Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Оба интеграла в (7.54) берутся по области				U\ ( u l s , и 1 с ),		т. е.
по плоскости u2sOu2c за	исключением круга (рис. 36). Условную
плотность вероятности	/ 0	( u 2 s , и2с	\| ии, щс)	величин	u2s	и и2е
при гипотезе Н0 нетрудно		найти,	используя (7.52):
/о («а,, "ге \| " і * . Ще) =	/о (»2«. "2с)		= " 2 ^ 7е х Р {	^tg-z2 0	} •	С7 "5 5 )
Условную плотность вероятности / х (и2 5 , и 2 с				\| и1 5 , и1 с ) тех же ве

личин при гипотезе Ну можно найти, разделив совместную плот

ность вероятности/х

( u l

s , ulc,

u2s, и2с) на плотность вероятности/I(K1 S ,

и1с)

величин

uls и и1с.

Обе эти функции можно легко определить

из

(7.50)

(7.52). Опуская

промежуточные

выкладки,

запишем

/і

( U 2 S )

М 2 С

Illls> Ulc)

—

I s

gl )'

ехр

1 +

(7.56)

2кв\

20*

где

-a

ga (1 + gi +

ga)

(7.57).

Таким

образом,

мы видим,

что подынтегральные

функции

в (7.54) представляют

собой

«колоколообразные» поверхности с

центрами в точках (

^ и (0, 0) (точки 2 и 3 на рис. 36).

Эти точки, а также точка 1 (центр кру га, по которому не производится интег рирование) лежат на одной прямой. Таким образом, изменение величин u l s и и1с при условии, что Ry остается без изменения, не приводит к изменению функции о ( u l s , ulc, g2). Далее, поскольку величины 1у и R x связаны между собой соотношением (см. (7.50))

	1 +	ехр	L2(1		, (7.58)	Рис. 37
	1 +		L2(1	+ g i )
мы приходим		к выводу,		что	функция A ( u l s , u l c , g2 ), а		следова
тельно, и оптимальное промежуточное правило g2 (ulsl							и1с)	яв
ляются функциями величины Ry. Обозначим эти функции A (Ru								g2)
и g2(Ri).	На	рис. 37 приведены примеры				оптимальных	функций
S2 Ф-і)	Д л я значения gx = 5.				В скобках	даны значения	In Хр и
In %1

7.5. Некоторые вопросы оптимизации

многоканальных двухступенчатых процедур

До сих пор мы рассматривали случай, когда задержка сигнала т с известна. Предположим теперь, что величина т с неизвестна, но известно, что она может быть равной любому из заданного мно жества т чисел (т ^> 1). Согласно принятой в теории обнаруже ния терминологии [4], процедура обнаружения в этом случае

называется многоканальной	(т — число	каналов). Если тс имеет
i-e значение (і = 1,..., т),	то говорят,	что сигнал находится в

г'-м канале. В общем случае может быть несколько сигналов в раз

личных	каналах.
Пусть	llt и l2i	— отношения правдоподобия, полученные в
і-м канале соответственно на первой и второй			ступенях.	Обоз
начим через 1х и 12		7?г-мерные векторы l j = (ln,...,	11т) и 12 =	(Z2 1 ,...

Z2 m ). Предположим, что величины llt и l2i непрерывны, и обозна чим их плотности вероятности при отсутствии сигнала в т-'-м кана

ле	/о (hi) и /о {hi,	Sz), а П Р Н	наличии	сигнала	в і-м канале —
fi	(hi) и /і (hi, S-ї)-	Функции	f0 (l2i, g2)	и / j (12(,	g2) зависят от от

ношения сигнал/шум на второй ступени g2. Величину g2 будем считать одинаковой для всех каналов. Примем, что все величины hi,---*hm, hi,---, hm взаимно независимы, когда установлено, в каких каналах присутствуют сигналы, а в каких отсутствуют.

Для краткости совместную плотность вероятности величин 1п,...,

h т

будем

записывать

в виде / (lj) и называть плотностью

вероятности

вектора

l j , а 7/г-мерный интеграл

от этой плотности по некоторой

области

будем

записывать в виде

f(h)dli,

где

<І1Х =

dZjj.

