книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Отсюда следует важное свойство функции а { X , п2): она может быть представлена как функция, аргументами которой являются отно­ шение XJI-L (X) и величина п2. Подчеркнем, что это свойство спра­ ведливо только в случае, когда выборки X n'Y статистически неза­ висимы. В этом случае, не вводя нового обозначения, будем запи-

сывать функцию в виде а ( , п2

Мы рассмотрели свойства функции а (Х, п2) в случае, когда наблюдаемые величины дискретны. В случае, если они непрерыв­ ны, во всех соотношениях следует заменить суммы интегралами, дискретные вероятности — плотностями вероятности, умноженны­ ми на дифференциалы переменных. В частности, вместо (4.47) следует записать

У : I ( X , Г) > га

Все приведенные выше свойства функции а (X, п2) имеют место и при непрерывных распределениях. Некоторое качественное раз­ личие в характере функций а (X, п2) при дискретных и при не­ прерывных распределениях мы покажем на примерах конкретных задач в главах 6 и 7.

Рассмотрим теперь функцию А (X, щ), связанную с а (X, п2) соотношением (4.36). Забегая вперед, отметим, что функция А (X, тг2) непосредственно используется при построении оптимального промежуточного правила. При каждом X определяется такое зна­ чение /13 , которое обращает в максимум функцию А (X, п2). Естест­ венно, что могут встретиться такие значения X, при которых мак­ симум достигается одновременно в нескольких точках п2. В связи с этим возникает вопрос о том, сколь много имеется значений X

при гипотезе Нг; величина у имеет точно такое же распределение.

( 0,8, если 2 < ; г <] 3.

На рис. 18 штрихпунктиром показана функция А (х, 0), а пунктиром — функция А (х, 1). Мы видим, что па интервале 1 <[ <^ х <^ 2 эти функции тождественно равны.

Припер 2. Величины х и у лежат в области х, у > 1/2 и имеют плотности вероятности

Рассмотрим функцию А {X, п2), полагая X фиксированным, а

Таким образом, при данном X оптимальная функция л2 (X)

является детерминированной и равной ;г2.

Предположим теперь, что при некотором X максимум функции

множество оптимальных стратегий. Оптимальные значения qn, для

Аналогично можно определить оптимальные промежуточные правила для случая, когда число точек п2, при которых функция А (X, п2) достигает максимума, равно трем, четырем и т. д.

Количество оптимальных промежуточных правил

Рассмотрим вопрос о том, сколько может существовать опти­ мальных правил тг2 (X), обращающих в максимум функцию Лаг­ ранжа при фиксированных множителях Лагранжа. Пусть Ux — множество всех точек X в Пі-мерном пространстве (мноя^ество всех

с некоторыми вероятностями, могут принимать те значения /г2 , при которых функция А (X, п2) имеет максимум. При этом различ­ ные функции л2 (X) отличаются друг от друга лишь значениями

вероятностей. Если множество U** пустое, то существует, очевид­ но, единственное оптимальное правило п2 (X). Если же U** не­ пустое, то оптимальных правил существует бесконечное множест­ во. Среди этих правил всегда имеются детерминированные прави­ ла, у которых указанные вероятности имеют только два значения, О и 1.

Естественно, что множества Ux, U* и U** имеют различные свойства в том случае, когда распределения наблюдаемых вели­ чин дискретны и когда они непрерывны. Заметим, что для большин­ ства практических задач с дискретными распределениями при произвольно выбранных множителях Лагранжа, как правило, множество U** оказывается пустым, и мы получаем единственную оптимальную процедуру. Существует, однако, ряд дискретных значений множителей, при котором множество U** оказывается непустым.

При непрерывных распределениях в силу принятого допущения о нетождественности функций А (X, п2) при различных тг2 мно­ жество U** в /Zj-мерном пространстве представляет собой много­ образие с числом измерений, меньшим, чем щ.

