книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

— решение о том, что следует провести сплошную, 100-про­ центную проверку партии и все дефектные изделия изъять.

Решение о браковке партии требует принятия дополнителытых решений. Так, например, может быть принято дополнительное решение о доработке партии, о выпуске ее более низким сортом и т. д. Аналогичные ситуации возможны и в случае контроля оди­ ночного сложного изделия.

Факт принятия любых решений, кроме решения о хорошем ка­ честве проверяемого изделия, можно рассматривать как сигнал о том, что произошла «разладка» производственного процесса и требуется принять необходимые меры для его наладки.

В настоящей книге, рассматривая процедуры контроля, мы будем опираться на теорию проверки двух статистических гипо­ тез, изложенную в предыдущих главах. Гипотезой На будем считать гипотезу о хорошем качестве контролируемого объекта, а гипотезой Нг — гипотезу о его плохом качестве. Более точные определения этих понятий мы приведем в каждой конкретной задаче.

Как мы увидим ниже, для весьма широкого круга задач ста­ тистического контроля данная теория является вполне адекват­ ной. Существует, однако, много задач контроля, точно не уклады­ вающихся в рамки этой теории, но близких к ней. Такой задачей является, например, задача контроля партии изделий, когда в результате контроля принимается одно из двух решений: ре­ шение о приемке партии и решение о сплошной проверке. Этот случай мы рассмотрим несколько ниже.

Внастоящей книге мы ограничимся только рассмотрением та­ ких процедур контроля, которые допускают два окончательных решения о качестве продукции. Одним из этих решений всегда является решение о приемке проверяемого объекта. Вторым мо­ жет быть либо решение о браковке, либо решение о сплошной проверке.

Впрактике контроля часто бывает, что объем выборок мал по сравнению с объемом партии, а возможными окончательными решениями при контроле являются решения о приемке и о бра­

ковке партии. Задачи для этого случая мы рассмотрим в разд. 6 . 3 - 6 . 5 .

В разд. 6.3 и 6.4 будет приведена задача контроля доли дефект­ ных изделий в партии. Задача решается в предположении, что число дефектных изделий, которое мы обнаруживаем в выборках, имеет пуассоновское или биномиальное распределение. При та­ ком допущении постановка задачи является приближенной. Эти распределения приближенно описывают закон распределения чис­ ла дефектных изделий, который, как известно [1—3], является ги­ пергеометрическим. Точная постановка задачи контроля доли де­ фектных изделий дана в разд. 6.6.

Вразд. 6.5 рассматриваются задача контроля доли дефектных изделий по количественному признаку и задача контроля одно­ родности изделий в партии.

Вразд. 6.7 решается задача контроля надежности сложных изделий по интенсивности потока отказов. В разд. 6.8 проведено сопоставление одного типа двухступенчатых процедур с опти­ мальной процедурой.

Как мы увидим ниже, все указанные задачи, кроме задачи контроля доли дефектных изделий при гипергеометрическом рас­ пределении, находятся в полном соответствии с теорией двухсту­ пенчатого анализа, приведенной выше. Существует ряд важных задач статистического контроля, близких к задачам этой теории, но точно не укладывающихся в ее рамки.

Рассмотрим, например, задачу контроля партии, содержащей N изделий, в случае, когда окончательным может быть решение о приемке партии или решение о сплошной ее проверке. В приведен­ ной выше теории мы определили показатели а и Е0 отдельно друг от друга. Напомним, что а — вероятность ошибки первого рода, Е0 — средний объем выборки при гипотезе Н0. В рассматривае­ мом случае связь между этими показателями имеет специфический характер. Ошибка первого рода здесь означает, что хорошую пар­ тию подвергают сплошной проверке. Ущерб, который мы несем, совершив ошибку первого рода, обусловлен тем, что мы должны произвести большие затраты на контроль. Средние затраты на контроль могут резко возрасти при увеличении а. Чтобы убедиться в этом, определим среднее число проверяемых изделий. Пусть на первой ступени производятся испытания выборки объема пх и пусть X — совокупность полученных данных. Конкретный смысл X уточнять не будем. Для определенности будем считать, что X может принимать дискретное множество значений, которое обозна­ чим Uх- Пусть щ — объем выборки на второй ступени и п2 (X) — детерминированное промежуточно^ правило. Допустим, что нам известны распределения Рв (X, Y) ж Рх (X, Y) при хорошем и пло­ хом качестве партии. Организуя контроль, мы стремимся к тому, чтобы хорошую партию принять, а плохую — подвергнуть сплош­ ной проверке. Пусть а у (X, ?г2) — условная вероятность принятия решения о сплошной проверке при условии, что партия хорошая, а

