БЭСМ-4 команды обращения к стандартным подпрограммам вектор­ ных операций имеют вид:

Я: 016 Я + 2 й 5670

Все подпрограммы векторных операций занимают в оперативной памяти БЭСМ-4 ячейки в восьмеричной системе счисления с 5525 по 5677.

Все элементы исходных матриц располагают в оперативной памяти последовательно по строкам. Элементы матрицы результата также располагаются в оперативной памяти последовательно по строкам. В программе 6 результат операций будет число, а не матрица. Это чис­ ло располагается в ячейке с. Массивы чисел для исходных матриц и результатов нужно располагать в оперативной памяти машины так, чтобы полученные результаты не затирали исходных данных в процессе расчета. Для этого под результаты надо отводить массивы ячеек, не совпадающие с массивами ячеек для исходных данных. Однако в про­ граммах 9 и 10 начало массива результатов может совпадать с началом массива чисел квадратной матрицы. В программе 6 ячейка с может быть любой, а в программах 1 и 2 массивы А, Б и С могут находиться

водних и тех же ячейках. В программе 3 массив для А и В может быть

водних и тех же ячейках.

Пример Ѵ.1. Произведем сложение и векторное умножение векторов а и ft. Вектор а имеет проекции ах = 1,0; ау = 0,5 и ах = —0,40, расположенные в ячейках 0100, 0101 и 0102 оперативной памяти. Вектор b имеет проекции Ьх = = — 1,0; by = — 1,0 и bz = 0,5, расположенные в ячейках 0307; 0310 и 0311 оперативной памяти. Результаты помещаем в ячейки 0312; 0313 и 0314. Тогда при сложении векторов обращение к подпрограмме будет иметь вид:

рого записаны в ячейки 0500, 0501 и 0502. В обоих случаях предыдущие данные в ячейках 0500—0502 уничтожаются.

Пример V.2. Произведем умножение матрицы-столбца

1,0

—0,5

на матрицу-строку В = |2,0 — 1,5 — 2,0 1,0].

и записывается в ячейки с 0500 по 0510, т. е. в виде массива 1,0; 2,0; 3,0; —2,0; 4,0; — 1,0; —3,0; 1, 0; 5, 0. Предыдущие значения в этих ячейках уничтожаются.

Аналогичным образом производятся операции с матрицами и векторами по другим стандартным подпрограммам.

§ 40. ПРОГРАММА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

СЕЧЕНИЙ КОНСТРУКЦИИ МОСТОВ

Программа определения геометрических характеристик сечений конструкций составлена на основе данных ранее выводов и формул (см. гл. 1). Она позволяет определить основные геометрические харак­ теристики сечений при различных способах их задания.

Сечение конструкции задаем массивом координат относительно произвольных осей, расположенных в плоскости сечения. Перед мас­ сивом чисел, характеризующих форму сечения и его упругие свойства, записываем информационную команду, определяющую вид сечения. Информационная команда применительно к машине БЭСМ-4, в вось-

В разрядах кода операции записывают два признака: я1; занимаю­ щий два восьмеричных разряда, и і 2, занимающий один восьмеричный разряд. В первом адресе команды записано число сечений п, которые имеют одинаковые геометрические характеристики; здесь число за­ нимает три последних разряда адреса, а первый занят признаком ô. Во втором адресе команды записано число точек в сечении т, для ко­ торых задают числовые координаты, число занимает три последних разряда адреса, а первый всегда ноль. В третьем адресе записано число участков сечения с разными упругими свойствами k и число сосредо­ точенных площадей в сечении р по два разряда адреса на каждое число.

Информацию о виде и упругих свойствах сечения, следующую за информационной командой (V.4), записывают в зависимости от вида сечения. Вид сечения характеризуется признаком я 2. При я 2 = 0 сечение массивное, задается координатами узлов перелома контура при последовательном обходе против часовой стрелки всех участков с раз­ ной упругостью. Координаты начальной точки каждого такого участка

повторяют в конце (см. рис. 12 и § 8). Числовые исходные данные для этого сечения записывают последовательно в таком порядке:

причем вначале записано т пар координат точек контуров всех участ­ ков с разными свойствами, затем k модулей упругости и модулей сдви­ га для разных участков и далее р координат центров тяжести сосре­ доточенных площадей, их площади и модули упругости. Число исход­ ных данных для одного массивного сечения не должно превышать:

Индекс снизу при числах здесь и дальше обозначает систему счис­ ления.

При я 2 = 1 сечение тонкостенное незамкнутое или только с одним замкнутым контуром задают координатами точек перелома срединной линии с постоянными толщинами сечения на участках между этими точками. Координаты точек, разделяющих участки с разной упруго­ стью, повторяют в конце предыдущего и в начале следующего участка. Для замкнутого сечения координаты первой и последней точек долж­ ны быть одинаковыми.

Числовые исходные данные для сечения при я 2 = 1 записывают в следующем порядке:

v1w1v2w2...vmwmE1...Ek G1...Gk v1w1F1E1...

где kt — число узлов на г'-м участке одинаковой упругости, причем

Общее число цифр в формуле (V.7) должно удовлетворять усло­ виям (V.6).

Число толщин Ьі равно числу пар координат т. Это значит, что на границе участков с разной упругостью, когда vt = ѵі+1 и wt = ші+1, в исходных данных все равно надо проставлять bt, хотя длина участка между точками і и і + 1 равна нулю. Число bt для такого случая мо­ жет быть любым или нулем. То же самое относится к последней тол­ щине Ьт.