Оптимальные промежуточные правила дйя детерминированных процедур

Мы определили множество всех оптимальных промежуточных правил для класса Spni рандомизированных процедур с перемен­ ным объемом второй выборки и фиксированным объемом первой выборки пх. Если из этого множества исключить все рандомизиро­

дискретных распределениях), то оптимальное промежуточное

щее число оптимальных промежуточных правил равно произведе­

нию tx...tr.

Рассмотрим класс Sдтп8 детерминированных процедур с фик­ сированными объемами выборок на первой и второй ступенях rcx

В случае, если при некотором X имеет место точное равенство

.4 (X, 0) = А (X, га?), то для данного X существуют два оптималь­ ных способа выбора га2 : п2 = 0 и п 3 = га* . Если имеется г таких точек X, то число оптимальных промежуточных правил равно 2''.

4.7. Некоторые свойства двухступенчатых процедур

В этом разделе мы рассмотрим ряд вопросов, имеющих сущест­ венное значение для разработки вычислительных методов, кото­ рые приведем в главе 5.

Об эквивалентности оптимальных процедур

Мы показали выше, что может существовать много оптималь­ ных процедур, доставляющих экстремум функции Лагранжа при фиксированных множителях Лагранжа. Возникает вопрос о том, отличаются ли эти процедуры между собой по своим показателям. Этот вопрос можно сформулировать другими словами. Каждая оп­ тимальная процедура отображается в единственную точку в прост­ ранстве показателей; нас интересует, отображаются ли различные оптимальпые процедуры в одну и ту же точку. В случае отображе­

Существенно различная картина получается в зависимости от того, являются ли распределения наблюдаемых величин дискрет­ ными пли непрерывными. В случае, когда распределения дискрет­

из изолированных точек. Выпуклая оболочка этих множеств пред­ ставляет собой выпуклый многогранник. Когда мы строим опор­ ные гиперплоскости к этим множествам (см. главу 1), то гиперплос­ кости могут касаться граней выпуклого многогранника. При этом опорная гиперплоскость проходит через несколько различных то­

Рассмотрим теперь случай, когда распределения наблюдаемых величин непрерывны. В разд. 4.5 было показано, что при непрерыв­ ных распределениях в случае, когда плотности вероятности / 0 (X, Y) и Д ( І , У) удовлетворяют требованиям непрерывности и дифференцируемости, всем оптимальным окончательным правилам соответствуют одинаковые значения показателей a (s) и я (s). Это справедливо при произвольном промежуточном правиле. Допус­ тим теперь, что выбрано одно из оптимальных окончательных пра­ вил. Предположим также, что функции А (X, га2) нетождественны при различных га, (см. разд. 4.6). Покажем, что всем оптимальным промежуточным правилам соответствуют одинаковые значения по­

процедур Spnr Для этого воспользуемся выражениями (3.7) — (3.12), справедливыми в случае дискретных распределений. Заме­ няя в них суммы по X интегралами, получаем:

Функции ay (X, n2 ) и i t j (X, л2 ) будем считать известными, по­ скольку мы предположили, что окончательное правило задано.

Рассмотрим множество оптимальных промежуточных правил, обеспечивающих экстремум функции Лагранжа. Каждое из этих правил определено N2 + 1 функциями с]Пг {X), щ = О, 1,...,N2, заданными иа области Ux всех возможных исходов X в «^-мерном пространстве. Множество Ux можно разделить на односвязные области, внутри которых функция qn. (X) имеет значение, равное нулю или единице, одинаковое для всех оптимальных правил (см. (4.61)). В некоторых точках граничных поверхностей, разделяю­ щих эти области, функция qni (X) при некоторых /г, имеет различ­ ные значения для различных оптимальных правил. Нетрудно ви­ деть, что варьирование функций qVl (X) на этих поверхностях не влияет на значения интегралов (4.64) — (4.67).

