книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

работу. Поскольку отказы происходят редко, то проводить эти вы­ числения через малые интервалы времени невыгодно. Это трудо­ емко и малоэффективно. В этих условиях целесообразно принимать решения через достаточно крупные интервалы времени (по срав­ нению со средним интервалом между двумя соседними отказами).

4. Предположим, что производится радиолокационное зон­ дирование некоторого элемента пространства последовательностью сигналов. После посылки очередного сигнала в течение определен­ ного промежутка времени, необходимого для того, чтобы сигнал мог достигнуть цели и вернуться обратно, производится прием. В течение этого промежутка нельзя посылать следующий сигнал. Если дополнительно введено требование, чтобы длительность испытания не превышала двух — четырех указанных промежут­ ков, то в таком случае зондирование проводят с помощью малого

мальные значения параметров двухступенчатой процедуры. Часто расчет производят самым тривиальным путем — путем простого перебора параметров. Этот путь обычно требует трудоемких вы­ числений.

Многие стандарты планов двухступенчатого выборочного кон­ троля качества продукции были рассчитаны путем простого пере­ бора параметров. Одна из хорошо отработанных методик такого расчета содержится в [11]. В связи с трудностью перебора многих параметров (которая не устраняется даже при использовании современных ЭВМ) планы обычно упрощают. С этой целью про­ извольно устанавливают соотношения между отдельными пара­ метрами; например, объем выборки на второй ступени принимают равным удвоенному объему выборки на первой ступени и др.

нов. В основе этого метода лежит один из общих методов математи­ ческого программирования, известный под названием метода мно­ жителей Лагранжа. Изучая особенности задач двухступенчатого анализа, мы исследуем возможность их решения с помощью этого метода и разработаем конкретные алгоритмы вычислений.

Заметим, что метод множителей Лагранжа уже использовался ранее в некоторых конкретных задачах двухступенчатого анализа, а именно в задачах поиска [12] (см.также главу 2). Здесь мы

будем изучать его с более общих позиции и покажем, что его мож~ но эффективно использовать для решения широкого круга задач двухступенчатого анализа.

Поясним, как возникает возможность сокращения объема вы­ числительной работы при решении задач методом множителей Лагранжа. С этой целью рассмотрим следующий пример. Допу­

і = 1

причем /о и / І — известные функции.

что число комбинаций, подлежащих перебору, равно (С + 1)'". Если С и т — достаточно большие числа, то практически такой расчет трудно выполнить даже при помощи современных ЭВМ.

Для решения данной задачи можно воспользоваться и методом множителей Лагранжа. Для этого введем неотрицательную вели­ чину X и запишем выражение

гает минимума. Проверим, выполняется ли для этих значений

что полученный таким образом ответ не всегда является истинным решением задачи. В некоторых случаях данный метод дает не­ верное, в других случаях — верное,' а в третьих — приближен­ ное решение задачи. Условия, при которых эти обстоятельства имеют место, будут рассмотрены в главе 1. Здесь мы лишь отметим, что для многих задач двухступенчатого анализа данный метод позволяет получать точное или приближенное решение.

Оценим для нашего примера объем вычислительной работы в случае применения метода множителей Лагранжа. Мы произво­ дили перебор по параметру К, а при каждом значении к — перебор

чины С, то общее число вариантов, подлежащих перебору, равно

Экспериментатор всегда стремится выбрать наилучшую про­ цедуру для предстоящего эксперимента. Для того чтобы в понятие «наилучшая процедура» был вложен строгий смысл, необходимо задаться некоторым критерием качества. После этого можно при­ ступить к решению соответствующей задачи оптимизации.

Рассмотрим случай, когда эксперимент проводится с целью проверки некоторых гипотез. Широкое распространение получила так называемая байесовская задача оптимизации статистических процедур. Для постановки такой задачи требуется знание целого ряда характеристик, в том числе: а) априорных вероятностей того, что верны те или другие гипотезы; б) стоимости ущерба, который несет экспериментатор за неверные решения; в) стои­ мости наблюдений. В этой задаче наилучшей считается процеду-

pa, которая обеспечивает минимум байесовского риска. Байесов­ ским риском называют среднюю суммарную стоимость затрат на наблюдения и затрат, связанных с неверными решениями. Эта постановка на практике иногда встречает серьезные трудности, связанные с тем, что необходимые для нее характеристики частич­ но или полностью неизвестны.

Мы будем придерживаться другой известной постановки за­ дач, которую иногда называют условной или условно-экстре­ мальной. Сущность ее состоит в том, что вводят в рассмотрение некоторое количество показателей процедур и ищут такую про­ цедуру, у которой один из показателей достигает экстремума при условии, что остальные удовлетворяют определенным ограниче­ ниям.