изделий при хорошем качестве партии, которое мы обозначим через Е0:-

где Ра (X) — распределение X при хорошем качестве партии. Вероятность ошибки первого рода можно выразить в виде

Первые два слагаемых в правой части (6.1) определяют средний объем испытаний, проводимых непосредственно в процессе конт­ роля, Е0. Последние два слагаемых определяют средний объем до­ полнительных испытаний (при сплошной проверке). Обозначим

Таким образом, показатель Е0 можно с некоторым приближе­ нием представить как линейную форму показателей а и Е0.

Задача оптимизации двухступенчатой процедуры контроля мо­ жет быть записана в виде

Здесь b„ — заданная величина. Напомним, что я обозначает ве­ роятность правильного решения о плохом качестве партии. Функ­ ция Лагранжа для этой задачи представляет собой линейную фор­ му показателей я, а и Е0:

Напомним, что функция Лагранжа для известной нам уже задачи

может быть представлена в виде линейной формы тех же показате­ лей. Из того, что функции Лагранжа для задач (6.5) и (6.7) имеют одинаковую форму, следует, что двухступенчатые процедуры, при

можных решений является решение о сплошной проверке, зада­ ча (6.4) с некоторым приближением может быть заменена задачей (6.7).^Напомним, что такая замена возможна лишь при условии, что пг + пш N.

Вдальнейшем мы будем рассматривать процедуры с двумя возможными решениями: о приемке и о браковке контролируе­ мого объекта.

Втом случае, когда допущение пг + пт <^ N не выполняется, упомянутые выше задачи не соответствуют реальным условиям. Это связано с двумя обстоятельствами.

Во-первых, подвергая проверке значительную часть партии, мы имеем возможность судить о качестве многих изделий не ста­

проверке подвергается вся партия, эти показатели вообще те­ ряют смысл. В разд. 6. 6 мы рассмотрим задачу контроля доли дефектных изделий в партии; в этой задаче вместо а мы введем число бракуемых годных изделий при условии, что партия хоро­ шая, а вместо Р — среднее число принимаемых дефектных изделий при условии, что партия плохого качества.

Во-вторых, двухступенчатая процедура, имеющая в ансамбле окончательных решений решения о приемке и браковке партии, в рассматриваемом случае допускает фактически три исхода: прием­ ку партии, браковку партии и сплошную проверку. Последний ис­ ход может иметь место в случае, если пш = N — п-у. Подробно этот вопрос мы рассмотрим в разд. 6.6.

6.2.Выборочный контроль доли дефектных изделий

впартии. Постановка вопроса

тии определяется долей 0 содержащихся в ней дефектных изде­ лий. Пусть D — число дефектных изделий в партии. Тогда их доля равна 0 = DIN.

Рассмотрим статистики, на которых может быть построена опти­ мальная двухступенчатая процедура. Очевидно, что статистикой первой выборки является число dx дефектных изделий, обнаружен­ ных в ней при контроле. Статистикой второй выборки является число d2 дефектных изделий, содержащихся в ней.

Найдем совместное распределение величин dx и d% при фикси­ рованных значениях объемов выборок % и п2 и при фиксирован­ ном значении D.

Как известно [1—3], если из партии объема N, содержащей D дефектных изделий, извлечь выборку объема ге, то с вероятностью

i?,tv мы обнаружим в выборке d дефектных изделий; величина

г>сШ

B n N равна

^!^ j обозначает количество сочетаний из г/ по а:. В выражении (6.8)

отражен тот очевидный факт, что величина d не может превышать ге и D . Такая запись нужна здесь потому, что ниже мы будем ис-

r>dD

пользовать величину nnN, ие оговаривая никаких ограничении сверху на d.

Найдем распределение величины d x . Очевидно, вероятность того, что в первой выборке объема пх окажется d x дефектных изде­ лий, равна

D \ I N — D

"1

Распределение числа дефектных изделий во второй выборке за­ висит от того, сколько дефектных изделий попало в первую выбор­ ку. Действительно, в тот момент, когда мы приступаем к извлече­ нию второй выборки, мы имеем партию, состоящую из N — гех изделий и содержащую D — d^ дефектных изделий. Условная ве­ роятность того, что во вторую выборку попадет dn дефектных изде­ лий при условии, что в первую попало d x дефектных изделий, равна

Л2

Совместная вероятность того, что в первой и второй выборках окажется соответственно dx и d 2 дефектных изделий, равна произ­ ведению

Алгоритм вычисления параметров двухступенчатой процедуры при гипергеометрическом распределении чисел d x и d 2 весьма сло­ жен (см. разд. 6.6).