Таким образом, всем оптимальным промежуточным правилам соответствует одна и та же точка в шестимерном пространстве по­ казателей a (s), л (s), E l (s), Е{ (s), E l (s), E l (s). Поскольку варьи­ рование оптимальных окончательных и промежуточных правил не приводит к изменению показателей процедуры, можно сделать вывод о том, что всем оптимальным процедурам соответствует одна и та же точка в пространстве показателей. Мы пришли к этому вы­ воду, рассматривая класс Spni рандомизированных процедур с фиксированным объемом первой выборки пх. Нетрудно видеть, что вывод справедлив и для класса 5 Д „ , детерминированных процедур с фиксированным значением пх. Действительно, мы видели ранее, что среди оптимальных процедур в классе Spni всегда имеются

Аналогичным способом можно показать, что одна и та же точка в пространстве показателей соответствует всем оптимальным про-

цедурам в классе 5 Д 7 І 1 „ 2 детерминированных процедур с фиксиро­ ванными объемами первой и второй выборок пх и п2.

Следует помнить, что отображение в одну точку имеет место лишь при непрерывных распределениях и при некоторых дополни­

Ограниченность числа наблюдений

До сих пор мы считали, что величина п2 может выбираться из конечного ряда чисел п2 = 0A,...,N2. При этом максимальное значение оптимальной функции п2 (X), доставляющей экстремум

ли при этом оптимальная функция п2 (X) ограниченной сверху, ибо если она не ограничена, то ее, естественно, нельзя реализовать. Ответ на этот вопрос зависит от значений множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию Лагранжа (4.28). Можно показать, что при определенных условиях оптимальная функция п2 (X) ограничена сверху. Рассмотрим частный случай, когда имеют место следую­ щие условия: множители А.2, и"К\равны нулю; множитель Ха по­ ложителен; множители и К\ неотрицательны, причем хотя бы один из них положителен. Нетрудно видеть, что эти условия соответствуют задаче

Действительно, X2 = %1 = 0, так как в задаче (4.68) на показа­ тели El(s) и Е\ (s) не наложено ограничений. Далее, как видно из

Таким образом,

(4.73)

Мы видим, что при любом ly величина па ограничена сверху, и поскольку п2 {X) (оптимальная функция) не превышает ?и, то она также ограничена сверху.

Статистики первой и второй выборок

Выше были рассмотрены свойства двухступенчатых процедур, построенных на полных выборках X и Y. Обычно на практике процедуры строят не на полных выборках, а на некоторых функ­ циях от нпх — статистиках, которые чаще всего являются однопли двумерными. В классическом одноступенчатом анализе [2] широко применяется термин «достаточная статистика». Поясним этот термин для случая, когда наблюдаемые в выборке X величины непрерывны, а их совместная плотность вероятности / (X, 0) за­ висит от неизвестного параметра 8, о котором мы желаем получить информацию. Функция хх (X) называется достаточной статистикой выборки X, если функция / (X, 0) может быть представлена в виде

где gy и g 2 — некоторые функции.

В тех случаях, когда производится проверка двух простых гипотез относительно 0, функция ly (X) (отношение правдоподобия выборки X) является однозначной функцией статистики т. На­ пример, если проверяются гипотезы Н0 : 0 = 0 и Ну : 0 = 1, то

Оптимальная одноступенчатая процедура проверки может быть построена на статистиках хх (X) или ly (X). В нашей теории рас­ сматриваются две выборки. В принципе можно определить доста­ точные статистики для каждой из них или определить для них отношения правдоподобия ly (X) и l2 (Y). Однако в общем случае на этих статистиках нельзя построить оптимальную двухступенча­ тую процедуру (см. разд. 3.1), другими словами, нельзя построить процедуру, характеризуемую теми же показателями, какие имеет наилучшая из двухступенчатых процедур, построенных на пол­ ных выборках. Наша цель состоит в том, чтобы определить ста­ тистики выборок X и У, на которых можно осуществить такое построение?

Допустим, что решается задача (4.27) для некоторого класса двухступенчатых процедур, построенных на полных выборках, и s° — искомая оптимальная процедура. Предположим, что s° до-