і.єи

вектора

і=і

он

Если интеграл берется по всему пространству

l l t то

записывается

в виде

^ / (lt )

Аналогичные

записи

будем де-

лать и для вектора 12 .

мы рассмотрим, промежуточное

Во

всех процедурах, которые

решающее

правило определяется

виде

детерминированной

функции g2

(lj) вектора

1г. Все пространство вектора I j может быть

разделено

на

две

области: £ / 0 , где

= 0,

Us,

где

g2 > 0.

Если

h £ Ug,

то

окончательное

решающее

правило

строится

посредством

разбиения

пространства вектора

1 2

на некоторые

об

ласти, причем это разбиение зависит

от значения вектора 1х внут

ри области Ug. Окончательное решение принимается в зависимости


от	того, в какую область попадет		вектор	12 . Область		U0, где
gz	= 0, также разбита на части,	и,	если 1х	£ U0, то решение при
нимается в зависимости от того,		в какую часть			попадет вектор 1Х .
	Рассмотрим ряд постановок	задач и найдем			для них	логиче

ские схемы оптимальных двухступенчатых процедур, которые обеспечивают экстремум функции Лагранжа.

Двухступенчатое многоканальное обнаружение одного сигнала без указания канала

Допустим, что на входе приемника может присутствовать только один сигнал, причем с равной вероятностью он может ока заться в любом канале. Требуется проверить гипотезы На о

его отсутствии и Нх	о его наличии, не указывая при этом канал,
в котором сигнал	находится. Мы имеем задачу проверки двух

простых гипотез, и для построения оптимальной двухступенча той процедуры можем воспользоваться методами, приведенными в главе 5.

Отношение правдоподобия двух выборок, которое нужно вы числить для принятия окончательного решения, выражается через

скалярное произведение векторов l t и 1., [11:
		І=І
Отношение правдоподобия			первой			выборки равно
m
Zi = ^ r 2 A i .							(7-60)
т i=i
Функция а (lx, g2), необходимая для построения							оптимального
промежуточного		правила,	имеет		вид
			X	cty	( l i , g2).		(7.61)
a (lx, g2) =	%	go) — -g-		cty	( l i , g2).		(7.61)
Функции	я у	(lx, g2) и	a y	(\x, g2)		представляют	собой вероят

ности события I j > Xp при фиксированных \ и g2, когда верны ги

потезы Нх	или	Н0 соответственно.	Укажем	способ построения
этих функций.
Пусть	верна	гипотеза Нх. Это	означает,	что сигнал присут

ствует, причем вероятность того, что он окажется в г-м канале, равна

		I	I	т
	2	ht
	k=l
Обозначим через Pt				(lx, g2)	вероятность			события I ^> XF,	когда
сигнал	присутствует в			і-м канале, і =			1,..., т. Если g2		0,	то
			т	X
1^>Хр,	когда		2 Pkhk	^> —»	П Р И	э т	о м	величины	12х,...,12т
			fc=i	1
случайны,		независимы,		l2i имеет плотность вероятностиД (l2i,						g2),
а 12к,	к =f= і,		имеет плотность		/ 0 (l2h,	g2). Если g2 = 0, то			Pt	(lx,
0) = 0,	когда		lx <^XF,	и Pt (\х, 0) =		1, когда 1Х > Яр.

Функция

я у

g2),

очевидно,

равна

"у

fli,

ft)

А*** (її,

ft),

(7.63)

Пусть

теперь

верпа гипотеза

Если g2

^> 0,

то

функция

а у

( l x , g2 )

представляет

собой не что

иное, как

вероятность

собы-

ти я 2

hihi

^> '"•'W, когда все величины

Z.,;, і = 1,..., иг, имеют

плот

і в

ность вероятности /о (Z2 i , g2 ). Если

g 2

то ау

(\и

0) =

когда

< X F и

а у (І,, 0)

когда 1Х

Л,^.

а у

Мы

видим,

что

процесс

вычисления

функций

Pi (1х , g2 ) и

(1ц

ft) П Р И

^> 0

состоит

в оценке сумм

независимых

слу

чайных величин, что в общем случае представляет собой нелегкую задачу.

