Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

n(s)=	2 Рг(Х)+(	2	PiW){	2	Pi(Y)).	(3.24)
	^et/J	^ є и ^		1 x ret/*.

В [5—7] рассмотрена двухступенчатая процедура, в которой область U\ является пустой. Это означает, что принятие гипотезы Нг происходит только после второй ступени. В этом случае первая сумма в правых частях (3.23) и (3.24) обращается в нуль. Подоб ные упрощения существенно облегчают решение задачи оптимиза ции процедуры.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.А. Валъд. Статистические решающие функции.— В сб.: Познционпые игры. Под ред. Н. Н. Воробьева и др. М., «Наука», 1967.

2.	Н. F.	Dodge,	1-І. G. Romig. Sampling		inspection.	N . Y . , 1959.
3.	Б. В,	Гнеденко, 10. К. Беляев,		А. Д.	Соловьев.	Математические методы
	в теории надежности. М., «Наука»,				1965.
4.	Я. Б. Шор. Статистические методы анализа и контроля качества и надеж
	ности. М.,		«Советское радио»,	1962.

5.А. Е. Башаринов, Б. С. Флейшман. Методы статистического последо вательного апалпза и нх приложения. М., «Советское радио», 1962.

6.В. В. Акиндинов. Относительная эффективность оптимального алгорит ма многоэтапного поиска.— Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, N° 4, 34.

7.Финн. Новый подход к проблеме последовательного обнаружения в ра

диолокационных системах с фазированными решетками.— Зарубежная радиоэлектроника, 1964, № 8, 18.

8./ . Pfanzagl. Sampling procedures based on prior distribution and cost.— Tcclinometrics, 1963, № 5, 47.

9.10. Б. Синдлер. Двухэтаппая процедура обнаружения без квантования сигнала по уровню.— Радиотехника и электроника, 1966, 11, № 6, 996.

10.	10.	Б. Синдлер. Об оптимальной двухэтапиой процедуре			выборочного
	контроля		в производстве.— Заводская лаборатория, 1968,		№ 5,	576.
11.	Б.	Л. Ван-дер-Варден.		Математическая статистика. М.,	ИЛ,	1960.
12.	Э.	Леман.	Проверка	статистических гипотез. М., «Наука»,	1964.

Г л а в а 4

СВОЙСТВА ПРОЦЕДУР ДВУХСТУПЕНЧАТОГО АНАЛИЗА

4.1. Предварительные замечания
В данной главе	мы рассмотрим некоторые		свойства процедур
двухступенчатого	анализа,	предназначенных	для проверки	двух
простых гнпотез. На основе		этих свойств мы выведем алгоритмы
для расчета оптимальных двухступенчатых процедур.
Читатель, интересующийся только алгоритмами, может				опу

стить главу 4 и обратиться к главе 5, в которой эти алгоритмы из ложены. Если для читателя представляет интерес вывод алгорит мов, то ему следует прочитать разд. 4.1, 4.5—4.7. Читатель, желаю щий познакомиться также п с некоторыми дополнительными вопро сами, связанными с обоснованием алгоритмов, должен прочитать главу 4 целиком.

В настоящей главе мы будем рассматривать шесть показателей двухступенчатых процедур: вероятности ошибок первого и второ го рода a (s) и В (s), первый и второй моменты объема второй выбор

ки при	гипотезах Н0 и Нг: Е\(п2, s), Е\ (п„, s), Е\ (н2 , s), Е\ (/г2, s).
Мы	будем рассматривать отображения двухступенчатых про

цедур на шестимерное евклидово пространство. При этом коорди наты точек отображения z0 , zx , z2 , z3 , z4 , z5 будем считать равными перечисленным шести показателям соответственно.

