книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

1-і, величина ау (X, п2) обозначает условную вероятность ошибки первого рода при фиксированном ly.

Предполагается, что правило приня­

Для того чтобы найти максимум фз'нкции A (lx, g2) по g%, про­ дифференцируем эту функцию по g2 и приравняем нулю производ­ ную. Имеем

Уравнение (5.11) представляет собой необходимое условие макси­

быть представлены как функции отношения Ха/1у (см. главу 4).

ёг C^Jh)- Этот факт можно использовать для облегчения расчетов. Так, например, если мы вычислили функцию g2 (ly) для некоторого значения Ха = Ха, то для другого'значения ^ а — ^ а функция полу­ чается простым преобразованием найденной функции путем изме-

нентш масштаба по осп 1± в KJXA раз. При этом предполагается,

что отношение К* — Aj/Aa и множитель Х\ остаются неизменными. При решении уравнений (5.11) и (5.12) относительно g2 мы мо­ жем получить несколько корней. В общем случае для каждого корня мы должны вычислить значения функции А (Z1( g2 ) и срав­ нить их между собой. Из этих корней следует выбрать такой, ко­

A (Zx, g2) известны, можно определить, какой корень нам нужен, не вычисляя функцию A (Zl t g„). Так, например, забегая вперед, укажем, что в задаче проверки двух простых гипотез при нор­ мальных распределениях получаются два корня, из которых всегда следует брать больший. В том слз'чае, если наблюдаемые величины имеют многомодальные распределения, число корней может полу­ читься больше двух. К сожалению, общих рекомендаций по выбору корней без вычисления функции A (Zx, g2 ) для всех задач дать нельзя.

После того как оптимальная функция g2 = g° (k) найдена, следует найти оптимальные значения границ 1п и /в (см. рис. 21). Уравнения для границ 1Н и ZB естественно получаются с помощью тех же рассуждений, которые мы использовали и в разд. 5.2 для оптимального разбиения пространства вектора X на три области:

то следует принять гипотезу Н0, не проводя второй ступени. Если

к

из трех указанных величин наибольшей является величина 1 — ^ - ,

ривать не будем. Мы будем исходить из предположения, что имеет место одно из двух условий, (5.17) или (5.19), но какое именно, заранее неизвестно. Условие (5.18) будем считать невозможным. Это означает, что средний объем второй выборки при гипотезе Н0 всегда лимитирует наши возможности; поэтому он равен допусти­ мому значению bl. Такое положение может иметь место, когда за­ данные величины bl и Ь\ удовлетворяют условию bj<^i b\.

Поиск решения следует вести таким образом. Сначала из усло­

При этом множители >\а и %1 должны быть положительными. Пусть sx — решение задачи (5.20). Далее следует проверить, выполняется ли для процедуры st условие Е\ (sx) <; Ъ\. Если да, то процедура sx является искомым решением задачи (5.15). Если нет, то следует решить задачу

При этом все три множителя должны быть положительными. Реше­ ние этой задачи является одновременно и решением задачи (5.15).

При поиске экстремума функции Лагранжа в задачах (5.20) и (5.21) оптимальное окончательное правило определяется способом, описанным в разд. 5.1; оптимальное промежуточное правило нахо­ дится одним из методов, приведенных в разд. 5.2 и 5.3.

Допустим, что наблюдаемые величины по-прежнему непрерыв­ ны и требуется построить оптимальную процедуру с постоянным объемом второй выборки. Пусть при этом объемы обеих выборок, пх и п2, заданы; варьируются правила, промежуточное и оконча­ тельное. Задача (5.15) для этого типа процедур может быть решена по схеме, которую мы привели для процедур с переменным объемом второй выборки и заданным значением Отличие состоит лишь в том, что вместо оптимального промежуточного правила п2 (X) здесь следует искать оптимальную ^область продолжения испыта­ ний ипг.

