книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Таким образом, всегда можно найти детерминированное пра­ вило решения, при котором L достигает максимума. Другими сло­ вами, опорная прямая к множеству Zni (X) при любом угле накло­ на проходит хотя бы через одну точку дискретного множества, на которое натянута выпуклая оболочка, и поэтому . Z n s (X) совпадает

соболочкой и является выпуклым многоугольником.

Вразд. 4.7 будет показано, что класс двухступенчатых рандо­ мизированных процедур Spni при дискретных распределениях наблюдаемых величин отображается на выпуклую оболочку диск­

Рассмотрение выпуклых оболочек для классов детерминиро­ ванных процедур может быть полезно со следующей точки зрения. Как было отмечено, для поиска оптимальной процедуры в произ­ вольном классе S не всегда можно применить метод множителей Лагранжа. Для класса же [S], отображающегося на выпуклую оболочку, пользуясь этим методом, можно получить точное реше­ ние условно-экстремальной задачи. С другой стороны, класс [S] является более широким, чем класс S. Поэтому показатели класса [S] можно использовать в качестве односторонних (верхних или нижних) оценок показателей нашего класса S.

4.5. Экстремум функции Лагранжа. Оптимальное окончательное правило

Как было показано в главе 1, составной частью процесса ре­ шения условно-экстремальпой задачи по методу множителей Ла­ гранжа является поиск экстремума функции Лаграижа при фик­ сированных значениях множителей. В настоящем и следующем

разделах дайной главы нас в основном будет интересовать вопрос о том, какими свойствами обладают двухступенчатые процедуры, которые среди всех процедур некоторого класса S обеспечивают экстремум функции Лагранжа. Изучение этого вопроса удобно начать с класса рандомизированных процедур с переменным объ­ емом второй выборки Sp. Такой путь удобен тем, что, как мы уви­ дим пиже, среди оптимальных процедур класса Sp имеются детер­

Как мы уже отмечали, вычисление оптимального значения объе­ ма выборки на первой ступени щ практически сводится к простому Перебору ЭТОЙ ВеЛИЧИНЫ. ПОСКОЛЬКУ ВОПРОС О ВЫЧИСЛеНИИ Пу не представляет теоретического интереса, мы будем считать эту вели­ чину заданной. Нас будет интересовать вопрос о построении опти­ мальных решающих правил, промежуточных и окончательных.

Предположим, что требуется решить задачу с шестью показате­ лями:

в него формулы для показателей. В случае, когда наблюдаемые величины дискретны, показатели определяются формулами (3.2), (3.3) и (3.9) — (3.12). В этих формулах записаны величины Pj (X), Р) (Y \ X) и Pj (X, Y ) , представляющие собой вероятности исходов на первой ступени, на второй ступени и на двух ступенях одно­

Варьируя значения функции ср . ( X * , У*) в пределах от нуля до

единицы, мы будем изменять значение показателя a (s) в интервале шириной Р0 » а показатель я (s) будет изменяться в интервале ши­ риной Рх. При этом варьировании значение функции Лагранжа остается неизменным.

Вернемся теперь к случаю непрерывных распределений. Вме­ сто формул (3.2) и (3.3) мы можем в этом случае записать:

Здесь (X, У) означает точку в (ггх + ?г2)-мерном пространстве вы­ борок X и У; запись (X, У ) : I (X, У) ^> Ха означает, что интегри­ рование производится по тем областям в (/гх + ?г2)-мерном про­ странстве, для которых выполняется условие I (X, У) ^> Ха. Урав­ нение I ( X , У) = Ка определяет граничную поверхность этих об­ ластей. Очевидно, что величина интегралов не зависит от того, включена ли эта граничная поверхность в область интегрирования или нет. Таким образом, варьируя значения функции фп > (X, У) в точках (X, У), принадлежащих к граничной поверхности, мы не изменяем значений показателей a (s) и я (s).

Оптимальное окончательное правило для классов детерминированных процедур

Как мы уже отмечали, всякое детерминированное окончатель­ ное правило можно рассматривать как частный случай рандоми­ зированного окончательного правила, когда функция ф„,(Х, У) может принимать только два значения, 0 и 1.

Оптимальное окончательное правило для классов детерминиро­ ванных процедур определяется тем же соотношением (4.41), что и

ется, оптимальные окончательные правила для указанных классов могут отличаться друг от друга. В классе рандомизированных

процедур существует бесконечное множество оптимальных зна­ чений функции cpna (X, Y): 0 < ф„; (X, Y) < 1. В классе же детер­ минированных процедур возможны только два значения, 0 и 1.

4.6. Экстремум функции Лагранжа. Оптимальное промежуточное правило

В настоящем разделе мы рассмотрим вопрос о свойствах опти­ мальных промежуточных правил, доставляющих экстремум функ­ ции Лагранжа. При этом будем считать, что окончательное прави­

ложение. Рассмотрим сначала случай, когда наблюдаемые величи­

когда п2 = 0, означает, что вторая ступень эксперимента не прово­ дится и мы не имеем второй выборки Y. Для того чтобы определить значение функции а (X, 0) в точке п2 = 0, нам будет удобно не­ сколько по-другому интерпретировать модель нашего эксперимен­ та. Будем считать, что при п2 — 0 мы извлекаем некоторую вы­ борку У, т. е. проводим некоторые наблюдения, но эти наблюдения не дают никакой информации о том, какая из гипотез, Н0 или Я 3 , верна. При этом состав выборки Y может быть произвольным; должно выполняться лишь следующее условие: распределение вы­

Y : ' ( X , У) > Х а

Пусть п2 возрастает от единицы до бесконечности. Покажем, что функция а (X, п2) при этом нигде не убывает и стремится к едини­ це, когда ?12 стремится к бесконечности. Для того чтобы убедиться в этом, снова обратимся к модели второй ступени эксперимента, использованной нами в разд. 3.2 и 4.2. Согласно этой модели, вто­ рая ступень рассматривается как самостоятельный одноступенча­ тый эксперимент объема п2. Цель этого эксперимента состоит в

одноступенчатой процедуры. С целью упрощения рисунка они по­ казаны в виде сплошных линий. В действительности же, когда распределения Р 0 (Y | X) и Ру (Y \ X) дискретны, эти характерис­ тики состоят из отдельных точек. Такое упрощение рисунка не

роятность принятия гипотезы Ну, когда эта гипотеза в самом деле верна. Каждому значению п2 соответствует своя кривая. Чем больше п2, тем выше расположена соответствующая кривая. Когда

4* 99

Предположим, что правило принятия решения имеет вид:

При этом правиле первая сумма в (4.51) представляет собой ие что иное, как условную вероятность правильного принятия гипо­ тезы Нг, Пу (X, п2), а вторая сумма — условную вероятность не­ правильного принятия гипотезы Hi, ссу (X, п2). Поэтому (4.51) можно представить в виде

эту величину к бесконечности. Тогда, как видно из рис. 17, орди­ ната точки пересечения касательной с осью абсцисс будет моно­ тонно возрастать, стремясь в пределе к единице. Таким образом, функция а (X, п2) также монотонно возрастает, стремясь в пределе к единице, что и требовалось показать.

Рассмотрим отдельно частный, но весьма важный случай, когда наблюдаемые величины на первой и второй ступенях эксперимента статистически независимы. Тогда совместные распределения вы­

(4.53)