Двухступенчатое многоканальное обнаружение одного сигнала с указанием канала

Рассматриваемая здесь процедура отличается от предыдущей лишь одним условием, которое состоит в том, что в случае решения о наличии сигнала требуется указать канал, в котором он нахо

дится. Таким образом, требуется проверить т +

1 гипотез: ги

потезу

Н0:

«сигнал

отсутствует», гипотезу Нх:

«сигнал

присут

ствует в первом канале»,

гипотезу

Ит:

«сигнал присутствует

в т-м канале».

Двухступенчатая

процедура здесь также строится на векто

рах 1х и 12 . Пространство

вектора I , здесь разбивается на т +

областей

£/°(li),

U1 ( l i ) , . . . ,

(І^Г

когда

lxeUe

Область Z70, где g2

= 0, также разбивается иа

т +

областей

U°0, Z7J,

U™.

Гипотеза

принимается в

том случае,

если

І! б иг0

или

Іх Є Ug

и 1 2 б

Ui (1х ).

Пусть

1х

и g2

фиксированы и пусть Р ц (]х,

g2)

—

вероятность

принятия гипотезы Hj, когда верна гипотеза Ні,

і, / =

0, 1,..., т.

Если

І і Є ^ о ,

т -

е.

g2 =

то

Pij (lx, 0)

= 1,

когда

1± £ (Р0,

И РЦ (її,

[0) =

когда

1х

$ Z/j. Если ^

£ Z7g,

т. е.

g 2

то

^ ( l i , f t ) =

/ i & . f t ) * 1 * .

( 7 - 6 4 )

1 = 6 ^ ( 1 , )

где /І (12 ,

g2 ) — плотность

вероятности вектора 12

при условии, что

верна

гипотеза

Ні,

і = 0, 1, ... ,

т.

Введем 2т + 2 показателей процедуры: F — вероятность при нятия одной из гипотез Нт, когда верна гипотеза Н0 (это событие назовем ложной тревогой); Mt — вероятность принятия гипотезы Н0, когда верпа Ht, і = 1,..., т (это событие назовем

пропуском

сигнала);

(3; — вероятность

принятия гипотезы

II j,

/ ф

О и і =f= і, і огда

іериа

г =

1,..., т (ошибочное указание

канала); Е0 (g2) — среднее отношение сигнал/шум при

условии,

что

верна

гипотеза Я 0 .

Найдем

эти

показатели.

Если

задаться

условием, что 1х и g.2

фиксированы, то вероятность

ложной тревоги равна 2

Р<н Gi, §z)-

Для

того

чтобы

найти безусловную

i = l

ложной

вероятность

тревоги F , следует усреднить это выражение по 1Х, имея в виду,

что

g 2 =

g2 (1х )

является функцией

от ] х . Имеем

Р = \ 2^(1і,^)/о(1і)й1х,

(7.65)

І 1 1 = 1

где

/ 0 (lj) — плотность

вероятности

вектора

1х при гипотезе

Н0.

С помощью аналогичных рассуждений получаем остальные

показатели:

Af j =

J l>t 0

Д Oi)

i =

l,...,m,

(7.66)

її

Gi =

2 РІЧ ОХ, ft) / І

fli) і = 1, . . . , m, к ф і,

(7.67)

ft=i

где

ft (ly) — плотность

вероятности

1г

при гипотезе

Ні,

E0(g2)=\gAh)f0(h)dl1.

(7.68)

Рассмотрим условно-экстремальную задачу с 2т -\- 1 усло

виями:

м и н {Е0 ( g 2 ) \F^bF,

My<bM,...,

Мт<

< Ь л , , Є 1 < Ь с , . - . , Є т < 6 с } ,

(7-69)

где

6м, &ц — заданные

величины.

Существенное значение в этой задаче имеет тот факт, что к величинам Mi и G; для различных каналов предъявляются оди наковые требования. В силу этого обстоятельства, а также учи тывая идентичность каналов, примем, что множители Лагранжа, стоящие перед всеми Mi, равны одной и той.же величине Хм, а перед всеми Gi — одной и той же величине XG- Функция Лагран жа имеет вид

тт

L=EQ (g2) + X F F + Хм 2	МІ + XG 2 Gt - A ,	(7.70)
i = l	i = l

где Л = Xpbp -f- тХмЬм -\- mXGbG.