Незамкнутое тонкостенное сечение не должно иметь разветвлений срединной линии, если требуется определить секториальные геомет­ рические характеристики ( см. гл. I). В этом случае в информационной команде (Ѵ.4) перед массивом чисел (Ѵ.7) принимают признак ô = l .

Представление сечения с неразветвленной срединной линией мо­ жет потребовать большего числа исходных данных (см. рис. 18, б). Если не нужно определять секториальные геометрические характеристики,

то сечение можно задавать, разрывая срединную линию (см. рис. 18, а). Координаты vtWi и vi+1wi+1, не связанные срединной линией, рассмат­ риваются просто как конец участка с одной упругостью и начало уча­ стка с другой. В этом случае признак 6 = 0.

срединной линии, расположенными в порядке произвольной нуме­ рации узлов. Координаты каждого узла задаются в этом случае только 1 раз. Данные о сечении содержат, кроме координат узлов и упругих характеристик, матрицу смежности и диагональные матрицы.

Координаты сечения и модули упругости записывают в виде чисел: v1w1...vmwmE1...EhG1 ...Gk vxw1F1E1... vpwpFpEp b. (V.8)

После этого с новой ячейки записывается в виде команд в восьме­ ричной системе счисления треугольная матрица смежности (1.51) при всех значащих Ьц= 1. В каждой ячейке оперативной памяти могут быть записаны 4510 единиц или нулей. Строки треугольной матрицы смеж­ ности записывают в ячейки подряд без перерыва. Затем с новой ячейки также без перерыва записывают как команды значения на главных ди­ агоналях диагональных матриц (1.52). Общее число ячеек оператив­ ной памяти, занятое матрицей смежности и диагональными матрицами, равно лу.

При л г = 3 сечение тонкостенное сложной формы с разной тол­ щиной на различных участках между узлами. Все исходные данные за­ писываются в этом случае в виде чисел:

v1w1... vmwmE1...EkG1 ...Gk vx w1F1E1... vp wp FpEp 1 b12...

где btj ■— толщина участка сечения между узлами і и /', записанная как элемент треугольной матрицы смежности (1.77); dtj — элементы k ди­ агональных матриц (1.78).

В случаях, определяемых формулами (V.8) и (V.9), исходные дан­

следует помнить, что две граничные точки участка с одной упруго­ стью не должны соединяться стороной непосредственно без промежу­ точных не граничных точек (см. гл. I и рис. 20).

При определении приведенных геометрических характеристик сечения во всех случаях приведение осуществляют относительно моду­ лей упругости Ех и сдвига Gx первого участка сечения, в том числе и для сосредоточенных площадей. Исходные данные для различных се­ чений с их информационными командами располагают последователь­ но друг за другом, и в таком же порядке программа производит вычис-

ление их геометрических характеристик. Общее количество исходных данных для разных сечений, вводимых одновременно в оперативную память машины, ограничивается 213510 числами и командами.

Одно и то же сечение может быть задано по-разному. Так, задав сечение контурными координатами, можно получить более точные ге­ ометрические характеристики на изгиб и внецентренное сжатие. За­ дав то же сечение в виде прямоугольников, можно получить геометри­ ческие характеристики на кручение и секториальные геометрические характеристики.

В результате расчетов по программе печатаются следующие дан­ ные:

Fnp — приведенная площадь сечения;

IV'\ Iw■— приведенные моменты инерции относительно центра тяжести сечения и осей, проходя­ щих через этот центр тяжести и параллельных начально заданным;

I-j’w' — приведенный центробежный момент инерции

и координаты узлов сечения относительно главных центральных осей инерции. При этом не вычисляются и принимаются равными нулю зна­

и в предыдущем случае, а не вычисляются величины / м, гаѵ, гаш,

и координаты узлов относительно осей, параллельных главным цен­ тральным, но выходящих из центра изгиба сечения.

Спрограммой работают в следующем порядке:

1.Вводят программу в оперативную память машины и записывают

еево вторую группу любого барабана.

2.Вводят исходные данные о сечениях в оперативную память ма­ шины, начиная с ячейки 0450.

3.На третьем кратковременном запоминающем устройстве (КЗУ-ІІІ) пульта машины во втором адресе набирают в восьмеричной системе номер последней ячейки оперативной памяти с исходными данными о сечениях.

4.Передают управление в ячейку 4666 и начинают расчет. Печать исходных данных сечения при переводе 10 -> 2 блокируется нажатием клавиши 3510 на КЗУ-П. По окончании расчета всех сечений машина останавливается.

При работе программы оперативная память машины БЭСМ-4 рас­ пределяется следующим образом:

0447—0527 — рабочие ячейки; 0530—0547 — результаты расчета;

0550 — информационная команда очередного сечения; 0551—1050 — координаты цгшг; 1051—1062 — Еі\

1063—1074 — Gb

1075—1144 — данные сосредоточенных площадей; 3000—5524 — программа расчета;

5525—5677 — стандартные подпрограммы векторных операций; кроме того:

а) при % = 0 и л2 = 1: 1145—1157 — значения kt\ 1160—1317 — толщины Ьі\

б) при jto = 2: 2542 — Ь\

2543—2600 — матрица смежности и диагональные матрицы, записан­ ные как команды;

1145—2065 — матрица смежности, записанная в виде чисел; 2066—2541 — диагональные матрицы в виде чисел; 2601—2777 — рабочие ячейки.

Ячейки 0000—0403 и 5700—7777 заняты библиотекой стандартных программ БЭСМ-4.

Работа программы происходит следующим образом (рис. 51). Блок / программы считывает с барабана информационную команду первого