Возможность упрощения алгоритма возникает в тех случаях, когда мы имеем дело с большими партиями изделий, в которых ве­ личина N исчисляется сотнями или тысячами, в то время как сум­ марный объем выборок ?г1 + п2 составляет небольшую часть от N. Тогда с достаточно хорошим приближением заменяют гипергео­ метрическое распределение более простыми, биномиальным пли пуассоновским.

Идея биномиального приближения основана на допущении о том, что при извлечении очередного изделия вероятность того, что оно окажется дефектным, постоянна для всей выборки и равна доле дефектных изделий в партии 0. Таким образом, мы имеем схему Бернулли [4]. Вероятность того, что в выборку из п изде­ лий попадает d дефектных изделий, выражается в виде

(6.12)

В тех случаях, когда 9 мало, применяют пуассоновское рас­ пределение; при этом выражение вероятности попадания d дефект­ ных изделий в выборку из їх изделий имеет вид

(6.13)

Математическое ожидание величины d для обоих распределе­ ний равно riQ.

При биномиальном и пуассоновском приближении величины di и d2 можно рассматривать как статистически независимые ве­ личины, если параметр 0 фиксирован. Совместное распределение величин dx и d2 можно записать в виде

том, что доля дефектных изделий меньше некоторой критической

ке, если 0 <С 0 к р , и плохой, подлежащей браковке, если 0 > 0 к р . Эти гипотезы являются сложными. Для того чтобы иметь дело с простыми гипотезами, пользуются различными искусственными приемами. Наиболее распространенный из них состоит в том, что

Рассмотрим статистику двух выборок, на основе которой дол­ жно быть построено оптимальное окончательное правило решения. Пусть в результате контроля в первой и второй выборках обна­ ружено соответственно dx и d 2 дефектных изделий. Естественно предположить, что окончательное решение о качестве партии должно приниматься в зависимости от суммарного числа обна­ руженных дефектных изделий dy -f- d 2 . Действительно, как было показано в главе 4, в оптимальном окончательном решающем пра­ виле в качестве статистики двух выборок должна быть использо­ вана величина отношения правдоподобия

В случае биномиального распределения, используя формулы (6.12) и (6.15), имеем

В случае пуассоновского приближения, используя (6.13) и (6.15), получаем

Таким образом, мы сформулировали две простые гипотезы о качестве партии изделий и определили для них совместные рас­ пределения величин dy и d 2 . Этих данных вполне достаточно для построения оптимальных двухступенчатых процедур контроля в случае биномиального или пуассоновского приближения.

6.3. Двухступенчатый контроль по альтернативному признаку

при постоянном объеме второй выборки

Допустим, что контроль доли дефектных изделий в партии про­ изводится с помощью процедуры, имеющей постоянный объем второй выборки. Напомним эту процедуру. Извлекают первую

Действительно, в случае равенства сх = с, двухступенчатая про­ цедура вырождается в одноступенчатую. Это означает, что среди

сумма dx -f- d2 обязательно будет превышать с3 . Поэтому при дан­ ном значении d± партия должна браковаться без второй ступени. Отсюда получаем условие сг < ; с 3 .

Распределение чисел dx и d2 будем считать биномиальпым или

чений показателей а и 6. При этом параметры ее и В должны лежать

Метод построения таких таблиц состоит в следующем. Вводят два множителя Лагранжа, Ха и Х0. Величины \ а и %0 можно выби­ рать в достаточной степени произвольно. Порядки этих величин будут ясны из приведенных ниже примеров. После того как мно­ жители Лагранжа выбраны, ищут максимум функции Лагранжа

по всем пяти параметрам: щ, щ, ct, с2, с3. По параметрам пх и їй про­ изводят прямой перебор. Максимально допустимые значения nL и ?г2 предполагаются заданными. Иногда может быть задано лишь максимально допустимое значение суммы пх + п2. В процессе пе­ ребора при каждой паре значений пх и /г2 определяют параметры сх , с2 и с3 . Параметр с 3 определяют непосредственно из оптимального решающего правила (см. главу 4). В нашем случае это правило имеет вид:

если Z(rfb d2) ^ Ха, то партия принимается; если l(dx, d2) ^> Яа , то партия бракуется.