Подставив сюда значения показателей, после несложных преобразований получаем

L	=	J A ( l l f g2)			U ( У Лі +			пЛе -	Л,	(7.71)
где
4	( l l f	ft) =		£s	+	7)1		W 2 i ) / о ( U , f t ) d l a		4
4	( l l f	ft) =		£s	+	2	\	W 2 i ) / о ( U , f t ) d l a		4
						І =І ьєичі»)
			+	J			-	A g ) г/0	(i2 ,-g2 ) d i 2 ,	(7.72)
если	ft >		О,	а при		ft	= 0
i 4 ( l l s		0 )	=	m (XM — XG) llt				если	І! б Ul,	(7.73)
i 4 ( l l s		0 )	=	XF	— XG		J l b если її б C/0> г = 1 , . . ., /ге.			(7.73)
				XF	— XG		J l b если її б C/0> г = 1 , . . ., /ге.

Здесь l и Zx определяются выражениями (7.59) и (7.60). Из (7.72)

вытекает оптимальное		правило	разбиения пространства	вектора
12 на области U0	(\г),	Vі (li), ... ,	Um (1х ). Для каждого 12	должны
быть определены	величины т (Хм — XG) I, Хр — Ха 1ц1<ц,..., Хр —

— XQ l i m l i m и найдена минимальная из них. Если первая величина

минимальна, то точка				12 относится к области U0			(1Х); если вторая
минимальна, то к области U1					(\г) и т. д.
	Оптимальное значение ft для каждого 1г может быть найдено
путем		отыскания минимума			функции	А (1^ g2)	но g2	(g2 > 0).
Если функция g2 (1а)				построена и при		этом определена		область
Ua,	где g2 =		0, то разбиение		области U0 производится аналогич
ным способом.			С этой целью вычисляют величины 771 (Хм — XG) 1г
Хр — XGln,...,			Хр — XGllm	и находят минимальную из них. Если'
первая		минимальна, то 1 1 х £			если	вторая	минимальна, то
І! б	Ul	И Т.	Д .

Заметим, что в общем случае практическое вычисление функ ции А может встретить затруднения, поскольку оно связано с вычислением m-мерных интегралов. Задача может быть упроще на, когда Хм — XG. В этом случае, как видно из (7.72), оконча тельное решающее правило состоит в следующем. Для всех кана


лов вычисляют произведения lxil2i.					Пусть (ІЦІ2І)М		=	макс	[Іц12і,..-,
hmhm)	— максимальное		среди		них,	причем оно		соответствует
г-му каналу. Если (1ц1ц)м				^> Xp/XG,		то принимают решение о
том, что сигнал присутствует				в г-ы канале. Если			(ІЦІ2І)М<С		Хр/Хц,
то принимают решение об отсутствии сигнала.
При	Хм = XG	третий	член в правой части				(7.72) исчезает и
путем несложного		преобразования второго члена						(7.72)	приво-

дится к

виду

A (Ix, g2 )

= g 2 + X,

[ 1 -

g,)]

be 2

*н

^) П

( " Т ^ . ft) dZ2 i )

(7.74)

1=1

- i

l f t

где

ft) = 5 / о

(7.75)

— интегральная функция распределения величины l2i

при

от

сутствии сигнала в i-u канале.

В точке

g 2 =

0 значение

функции А (1Х , 0) зависит от макси

мального

значения

1ц

по

і:

{1ц)м =

макс U u , . . . ,

i l

m ] . Если

( i « ) « < 4 £ - ,

то

A ( l l f

Если

( Z a

l ) M > ^ , то

(1„ 0)

=XF — Ха (1ц)м-

	Если интеграл	(7.75) «берется», т. е. может быть представлен
в	элементарных функциях, то для определения функции A ( I x , g2 )
в	любой точке g 2	^> 0 требуется вычислить т однократных	ин
тегралов.
	Двухступенчатое многоканальное обнаружение
	многих сигналов
	Допустим, что во многих каналах одновременно могут поя
виться сигналы,		причем в каждом канале сигнал может	при

сутствовать с вероятностью р независимо от других каналов. Величина р предполагается известной. Требуется обнаружить сигналы и указать каналы, в которых они находятся.