Мы рассмотрели два класса детерминированных процедур: класс 5 Д П 1 процедур с переменным объемом второй выборки и фик­ сированным значением щ и класс 5 Д П 1 „ 2 процедур с постоянным объемом второй выборки и фиксированными щ и п2. Задача (5.15) для этих классов может быть решена методом множителей Лагран­ жа точно (т. е. с той точностью, которую позволяют получить на­ ши вычислительные средства). Возможность получения точного решения обусловлена тем, что эти классы при непрерывных рас­ пределениях наблюдаемых величин отображаются на выпуклые множества в пространстве показателей 2Д П > и 2 д и і П і (см. разд. 1.4 и 4.3).

Допустим, что величины, которые мы наблюдаем в эксперимен­ те, дискретны. В этом случае задачу вида (5.15) для классов Smi и 5 д п , п , нередко удается решить, пользуясь методикой, которую мы изложили для непрерывных распределений. Несмотря на то, что множества Zant и ZmiTh дискретны и, следовательно, не выпуклы, применение метода множителей Лагранжа часто приводит к успе­ ху. Рассматриваемый случай отличается лишь тем, что задачи (5.20) и (5.21) здесь решаются не точно, а приближеипо.

Определим формально на примере задачи (5.20), что такое-точ­ ность приближения. Положим, что нам заданы величины ЬА и ЬГ0, а также величины Д а и Д£, которые будем на­ зывать допусками. Пусть ЪА и Ъ\ — некоторые числа, лежащие в пределах этих допусков:

хотя бы для одной пары значений ЬА и bj, удовлетворяющей усло­ виям (5.22). Тогда мы скажем, что задача (5.20) решепа с достаточ­ но хорошим приближением.

Не следует смешивать введенное понятие точности решения за­ дачи с понятием точности вычислений. Вопрос о точности вычисле­ ний мы здесь не рассматриваем.

Отметим некоторые особенности методики приближенного ре­ шения задачи (5.20) при дискретных распределениях наблюдаемых величин. Эти особенности характерны и для других условно-

Размер шага по обоим множителям следует выбирать таким образом, чтобы в процессе перебора опорная плоскость на не-

скольких соседних шагах (двух или более) касалась одной и той же точки множества Z. Другими словами, переход точки касания из одной точки пространства в другую должен происходить лишь после того, как она оставалась неподвижной в течение нескольких шагов перебора. Если шаг выбран недостаточно малым, то некото­ рые решения могут оказаться пропущенными.

В результате перебора мы получаем последовательность точек касания и соответствующую им последовательность процедур. Из этих процедур выбирается одна или несколько, имеющих коорди­ наты а и Е\, по возможности близкие к заданным величипам Ьа и Ъ\. Например, берется процедура, отображающаяся в точку В-

В процессе вычисления мы имеем возможность оценить величи­ ну скачков и сопоставить их с заданными допусками. Если скачки меньше допусков, то мы получаем искомое приближенное решение. В противном случае можем не получить приемлемого решения.

Использование подоптпмальных процедур

В некоторых случаях, когда размер скачков превышает задан­ ные допуски, удается повысить точность решения задачи путем использования так называемых «подоптимальных» процедур.

Мы условились называть оптимальной всякую процедуру s°, которая доставляет экстремум функции Лагранжа L (s, %). Пусть, например, процедура s° доставляет максимум функции Лагранжа

строго), имеет значение я (sx), меньшее, чем я (s°). Другими слова­ ми, все процедуры, лучшие s° в смысле показателей a (s) и E l (s), хуже s° в смысле показателя я (s). Это следует из (5.24).

По аналогии введем теперь определение подоптимальной про­ цедуры. Подоптимальиой назовем процедуру s°, для которой функ­ ция Лагранжа отличается от экстремума не более чем на заданную

Смысл этого определения можно пояснить следующим образом. Всякая процедура sx , такая, что a (Sj) ^ сс (s°) и Е\ (sx) ^ E l (s°) (причем хотя бы одно из неравенств выполняется строго), имеет значение я (%), меньшее, чем я (s°) + А. Другими словами, все процедуры, лучшие s° в смысле показателей a (s) и Ег0 (s), имеют значение я (s), худшее, чем величина я (s°) + А.

