книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Первый и второй начальные моменты числа наблюдений рав­

ны:

Таким образом, мы получили уравнения, решение которых дает

таких значениях 1Х12 третья ступень наблюдения никогда не прово­

(2.57). Для нее интервал изменения аргумента запишется в виде

иые аналитические выражения. Раскрывая (2.57), получаем

вые данные в (2.66), получаем уравнения для порогов сг и с2 (см. (2.61) и (2.62)):

2.5. Некоторые вопросы методологии исследования

В разд. 2.2—2.4 мы рассмотрели ряд типов статистических экспериментов и описали отдельные процедуры, с помощью кото­ рых можно выполнять эти эксперименты. Мы определили логи­ ческие схемы процедур, а также параметры и функции, которые подлежат варьированию. Тем самым мы фактически определили некоторые множества (классы) процедур. Например, в разд. 2.2 мы рассматривали класс двухступенчатых процедур оценивания, каждая процедура которого характеризуется некоторым фиксиро­ ванным значением объема первой выборки /гх и некоторой целочис­ ленной функцией п2 (s2 ). Для каждого типа экспериментов мы вве­ ли в рассмотрение некоторое количество показателей процедуры и сформулировали условно-экстремальную задачу. Мы нашли алгоритмы, с помощью которых можно вычислять экстремум ли­ нейной комбинации показателей (функции Лагранжа), а также оп­ ределять процедуры, которые обеспечивают этот экстремум. Как следует из главы 1, процедуры, полученные с помощью этих ал­ горитмов, являются оптимальными в том смысле, что в рассмат-

риваемых классах пе существует процедур, которые были бы не хуже найденных по всем показателям и хотя бы по одному показа­ телю лучше.

Эксперимент, предназначенный для одной и той же цели (оценивание, поиск и т. д.), может иметь различную структуру, т. е. может быть построен по различным логическим схемам. Так, например, в разд. 2.3 был описан ряд логических схем процедур поиска объекта. Для каждой схемы можно ввести различные допу­ щения, касающиеся выбора ее параметров. В зависимости от при­ нятой структуры и принятых допущений мы будем получать про­ цедуры, имеющие различные свойства, характеризующие их с точки зрения экономичности, достоверности статистических вы­ водов и простоты их практической реализации. Допустим, напри­ мер, что мы выполняем ряд двухступенчатых экспериментов поис­ ка объекта по любой из схем разд. 2.3 и во всех экспериментах распределения вероятностей наблюдаемых величин неодинаковы. В некоторых случаях для простоты применяют во всех экспери­ ментах процедуры с одинаковым отношением длительностей набоюдения на первой и второй ступенях. В других случаях эти от­ ношения делают разными и для каждого эксперимента находят оптимальное значение отношения длительностей. Такие процеду­ ры более эффективны, но их труднее реализовать.

,v Таким образом, необходимым этапом исследования процедур

любого назначения является их классификация и сопоставление между собой с точки зрения экономичности, достоверности стати­ стических выводов и простоты реализации.

Для расчета оптимальных двухступенчатых процедур мы ис­ пользовали один из общих методов математического программиро­ вания — метод множителей Лагранжа. Как было показапо в гла­ ве 1, этот метод в общем случае позволяет получить решение задачи, если множество процедур рассматриваемого класса отобра­

Функция Лагранжа в каждой задаче имеет свои специфичес­ кие особенности, которые полезно знать при построении алго­ ритма решения. Исследование свойств функции Лагранжа явля­ ется также необходимым звеном при изучении процедур.

Метод множителей Лагранжа во многих случаях дает только приближенное решение задачи. При этом возникает необходи­ мость изучения вопросов, связанных с точностью решения.

Рекомендуя какой-либо метод для решения задач определен­ ного типа, мы должны быть уверены, что метод не приведет к вы­ рожденным решениям. Так, например, в ряде задач ставится во­ прос об отыскании некоторой неотрицательной функции (приме­ ром может служить функция п2 (s2) в задаче двухступенчатого оценивания). На эту функцию мы не накладываем формально ог-

Г л а и а 3

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЦЕДУР ДВУХСТУПЕНЧАТОГО АНАЛИЗА, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ДВУХ ГИПОТЕЗ

3.1. Введение. Осповные элементы процедуры

В этой главе мы продолжим начатое в разд. 2.1 изучение проце­ дур двухступенчатого анализа, предназначенных для проверки двух гипотез. Мы рассмотрим основные классы двухступенчатых процедур, приведем логические схемы, по которым они строятся, и определим их показатели.

Заметим, что логические схемы многоступенчатых процедур в наиболее общем виде рассмотрены в [1].