Как было показано в главе 1, возможность решения задачи на условный экстремум существенно зависит от свойств точечного мно жества, которое получается при отображении заданного класса процедур на пространство показателей. В этой главе мы продол жим изучение трех классов процедур: рандомизированных н де терминированных процедур с переменным объемом второй выбор


ки, Sp и 5 Д , а также детерминированных		процедур с постоянным
объемом второй выборки 5д. В рассматриваемых				классах		Sv	и SR
мы будем выделять подклассы процедур с			одинаковым			объемом
выборки на первой ступени	Обозначим		через	Smi (5Д П і )			под
класс рандомизированных (детерминированных)				процедур клас
са l ? p (5Д ) с фиксированным	значением	nv	Пусть		Z p n i	(Za „,) —
отображение подкласса Spn,	(£дп,)- Существенное				внимание в
данной главе будет уделено изучепию свойств множеств Z p n , и							Zmi.

Мы покажем, что множество Z p n , всегда выпукло. Что же касается множества Zmi, то оно выпукло, когда наблюдаемые величины непрерывны. Если же наблюдаемые величины дискретны, то мно-

жество Zmi является также дискретным. Мы рассмотрим выпук лые оболочки этих дискретных множеств, а также классы проце дур, которые отображаются на эти выпуклые оболочки.

В дальнейшем при рассмотрении дискретных множеств мы бу дем считать, что они состоят из конечного числа точек. В действи тельности встречаются задачи, где число точек бесконечно. Та кой случай имеет место, когда объемы выборок или наблюдаемые величины не ограничены, например, если последние распределе ны по закоиу Пуассона. В главе 3 мы сделали оговорку о том, что объемы выборок ограничены. Такое же допущение примем и в от ношении наблюдаемых величии. По-видимому, во всех практиче ски интересных задачах эти допущения приемлемы, если границы взяты достаточно широкими.

В данной главе мы будем изучать свойства и особенности функ ции Лагранжа, представляющей собой линейную комбинацию ука занных выше шести показателей, и рассмотрим вопрос о том, как найти экстремум этой функции. Мы увидим, что оптимальные пра вила, окончательное и промежуточное, удобно искать в следующем порядке. Сначала для всех значений м2 определяют оптимальное окончательное правило. Затем в предположении, что окончатель ное правило оптимально, ищут оптимальное промежуточное правило п.2 (X). При изучении промежуточных правил мы увидим, что оптимальные значения пг для всех X можно вычислять незави симо друг от друга. Это даст нам возможность при расчете про цедур добиться существенного сокращения объема вычислений по сравнению с методом простого перебора (см. разд. 3 введе ния).

Важное значение при расчете процедур имеет вопрос о единст венности решения. При изучении этого вопроса мы наблюдаем различную картину в зависимости от того, имеем ли мы дело с дискретными или непрерывными величинами. Если величины диск ретны, то классы детерминированных процедур отображаются на дискретные множества Z в пространстве показателей. При этом опорная гиперплоскость соприкасается либо с одной точкой мно жества Z (решение единственно), либо с несколькими точками (не сколько решений, характеризующихся различными значениями показателей). Если наблюдаемые величины непрерывны, то при определенных условиях, которые будут указаны ниже, опорная гиперплоскость касается поверхности множества Z в единствен ной точке. В этом случае мы получаем решения, характеризую щиеся одинаковыми значениями показателей.

Мы коснемся также вопроса о существовании процедур, обес печивающих экстремум функции Лагранжа. В связи с этим будет показано, что процедуры, обеспечивающие этот экстремум, име ют ограниченную и, следовательно, вполне реализуемую функ цию п2 (X).

Все указанные выше вопросы будут рассматриваться для слу чая, когда процедуры строятся на полных выборках X и Y. В кон-

де главы будет рассмотрен вопрос о том, как определить статисти ки, па которых можно построить оптимальную двухступенчатую процедуру.

4.2. Отображение класса раидомизировапных процедур

Напомним, что каждая процедура s в классе рандомизирован ных процедур 5 р определена, если фиксирован объем выборки на первой ступени выбраны последовательности функций д П 2 (Х) и ц>п„(Х, Y) для п2 = 0 , 1 , iV2 (см. разд. 3.2). Все эти функции должны удовлетворять условиям (3.1).