Точность решения можно повысить, если в поиск включить не только оптимальные процедуры, но и подоптимальные. Поясним

в точки zj и z°. Мы найдем также значение множителя Лагранжа

Мы получим ряд подоптимальных процедур; их отображениями являются, например, точки z3 , z4 , z5 (рис. 23). Мы видим, что точки

и второй выборок не заданы, и поэтому поиск оптимальных про­

детерминированных процедур, имеющих постоянный объем второй выборки, и класс £ д детерминированных процедур, имеющих пере­ менный объем второй выборки.

Для того чтобы решить задачу (5.1) для классов S№ и 5 Д при непрерывных распределениях наблюдаемых величии, можно ис­ пользовать тот факт, что класс Sa представляет собой объединение

классов 5 Д „, со всеми допустимыми а класс 5д — объединение классов 5д„і 7 1 „ со всеми допустимыми п1пп2. Отображения классов «5д„, и і5д,1 і П . при непрерывных распределениях выпуклы.

Процесс вычислений для класса SK можно построить следую­ щим образом. Производят перебор по пх, и при каждом ?it решают задачу (5.15) для класса Smv пользуясь приведенной выше мето­ дикой. Решения, полученные при разных щ, сравнивают между собой и из них выбирают лучшее. Процесс вычислений для класса £д строят аналогично, однако здесь перебор производят не по од­

Как уже отмечалось, в тех случаях, когда распределения наблюдаемых величин дискретны, мы имеем дело с невыпуклыми множествами Z, и поэтому нельзя заранее (до решения задачи) определить, удастся ли получить приемлемое решение. Тем не менее если формально применить метод множителей Лагранжа, то возможности метода выясняются в процессе самих вычислений, причем нередко такой путь приводит к успеху.

Отметим две схемы решения задачи (5.1) для класса £ д при дискретных распределениях наблюдаемых величин. Одна из схем была описана выше; она состоит в комбинированном использова­ нии метода перебора и метода множителей Лагранжа. В этой схеме цикл перебора объемов выборок, пг и тг2, включает в себя циклы перебора множителей Лагранжа. Во второй схеме, наоборот, цикл перебора множителей Лагранжа включает в себя циклы перебора величин )1г и п2.

Приведем в качестве примера методику решения задачи

процессе которого стремятся найти такие их значения, при которых а и 6 отличаются от Ъа и брне более чемна заданную величину А. Если такие значения найдены, то задача (5.27) считается решен­ ной. Для того чтобы определить а и Р при каждой паре значений Яа и Яр, производят вычисления по пп. 2 и 3, приведенным ниже.

2. Методом перебора находят такие значения пх и п2, при кото­ рых функция Лагранжа L = Е0 (п, s) — Яа [a (s) — ba] — Яр fp (s) — bp] достигает минимума.

3. При фиксированных щ и п2 определяют оптимальные области U°o, U\ и С/П1, пользуясь графоаналитическим или численным мето­ дом (см. разд. 5.2).. После того как области определены, вычисляют показатели a (s), р (s) и Е0 (п, s), а также функцию Лагранжа.

где bl = b0 — n-y] E l (s) — средний объем второй выборки при гипотезе Нй\ Smi — подкласс класса Sa с фиксированным пх. Затем решения, полученные при разных щ, сравнивают между со­ бой и выбирают лучшее.

тором функция Лагранжа достигает максимума, можпо использо­ вать графоаналитический или численный методы (см. разд. 5.2). Единственное отличие от рассмотренного ранее случая состоит в том, что здесь на графике функции а (X, га2) строится не прямая

иэкономике. М., «Мир», 1964.

3.Г. П. Кюпци, В. Крелле. Нелинейное программирование. М., «Советск е радио», 1965.

4.X. Удзава, К. Д. Эрроу и др. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М., ИЛ, 1962.

5.Дж. Хедли. Нелинейное и динамическое программирование. М., «Мир», 1967.