Типичным примером условно-экстремальной задачи является

верки двух конкурирующих гипотез в случае, когда выборка имеет постоянный, заданный объем. Гипотезы обычно обозначают символами Н0 и Н1. В задаче Неймана — Пирсона фигурируют два показателя процедуры, вероятность а ошибочного принятия гипотезы Н1, когда верна Н0 (ошибка первого рода), и вероят­ ность (3 ошибочного принятия 7/0 , когда верна Нг (ошибка второ­ го рода). Наилучшая процедура определяется решением условноэкстремальной задачи: среди всех возможных процедур найти

когда выборки имеют непостоянный, а переменный объем. В таких задачах помимо показателей а и ^ обычно вводят еще две вели­ чины Е0 и Ех, представляющие собой средние числа наблюдений при гипотезах Н0 и Нг соответственно. Эти задачи обычно форму­ лируют следующим образом. Задан некоторый класс двухсту­ пенчатых процедур, и в этом классе требуется найти такую про­ цедуру, которая минимизирует значение одного из показателей,

часто оказывается возможным установить определенную связь. При некотором условии можно сформулировать байесовскую задачу, решение которой является одновременно решением и условно-экстремальной задачи. В таком случае можно сказать, что условно-экстремальная задача имеет эквивалентную байесов­ скую задачу.

Как мы уже говорили, для решения условно-экстремальных задач часто применяют метод множителей Лаграижа. Во многих случаях этот.метод позволяет свести решение задачи к поиску экстремума некоторой линейной комбинации показателей, обыч­ но называемой функцией Лаграгока. Для приведенной выше зада-

чи с четырьмя показателями эту линейную комбинацию можно записать в виде

ровать как байесовский риск (6), если множителям Лагранжа

существует функция Лагранжа с положительными множителями,

производить поиск экстремума линейной комбинации показате­ лей при фиксированных коэффициентах и поиск значений самих коэффициентов. Линейную комбинацию при этом можно интер­ претировать и как байесовский риск, и как функцию Лагранжа. Мы будем придерживаться исключительно последней интерпре­ тации. Другими словами, мы не будем сводить условно-экстре­ мальные задачи к байесовским, а будем решать их непосредствен­ но, как таковые, пользуясь методами современного математиче­ ского программирования. Такой подход оказывается весьма пло­ дотворным нри разработке алгоритмов вычисления параметров оптимальных статистических процедур с помощью ЭВМ.

Заканчивая введение, поясним термин «оптимальная статисти­ ческая процедура», которым мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем. Этот термин мы используем для обозначения двух различных понятий; оптимальной будем называть процедуру: а) являющуюся решением условно-экстремальной задачи и б) обе­ спечивающую экстремум функции Лагранжа. Ниже каждый раз в случае необходимости будем указывать, какое из этих понятий используется.

4.А. Валъд. Статистические решающие функции.— В сб.: Позиционные игры. Под ред. Н. Ы. Воробьева н др. М., «Наука», 1967.

5.10. Б. Кобзареа, А. Е. Башаринов. Об эффективности алгоритмов по­ иска, основанных на методе пробных шагов управляемой длительно­

9.G. B. Wetherill. Sequential methods in statistics. London, 1966.

10.Финн. Новый подход к проблеме последовательного обнаружения в ра­

Г л а в а і

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

В настоящей главе излагается математический аппарат, ко­ торый будет необходим нам в дальнейшем. Основу этого аппарата составляет метод множителей Лагранжа, который, как было отме­ чено выше, получил в последние годы значительное развитие и в настоящее время является одним из основных методов совре­ менного математического программирования. Прежде чем из­ лагать этот метод, мы приведем необходимые сведения из теории выпуклых множеств.

1.1. Точечные множества.

Выпуклые множества и функции

пространства можно представить вектором z , составляющие кото­

обозначать большими буквами. Запись z £ Z означает, что точка z принадлежит множеству Z.

Для нас всякий раз будет существенно, сколь близко располо­ жены друг к другу отдельные точки в множестве Z. Мы часто будем рассматривать множество, представляющее собой некоторую сплошную область в многомерном пространстве. В общем случае наше множество может состоять из нескольких областей. При­ мером может служить множество точек, принадлежащих одной или нескольким геометрическим фигурам на плоскости (рис. 1).

Точки множества Z могут быть внутренними и граничными. Точка называется внутренней, если все точки, находящиеся внутри сферы некоторого радиуса с центром в данной точке, принадлежат данному множеству Z. Если сферой окружить граничную точку, то сколь ни мал был бы ее радиус, внутри сферы найдутся точки, не принадлежащие Z.

Среди граничных точек множества можно выделить так назы­ ваемые крайние точки. Точка z называется крайней точкой мно- Яі-ества Z, если в этом множестве нельзя найти две другие точки таким образом, чтобы соединяющий их отрезок прямой целиком

Гоз, публичная nv. уч но-гехни ЧЭС*&Я Ойблиогена С С О Р

ЧИТАЛЬНЭГО ЗАЛА

принадлежал множеству Z и проходил через точку ъ. Так, все граничные точки круга, изображенного на рис. 1, а также точки С, D , Е и F квадрата являются крайними. Точка Q не является крайней, так как отрезок, соединяющий точки С и D , принадле­ жит квадрату и проходит через нее.