Возьмем некоторое значение пг и рассмотрим подкласс нашего класса Sp, объединяющий все процедуры с даппым значением п^. Этот подкласс обозначим через S p „ „ а его отображение — через

Выпуклость множества 2 р П і

Докажем, что множество Z p i M выпукло. Способ доказательства, которым мы воспользуемся, состоит в следующем. Нужно пока зать, что если взять две любые процедуры в классе Spn„ отобра зить их на пространство показателей, соединить точки отображе ния отрезком прямой и выбрать на этом отрезке любую точку, то в классе Spni найдется такая процедура, которая отображается в эту точку. Ниже будет показано, как можно построить процеду ру; удовлетворяющую этим требованиям.

Мы проведем доказательство лишь для случая, когда наблюда емые величины дискретны. В случае, если они непрерывны, дока зательство проводится аналогично.

Возьмем произвольно две процедуры sl и s2, н пусть они ото бражаются в точки z1 и z2 . Пусть процедура s1 имеет функции git, (X)

и ф„2	(X, У), а процедура s2 имеет функции q\2 (X)		и ф^ (X, Y ) ,
п2 =	0, 1,	Аг 2 . Связь между координатами z„,	zs точек z1 и х"

и этими функциями выражается формулами (3.7) — (3.12). Соеди ним точки z1 и z2 отрезком прямой и возьмем некоторую точку это го отрезка z. Очевидно, что эту точку можно представить в виде

z = ez1 +	(1 — e)z2 , где є — некоторое число, лежащее в интер
вале 0 ^	£ ^ 1.

Покажем, что в классе Spni найдется по крайней мере одна про цедура s, которая отображается в точку г. Действительно, возьмем процедуру s, имеющую функции дПг (X), равные

дП1(Х) = є<4 (X) + (1 - е) gl_ (X).

(4.1)

Такой выбор функций дп„ (X) вполне возможен, так как он не про тиворечит условиям (3.1). Действительно,

Nt	N2	ЛГз
2	<Z„2(X) = e 2 ді^Х) + (і-г)	2 ql(X) = e.i +
П2=0	Пг=0	Па=0

+ (1 —в)-1 = 1.

Если подставить (4.1) в (3.9) — (3.12), то получим для показателей

Е](п2,	s), E l {п\, s), Е\ (n 2 , s) и				E l (n2,	s) выражение, которое				за
пишем в виде одной формулы
Ej	(щ,	s) = ъЕ)	{по, s1) + (1 -		в) Ej	(ти. s2 ),	J =	0, 1,	/с=	1, 2.
									(4.2)
Таким		образом; для		координат z2 , z3 , z4			и z5	точки	z выпол
няется условие
• zt	= sz\ + (1 -		є) z\,	і =	2, 3,4,5 .
Покажем теперь, что такое же условие может быть выполнено
и для координат z0			и zv	Пусть а\ (X, п2) и а\ (X,				п.2) —	условные

вероятности ошибок первого рода для процедур s1 и s2 соответст

венно, а Пу(Х,

п2) и я у

(X,

л-2) — условные вероятности правиль

ного принятия гипотезы

для этих процедур. Формулы (3.4) и

(3.6)

устанавливают

связь

условных

вероятностей

а.у(Х,

п2)

и лу(Х,

п2) с функциями срП 2 (Х, У) для процедуры s. Для процедур

s1 и s2

можно написать аналогичные формулы:

(X, п2) =

<р*.(X,

У) P0(Y\X),

і =

1, 2;

(4.3)

я> (ЗГ, тг2) =

<р«

(X,

РАУ\Х),

і =

(4.4)

На

плоскости

а у 0 я у

(рис. 17) отмечены

точки ( а у ,

п\) и

( а у ,

Лу) для процедур s1 и s2; X

и ?г2 при этом фиксированы. Варьиро

ванием фП а (X, У) как функции от У

при фиксированных

X и 7г2 мы мо

жем изменять

условные

вероятно

сти а у

(X,

п2)

и Яу (X, ?г2 ) для про

цедуры

и, следовательно,

пере

мещать

точку

( а у , я у )

на плоско

сти. Заштрихованная на

рисунке

область Zn! (X) изображает

мно

жество

всех точек (сбу,

я у ) , кото

рое получается при переборе всех

функций

фП 2 (X,

У). Нетрудно ви

деть, что множество Zn,(X)

выпук

ло. Действительно, вторую ступень

нашего эксперимента можно интер

Рис.