Процедура обнаружения, как и раньше, строится на векторах 1Х и 12 . Промежуточное решающее правило задается в виде функ ции g 2 (lj). Окончательные решения во всех каналах принимаются независимо друг от друга, причем решение о наличии сигнала в і-м канале принимается, если Іціц ^> с, а об отсутствии сигнала,— если Іцкі < с, где с — некоторыйпорог. При g 2 = 0 решения принимаются по этому же правилу, но при этом следует считать,


что l2i		= 1.
	Пусть		1ц и g 2		фиксированы и пусть я у (1ц, g2 ) — вероятность
события			Іцкі	^> с, когда		в t-м канале сигнал присутствует, а
а у	(lu,	g2) — вероятность				этого		же события,		когда в і-м канале
сигнала			нет.	В	точке g 2	=	0	эти	функции	равны я 7 (1ц, 0)	=
=	ССу (1ц,		0) =	0,	ЄСЛИ	1ц	< [ С,		И Я у (1ц,	0) = <Ху(1ц, 0) =	1,

если 1ц ^> с.

Найдем среднее число правильно обнаруженных сигналов в одном эксперименте Qn. Очевидно, что среднее число событий пра

вильного	обнаружения в і-м канале в одном эксперименте		равно
p D i , где	Di — вероятность события	^> с, когда в і-м	канале
присутствует сигнал. Тогда
	m
<?П =	Р 2 А -		( 7 - 7 6 )

i=l

Среднее число ложно обнаруженных сигналов в одном экспе

рименте определится		соотношением
	т
Qn	= (i-p)yZFi,			(7 . 77)
	г = 1
где Ft	— вероятность	события lyi^i	] > с, когда	в і-м канале	от
сутствует сигнал.
Рассмотрим три случая; когда в			і-м канале	присутствует	сиг

нал, когда в і-м канале отсутствует сигнал, когда факт присут ствия сигнала не установлен (он может присутствовать с вероят ностью в р). Во всех трех случаях факты присутствия сигналов в остальных каналах не устанавливаются. Плотности вероят

ности	вектора			1х	в	этих	случаях		обозначим соответственно	через
/ І (її).		/ І ( У . / ( * І ) -				Эти	функции		равны:
					т
A(\i)		=	ft(hd		П	lP/i(i) +			( l - p ) / o ( J i k ) ] , / = 1 , 0 ;	(7.78)
			m
/(її)		=	П	\Ph (h*) +			( 1 -	P) fo ( * « ) ] •		( 7 . 7 9 )
			Л = І
Далее		имеем
A	=	S % (Zl i t			gz) ft (h) diu			Ft =	J a y (Zu , gu) ff ( 1 0 dh.	(7 . 80)
		i.							ь

Математическое ожидание отношения сигнал/шум на второй ' ступени Е (g.2) равно

^ ( f t ) = S ^ / ( l i ) d l x .	( 7 . 8 1 )
і .

Для		задачи макс {<?п \| <?л <				Ья, Е (g2) <	Ъе},
где	Ъл	и Ъе	— заданные		числа, функция		Лагранжа имеет вид
L	=	<?п -	Хл	(<?л - Ья) -	Xg	(Е [gt) - Ьй)	=
	= J A		g i ) f ( l i ) d l i - f М л + M > g ,				( 7 . 8 2 )
	її		m
			m
Л (її,		ft) =	2	РІЦ« (и,	ft) -	Kg*,	( 7 . 8 3 )

i»=l

Pi =	p/iphi	+	1—P),		%л ( l -				(7.84)
a (hi,	ft) =	%		ft)	%л ( l -	a y ( Z u , f t ) -			(7.85)
a (hi,	ft) =	%	(hi,	ft)	zr	a y ( Z u , f t ) -			(7.85)
Учитывая,		что			/"и
Учитывая,		что					CO
			со			а-	CO
			со
							J	fo(hi,g2)dl.
						'<r(hugi)=	J	fo(hi,g2)dl.
							cil\i
находим, что оптмальное значение порога равно с =								Ял (1 — р)/р.
Функции a (Z l b			g2 ) могут быть			построены с	помощью		рабочих
характеристик		одноступенчатой				процедуры;	этот	способ	описан

в	главе 5.	Процедура поиска оптимального значения g2 при лю
бом фиксированном векторе			1х сходна с процедурой поиска	gt
в	обычной	задаче проверки	двух простых гипотез. Отличие	со

стоит лишь в том, что в задаче проверки двух гипотез ищут макси

мум	выражения		1ха (1г, g2) — Xgg2,	а в рассматриваемом	случае
слагаемое		1ха (1г,	g2 ) заменяют	взвешенной суммой	величин
hta	(hi, ft)	с коэффициентами р{.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков. Выделение сигналов на фоне случай

ных помех. М., «Советское радио», 1960.