Кроме множеств описанного типа будем рассматривать еще дискретные множества. Дискретным будем называть множество, состоящее из отдельных, изолированных точек.

Множество называется выпуклым, если оно обладает следу­ ющим свойством: все точки отрезка прямой, соединяющего любые две точки данного множества, принадлежат этому множеству. Так, множество точек, образующих круг па рис. 1, является вы­ пуклым. То же самое можно сказать и о множестве точек, обра­ зующих полукруг или квадрат. Множество же всех точек, принад­ лежащих кругу и полукругу, не является выпуклым. Не выпук­ лым является также множество точек, принадлежащих полуколь­ цу-

Естественно, что дискретное множество не может быть выпук­ лым. Действительно, отрезок, соединяющий две точки дискрет­ ного множества, всегда содержит точки, этому множеству не при­ надлежащие.

Выпуклое множество называется строго выпуклым, если в нем нельзя выделить отрезок прямой, целиком состоящий из гранич­ ных точек. Если на граничной поверхности выпуклого множества можно построить такой отрезок, то множество называют не строго выпуклым. Так, множество точек, принадлежащих кругу на рис. 1, является строго выпуклым, а множества точек, принадлежащих квадрату и полукругу,— не строго выпуклыми. На линиях, огра­ ничивающих последние две фигуры, можно выделить отрезки прямых, целиком состоящие из граничных точек.

Выпуклый многогранник в многомерном пространстве пред­ ставляет собой не строго выпуклое множество. С выпуклыми мно­ гогранниками мы будем иметь дело при изучении случайных величин с дискретными распределениями вероятностей.

В случае непрерывных распределений мы будем иметь дело с множествами, граничные поверхности которых частично явля­ ются плоскими, а частично искривленными. Примером в случае двух измерений может служить множество точек, образующих полукруг (рис. 1).

Введем теперь понятия выпуклых и вогнутых функций. Гео­ метрический смысл этих понятий иллюстрирует рис. 2. Кривая 1, определенная на интервале аг — Ь1г является выпуклой. От­ резок, соединяющий любые две точки этой кривой, расположен не ниже, чем дуга кривой 1, соединяющая эти точки. Кривая 2, определенная на интервале а2 — Ъ.г, является вогнутой. Здесь отрезок располо?кен не выше дуги. Линейная функция 3, опреде­ ленная на интервале а3 — Ь3, является одновременно и выпуклой и вогнутой.

Кривые вида 1 и 2 называют строго выпуклыми и строго вогну­ тыми соответственно. Здесь равенство ординат отрезка и дуги име­ ет место только в крайних точках отрезка. Ломаные линии 1' и 2' представляют собой не строго выпуклую и не строго вогнутую функции соответственно. При этом могут быть два случая: либо равенство ординат имеет место в крайних точках отрезка (отре­

то функция f{zm) называется выпуклой. Эту же функцию назы­ вают вогнутой, если выполняется обратное неравенство (знак ^ заменен знаком^) . Функцию называют строго выпуклой (строго вогнутой), если при 0 < ; е < 1 неравенство выполняется строго.

Выше мы рассмотрели ряд выпуклых плоских фигур. Нетруд­ но видеть, что их нижняя граница представляет собой выпуклую функцию, а верхняя — вогнутую функцию. Понятие нижней (верхней) границы точечного множества можно ввести и при про­ извольном числе переменных. Пусть задано множество Z, пред­ ставляющее собой некоторую область в (т + 1)-мерном простран-

стве. Допустим, что все точки этого множества имеют ограничен­

z0 может принимать различные значення. Точку с наименьшим (наибольшим) значением z0 назовем нижней (верхней) граничной точкой множества Z. Множество всех нижних граничных точек составляет нижнюю границу множества Z, а верхних — верхнюю границу этого множества.

Если множество Z выпукло, то его нижняя граница представ­ ляет собой выпуклую поверхность, а верхняя — вогнутую по­ верхность.

Выпуклой оболочкой [Z] множества Z называется наименьшее выпуклое множество, которое содержит в себе множество Z. Это понятие несколько расходится с принятым в обиходе понятием оболочки, которую рассматривают как граничную поверхность тела. В соответствии с приведенным определением выпуклая оболочка содержит кроме граничных также и внутренние точки.

Если множество Z является дискретным, то выпуклая оболочка

[Z]представляет собой выпуклый многогранник.

оси OzQ. Для таких гиперплоскостей параметр Я0 без ущерба для общности можно положить равным единице, а уравнение гипер­ плоскости записать в виде

два полупространства. Одно из них удовлетворяет условию z0 >

>b — M J . — ... — A,m zm ; это полупространство условно назовем

чество точек из Z лежит в гиперплоскости, а остальные — в одном из полупространств. Такую гиперплоскость будем называть опор­