претировать как

одноступенчатый

эксперимент, предназначенный для проверки гипотезы Н0: «У под чиняется закону распределения Р0 (У | X)» и конкурирующей с ней гипотезы Нг: «У подчиняется закону распределения Рх (У | X)». Как известно из теории Неймана — Пирсона [1], множество то чек (а, я) для класса рандомизированных одноступенчатых про цедур всегда выпукло. Поскольку Z„ s (X) выпукло, всегда можно

найти такую функцию фл „ (X, Y ) , чтобы точка (а,,, я„) занимала любое заданное положение на отрезке, соединяющем точки (ay, я у) н (а'у, я у ) , т. е. чтобы

а у	=	хаі +	(1 - х) а2 ,	(4.5)
я у	=	ияЛ +	(1 — и) я 2 ,	(4.6)

где 0 ^ х ^ 1. Чтобы условия (4.5) и (4.6) были выполнены, до статочно положить

ф712 (X, Y) =	(X, Y) + (1 - к) ц>1 (X, У).	(4.7)
Пусть

С помощью (4.1) нетрудно проверить, что сумма правых частей обо их равенств (4.8) равна единице. Подставляя (4.5) в (3.7), полу чаем

а (?) = 2	2 1>«у (*>	«а) + ( ! - « )	а у	(X,	Ъ)] qn, (X) Р0 (X)			=
X	п.
= 22	«і (X, ;г2) + (1 -		є) ^ ( Х )		а2 (X, в,)]		Р 0 (X)	=
= еа1 (s) +	(1 — в) а2	(s).						(4.9)
Подставляя (4.6) в (3.8), получаем				аналогично
я (s) = єя1 (s) + (1 -		є) я 2 (s).						(4.10
Таким образом, мы показали, что				множество		Zpjli	выпукло.
4.3. Отображения классов детерминированных процедур
Напомним, что каждая процедура класса S R						детерминирован

ных процедур с переменным объемом второй выборки характери зуется: одним параметром — величиной объема выборки на первой

ступени пг, областями		разбиения первой выборки		UQ, U\, ULT
U2L	UN2, И , наконец, областями		разбиения второй		выборки
U°Y	(X) и U у- (X) при всех l i i t j ) > 0 .		Каждая процедура класса
5д	детерминированных	процедур с постоянным объемом			второй
выборки характеризуется: двумя параметрами — пг				и п2 , областя
ми разбиения первой выборки U°0, UNI			и U\ и, наконец, областями
разбиения второй выборки UY (X) и			U\ (X) при	всех	X £ UN,
(см. разд. 3.4).

Множества 2 Д и Z\ (отображения классов 5 Д и 5д) имеют су щественно различные свойства в зависимости от того, являются ли наблюдаемые величины дискретными или непрерывными.

Если наблюдаемые величины дискретны, то			множества	ZR и
Z\ состоят	из	изолированных точек. Выпуклые	оболочки	этих
множеств,	[ZK ]	и [2д], представляют собой выпуклые многогран

ники, натянутые на множества Zn и Z\. Поскольку множества 2 Д и Z\ не выпуклы, то вопрос о возможности решения условно-экс- тремальпых задач методом множителей Лагранжа при этом оста ется открытым (см. главу 1). В таких случаях важное значение име ет «плотность» расположения крайних точек на поверхности вы пуклой оболочки. Если крайние точки расположены близко друг к другу, то задачи могут быть решены с достаточно хорошим при ближением. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в главе 5.