В разд. 2.1 была приведена формулировка задачи оптимизации двухступенчатых процедур, в которой учтены четыре показателя: вероятности ошпбок первого и второго рода, а также математиче­ ские ожидания числа наблюдений при обеих гипотезах. В некото­ рых случаях может возникнуть необходимость припимать в рас­ чет моменты числа наблюдений не только первого, но и более высо­

2)правило определения объема выборки на второй ступени по результатам испытания, полученным на первой ступени;

3)правило принятия одного из альтернативных решений, ког­ да эксперимент окончен.

Правило, указанное в п. 2, будем называть промежуточным решающим правилом, а в п. 3 — окончательным решающим пра­ вилом.

Рассмотрим указанные элементы подробнее.

промежуточного правила, предназначенного для выбора п% в пре­

ное правило построено на статистике т п (X), если оно может быть представлено некоторой функцией этой статистики: ?г2 — А (^п)- Заметим, что статистика т п (X) может быть как одномерной величиной, так и вектором. Последний случай мы рассмотрим в

разд. 7.4 и 7.5.

Если функция т п (Х) является одномерной или двумерной и мо­ жет быть представлена в аналитическом виде, то использование этой статистики при построении промежуточного правила позво­ ляет сильно упростить процедуру и облегчить задачу ее оптимиза­ ции.

В общем случае построение промежуточного правила на статис­ тике т п (X) может привести к ухудшению показателей процедуры по сравнению со случаем, когда правило построепо па полной вы­ борке X. Часто, однако, оказывается возможным найти такую ста­ тистику Тд (X), что ухудшение показателей не имеет места. До­ пустим, что при решении задачи вида (2.4) мы пашли опти­ мальное промежуточное правило, построенное на полной выбор­ ке X, и это правило может быть представлено в виде функции

некоторой статистики Тц (X) : ?г2 = Д (тп ). Это означало бы, что

быть в одних случаях детерминированной, в других — случай­ ной. Промежуточное правило будем называть детерминированным, если при всех X функция пг — f (X) является детерминированной. Если хотя бы при одном значении X функция 7гг = f (X) является случайной, т. е. с некоторыми вероятностями может принимать различные значения, то промежуточное правило будем называть р андомизир ов энным.

При рандомизированном промежуточном правиле определение величины п2 производится с помощью вспомогательного экспери­ мента, который проводится после первой ступени основного экс­ перимента. Вспомогательный эксперимент может иметь JV2 + 1 исходов: пг = 0,1, N2. Вероятность каждого исхода представ­ ляется как некоторая функция qn, (X). Для любого X должно быть выполнено условие

N,

2 Яъ(Х) = 1-

пз=0

Промежуточные правила с постоянным и с переменным объемом второй выборки

В литературе (см., например, [2—7]) широкое распространение получили двухступенчатые процедуры, в которых объем второй выборки при различных значениях X может иметь только два зна­ чения, причем одно из них равно нулю, а другое — некоторой вели­

в одноступенчатую. Функция п2 = f (X) при одномерном X имеет вид, изображенный на рис. 14.

Правила такого рода будем называть правилами с постоянным

В некоторых работах (см., например, [8—10]) рассматривается случай, когда при различных значениях X величина объема вы­ борки на второй ступени п2 может иметь число значений больше двух. Такие правила будем называть правилами с переменным объе­

мом второй выборки рассматриваются функции п2 = f (X) с лю­ бым числом значений, вплоть до N2 + 1. В примере на рис. 15 число таких значений равно семи.

значение. При этом будем иметь в виду, что для ?г2 = 0 функция Фо (X, Y) зависит лишь от выборки X.

Производится вспомогательный случайный эксперимент с двумя исходами: с исходом б 0 , который имеет вероятность 1 — фП г (X, Y ) , и с исходом 8Х, вероятность которого равна ф„2 (X, Y ) .

Окончательные правила, детерминированные п рандомизированные

Окончательное правило будем называть детерминированным, если при всех исходах испытания на первой и второй ступенях функции фп . (X, Y) (п2 = 0,1, N2) принимают только два зна­ чения: 0 и 1. Случайный эксперимент по принятию окончатель­ ного решения в этом случае вырождается в детерминированную операцию:

Окончательное правило будем называть рандомизированным, если хотя бы при одном значении X и Y и хотя бы при одном п2 функция ф„2 (X, Y) имеет значение, лежащее внутри интервала [0,1]. В этом случае решение является случайным.

Допустим, что имеется некоторая функция т0 (X, Y) и величи­ на ф„, представляет собой функцию ф„. = / (т0 ). В этом случае мы будем говорить, что окончательное правило построено на ста­ тистике т0 (X, Y ) .