2.К. Хелстром. Статистическая^теория обнаружения сигналов. М., ИЛ, 1963.

3.Б. Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехжжкж. М.,

«Советское радио», 1969.

«4 . А. Е. Башаринов, Б. С. Флейшман. Методы статистического последова тельного анализа и их радиотехнические приложения. М., «Советское радио», 1962.

5.Ю. Б. Кобзарев, А. Е. Башаринов. Об эффективности алгоритмов поиска, основанных на методе пробных шагов управляемой длительности.—

Радиотехника	и электроника, 1961, 6, № 9, 1411.
6. Э. М. Хазен.	Методы оптимальных статистических решений и задачи
оптимального	управления. М., «Советское радио», 1968.

7.И. Н. Кузнецов. Выбор времени наблюдения в радиолокационной систе ме поиска при фиксированном времени осмотра ячейки.— Радиотехника

и электроника, 1964, 9, № 3, 418.

8.В. П. Перов. Оптимальное распределение энергии при обнаружении сигналов по критерию Неймана — Пирсона.— Изв. А Н СССР. Техни

ческая кибернетика, 1963, № 2,		52.
. 9. В. В. Акиндинов.	Относительная	эффективность оптимального алгорит
ма многоэтапного	поиска.— Изв. А Н СССР. Техническая кибернетика,
1966, № 4, 34.

10.Финн. Новый подход к проблеме последовательного обнаружения в ра диолокационных системах с фазированными решетками.— Зарубежная радиоэлектроника, 1964, № 8, 18.

11.А. А. Трухачев. Двухэтапное обнаружение при статистически зависи

мых этапах.— Радиотехника и электроника, 1967, 12, № 7, 1270.

12.Ю. Б. Синдлер. Двухэтапная процедура обнаружения без квантования сигнала по уровню.— Радиотехника и электроника, 1966, 11, № 6, 996.

•13. Ю. Б. Синдлер, Л.П.Вилкова. Оптимальная двухэтапная процедура обнаружения медленно флуктуирующего сигнала при когерентном прие ме.— Радиотехника и электроника, 1969, 14, № 9, 1950.

О Г Л А В Л Е Н И Е

Предисловие				5
Введение				7
1. Краткая историческая справка				7
2. Условия применимости методов одноступенчатого, двухступенчато
го и последовательного анализа				9
3. Методы расчета двухступенчатых процедур				11
4. Байесовские и условно-экстремальные задачи . . . •				13
Литература				15
Глава 1. Метод множителей Лагранжа
1.1. Точечные множества. Выпуклые множества и функции				17
1.2. Вполне аддитивные вектор-функции				22
1.3. Метод множителей Лагранжа. Общие положения				22
1.4. Условно-экстремальные задачи со строго выпуклыми множества
ми и их геометрическая интерпретация				26
1.5. Задачи с нестрого выпуклыми и дискретными множествами. За
дачи с нежестко заданными условиями				36
Литература				40
Глава 2. Некоторые задачи	двухступенчатого		апалнза
2.1. Задача проверки двух гипотез				41
2.2. Задачи двухступенчатого оценивания при наличии мешающего
параметра		.'		44
2.3. Задачи двухступенчатого поиска н обнаружения				51
2.4. Усеченные последовательные процедуры . . . "				59
2.5. Некоторые вопросы методологии исследования				63
Литература				65
Глава 3. Классификация процедур двухступенчатого анализа, пред
назначенных для проверки двух гипотез
3.1. Введение. Основные элементы процедуры				66
3.2. Класс рандомизированных процедур, имеющих переменный объем
второй выборки				72
3.3. Класс детерминированных		процедур, имеющих переменный объем
второй выборки				75
3.4. Два класса процедур	с	упрощенными	логическими схемами	79
Литература			'.	81

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