книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

i = l

3=1

двухступенчатого анализа. Статистикой

х°0 (X,

Y) при этом мето­

де является

отношение Р1 (X, Y)/Pe

(X, Y ) ,

где

Р0 (X,

Y)

и

Рх (X, Y) — совместные вероятности выборок X и Y,

когда

верны

гипотезы Н0

и I I х соответственно. Напомним, что это отношение

называется отношением правдоподобия.

В некоторых случаях оптимальное окончательное правило мо­

жет быть представлено

в виде функции двух статистик, т\ (X)

и

(Y): (р°п, (X,

Y) — f

(т?, т"), причем т? является функцией толь­

ко выборки X,

а х\ — функцией только выборки Y.

Выше мы рассматривали статистику

х°а (X),

используемую

в

3.2. Класс

рандомизированных процедур,

имеющих переменный объем второй выборка

Процедуры этого класса строятся по следующей логической

схеме. Сначала извлекается первая выборка

X объема щ. Затем

вычисляются

функции qn„ (X), п2 = 0,1,

N2. Далее ставится

вспомогательный статистический эксперимент с N2

+

1 исходами

п2 = 0,1,

N2. Вероятности этих исходов равны

qni

(X). В ре­

римента) . Затем вычисляется функция cpna (X, Y) и ставится второй

вспомогательный эксперимент с двумя исходами, б = б 0

и 8 = 8lt

причем вероятность

первого исхода равна 1 — cpn, (X,

Y ) , а вто­

рого — фп . (X, Y).B

случае первого исхода принимается гипотеза

Я 0 , а в случае второго исхода — гипотеза

Нг.

Мы можем условно считать, что и при п2

= 0 проводится вто­

сит от того, какая из гипотез верна.

Напомним,

что выше мы ус­

ловились считать, что функция српз

(X, Y) при

п2

= 0' зависит

лишь от выборки X. Такой формальный прием дает

нам возмож­

п2

= 0 и

когда п2 ^> 0.

Очевидно, что последовательности функций дпг (X)

и срП а (Х, Y ) ,

-7Z-2

= 0,1,

iV2 , должны удовлетворять условиям

Яп> (X)

> 0, -2 qni (X) = 1, 0 < ф„2 < 1

(3.1)

Пз=0

и функциями qni (X), cpns (X, Y) (п2

= 0,1,

N2).

a (s),

Определим

для процедуры s

следующие

показатели:

Р (s), Е] (п2, s),

Е\ (п2, s), Е\ (п2,

s), E l (п2,

s). Рассмотрим

для

определенности случай, когда наблюдаемые величины

диск­

ретны.

Л,(Х).= | Р 0 ( Х , У),

P0(Y\X)

= ^ j P .

Суммирование в приведенной выше формуле производится по

всем возможным исходам Y.

В случае, если фиксированы реализации X,

n2l Y,

вероятность

принятия решения 8Х определяется функцией фп . (X,Y).

Совмест­

ная вероятность событий X, п2, Y

и принятия решения

8Х равна

произведению

фП 2 (X,

Y)

Р0

(X) qn„ (X) Р0 (Y\ X ) .

Просуммиро­

вав это выражение по всем

X, п2

и Y,

получим вероятность при­

нятия решения

8Х:

а

(*) = S S 2 Фп (X,

Y)

Р

0

(Y | X) q

n2

(X) Р

0

(X).

(3.2)

2

X п:

Y

этой гипотезы. Эти два события отличаются друг от друга

лишь

тем,

что

в первом случае

выборки X и Y имеют распределение

Р0

(X, Y ) ,

а во втором — Рх

(X, Y ) . Соответственно в первом случае

распределение выборки X и условное распределение выборки Y

при фиксированном X равны Р0 (X) и Р0 (Y \ X ) , а во

втором

Заметим, что при nz

= 0 имеет место

равенство а у (X,

п2) =

= я у (X,

п2).

Теперь выражения (3.2) и (3.3) принимают вид:

a (s) =

2 S

«у (X. «2)

<7n* (X)

(X),

(3.7)

я (s) =

1 -

р (s) = 2 2 я у (X,

щ) qni (X)

Р1 (X).

(3.8)

X

7 1 .

Приведем выражения для математического ожидания и среднего

верна гипотеза I I 0 ,

то

El К

s) = 2 2 " и " . (*)

(X),

(3.9)

#2 К

s) =

2

2

K i n - (X)

Pa

(X),

(3.10)

X

n.

а если верна гипотеза I I x ,

то

E\ (n 2 l s) = 2 2 n

^ p

i

(3 - 1 1 )

X

пг

E\ (n2, s) =

2

2

»2йя. (*)

Pi (*)•

(3.12)

X 712

Очевидно, что математическое ожидание и средний

квадрат

суммарного числа наблюдений п = гах

+

п2 можно выразить через

эти показатели:

Д к (п,

s) =

пг

+

Е\ {п2, s),

/с = 0,

1;

(3.13)

£ „ (n2 ,

s) =

п? +

2 ^

(«а, s) + Я? («2,

s).

(3.14)

одного наблюдения (лх = 1); выборка

Y может включать в

себя

не более двух наблюдений (N2

= 2); величина хх

может иметь во­

семь значений, а величины у1

и у2 — пять значений. Множество

значений х1 разделено на четыре подмножества,

Ua0, С/*J, С7Х

и С72.

Пусть U0 — объединение подмножеств

Ul и

U\. Если хх

£ U0,

вторая ступень эксперимента не проводится (п2

=

0), причем если

хх £ U%i принимается решение

б 0 , а если хг

£ UQ, принимается

решение бх .

Если хх Є UІ, на второй

ступени

проводится

одно наблюде­

ние (;?2 — 1) н мы получаем реализацию ух.

Таким образом,

при

% £ Uі. исходы эксперимента можно

изобразить точками (хх,

ух)

на

плоскорти ххОух. Пусть

Vx

— множество

всех точек. Выпук­

лая оболочка множества Vx

представляет собой'прямоугольник.

При проектировании множества Vx

на ось Охх

получаем множество

Ux.

Множество Vx разделено на

два подмножества, V[

и

V{; на

рис.

16 они отделены друг

от

друга

штрих-пунктиром.

Если

(хі>

Уі) б

принимается

реше­

ние

б 0 ;

если

(хх, ух) £ V\, прини­

мается решепие

Ьх.

Если хх £ U2,

на второй ступени

проводятся два наблюдения ( я 2 = 2 )

и мы получаем реализации ух и у2.

При

этом исходы

эксперимента

представляются точками (хх, ?д, у2)

в трехмерном

пространстве.

Мно­

жество

всех точек

обозначим

V2.

Выпуклая оболочка этого

множе­

ства представляет

собой

паралле­

лепипед. На

рис. 16 для

упроще­

Рис. 16

ния рисунка показаны только точ­

ки, лежащие на видимой стороне

параллелепипеда.

Множество

V2

разделено на подмножества

V\ и V\. Если (хх,

ух,

у2) £ V\,

при­

нимается решение 60 ; если (хх,

ух,

у2)

£ V\,

принимается

реше­

ние

8Х.

дов выборки X, состоящей из наблюдений хх,

хП1.

Таким

образом,

Ux

может

быть интерпретировано как точечное мно­

жество в

л^-мериом

евклидовом пространстве Еп, переменных

хх,

xnt.

Разделим

множество

Ux на N2 +

1

подмножеств

Un,{>l2 =

Оі її

•••> N2).

При попадании X в подмножество

U0

при­

нимается п2 =

0, и вторая ступень не проводится. Если X попадает

в

подмножество

Una, где п2

>

0,

то проводится

вторая

ступень

эксперимента, при которой извлекается выборка

Y

объема

п2.

Таким образом, мы получаем некоторое

множество Vni

исхо­

дов двух выборок, X

и Y,

которое можно

представить

как то­

чечное множество в пх

+ 7г2-мерном пространстве ЕП1+п.

перемен­

ных хх,

xnv ух,

ynz. Все точки множества

Vn2

можно спро­

ектировать в пространство

ЕП1

переменных

хх,

хПі.

При

этом

мы получим точки, принадлежащие только

подмножеству

Uni.

Таким образом, мы можем сказать, что

точечное множество

Vni

в пространстве

Еп&П1

проектируется на

точечное множество

Un,

в

пространстве

ЕП1.

либо X 6 U\,

либо X б Unt,

п2 =

1, .. ., N2

и

У б U\ (X).

Для того чтобы найти вероятность ошибки первого рода, про­

суммируем вероятности этих событий. Имеем

a ( s ) = 2 Р0(Х)+

2 2

2

P0(Y\X)P0(X).

(3.15)

Вероятность ошибки второго рода р (s) снова найдем,

восполь­

Л'.

2

n(s) = l - P ( s ) = 2 ^ i ( X ) + 2 2

Pi(Y\X)Px(X).

X£U1

п*=1 А ' Є У П 2

(X)

(3.16)

°

наблюдений

равно

El(n2, s) =

2

ЩР«, =

2 п *

2 Ро(Х),

(3.17)

п»=і

",=1

хеиП2

а средний квадрат числа наблюдений равен

£ ! к « ) =

2

и»

2

л > ( * ) .

(з.18)

Выражения для

первого

и

второго

моментов Е\ (?г2, s) и

Е\ {п2, s) в случае,

когда

верна

гипотеза

i / ^ ,

мы получим, если в

двух последних формулах заменим функции

Р°пг и Р0 (X) функ­

циями Рп2 и Рх (X).

личных X (X £ U M ) разбиение

пространства

выборки Y раз­

лично.

Таким образом, пространство

выборки X

здесь разбивается

сф) =

2 Ро(Х)+

2

2

P0(Y\X)P0(X),

(3.19)

n(S) = i-P(S )=

2 PiW+

2

2

PAY\X)P1(X),

(3.20)

El(n2,s)

=

n2

2

Po(X),

(3.21)

El(n2,s)

=

nl

2

PA*).

(3 - 2 2 )

Формулы для E \ ( n 2 , S) И E\ (n2,

s) аналогичны последним двум

выражениям;

отличие состоит только в том, что индекс 0 при сим­

воле Р должен быть заменен индексом 1.

Варьируя значения па­

раметров

пг и п2

и

варьируя

области

разбиения

U°0, U],. Un2,

Uy-(X) и

Uy-(X),

получаем класс

детерминированных процедур,