Рассмотрим теперь случай, когда наблюдаемые величины не прерывны. Разделим класс детерминированных процедур с перемен ным объемом второй выборки 5 Д на Nx подклассов таким образом, чтобы каждый подкласс объединял в себе все процедуры с одним и тем я<е значением щ (?гх = 1, Л^). Процедуры, составляющие один подкласс, отличаются друг от друга только областями разби ения выборок. Подкласс, которому соответствует значение nlt обозначим Sn„t, а его отображение — Zmi. Аналогично разделим класс детерминированных процедур с постоянным объемом второй

выборки £д на NjN2		подклассов, каждый из которых объединяет все
процедуры	с одними и теми же значениями щ и п2 (пг = 1,
Ni, п2 =	1,	JV2). Процедуры, входящие в один подкласс, отли

чаются друг от друга только разбиением выборок. Подклассы бу

дем обозначать Sanin.,	а их	отображения — ZK 7 l i n 2 .
Выпуклость множеств - 2 Д П і		и % ц П і п г
прн непрерывных	распределениях
Доказательство	выпуклости этих множеств мы сведем, как

это делали в предыдущем разделе, к тому, чтобы доказать сущест вование в рассматриваемом классе процедуры s, отображающейся в заданную точку z , расположенную на отрезке, соединяющем точ ки отображения z 1 и z 2 любых двух произвольно выбранных из нашего класса процедур s1 и s2.

Процедура s может быть построена следующим образом. Раз делим множество Ux значений выборки X на два подмножества, U\ и Ux, и пусть стратегия поведения после первой ступени будет

следующей: если	X £ Ux, то дальнейшие решения принимаются
в соответствии с	процедурой s1 ; если X £ Ux, то дальнейшие ре


шения принимаются в соответствии с процедурой s2.		Очевидно, что
если множество Ux пустое, a U\ совпадает с Ux,		то процедура s
отображается в точку z 2	; когда же Ux пустое, a U\ совпадает с		Ux,
то s отображается в г1.	Очевидно, что если процедуры s1 и s2		при
надлежат подклассу £ Д П і , то s является детерминированной			про
цедурой с переменным	объемом второй выборки и с тем же значе-

Smm.

ниєм	nlt что и	процедуры s1 и s2; поэтому s	принадлежит 5Д П 1 .
Если	же б-1 и s2	принадлежат подклассу S ^ n , ,	то s является де

терминированной процедурой с постоянным объемом второй вы борки и имеет те же значения пг и п2, что и процедуры s1 и s2; поэтому s принадлежит

Используя теорему Ляпунова о вполне аддитивных вектор-

функциях (см. разд. 1.2),	мы	докажем,	что для любой точки z
на отрезке, соединяющем z 1	и z 2	, можно подобрать такое множество
Ux, что s будет отображаться в точку z .
Приведем это доказательство для множества 2 Д П і .				В разд.	3.3
былн даны выражения для	показателей		процедуры	класса	5 Д П „

полученные в предположении, что наблюдаемые величины диск ретны. Из этих формул нетрудно получить аналогичные выраже ния для случая, когда наблюдаемые величины непрерывны. Для этого в соответствующих формулах разд. 3.3 нужно заменить сум мы по I и 7 многомерными интегралами от многомерных плотно стей вероятности вида

^ • • • ^ /о О^і» • • •> з-пі) dxi,.. dxnt

Уо(Х)<ІХ,			g/ 0 (Z ,	Y)dXdY.
Выражения для показателей теперь имеют вид:
Ц	=	a (s)	=
=		J f0(X)dX+		S	J	J	f0(Y\X)f0(X)dXdY,
Zi	=	я (s)	=				(4.11)
Zi	=	я (s)	=
							(4.12)
							(4.13).-
			n,=0
							(4.14)
			n2 =0	АёУ„2			(4.15)
			n2 =0	АёУ„2
			2	J,			(4.16)

пг =0 -ХЄУ,

Преобразуем (4.11) и (4.12), введя условные вероятности при нятия гипотезы Ну (см. разд. 3.2). Условная вероятность ошибки первого рода равна

, ( Х, rc2)			=	J	f0(Y\X)'dY,					(4.17)
а условная вероятность правильного принятия гипотезы Нх										равна
я у ( Х , / г 2 )			=	J	f1(Y\X)dY.					(4.18)
Тогда		(.4.11)	и	(4.12) примут		вид:
z0	=	a (s) =		J / 0	(X) dX + 3		S	а у	(X, ;г2) / 0 (X) dX,	(4.19)
zx	=	я (s) =		S	h (X) dX +	S	S	%	О*. «2) A (X) dX .	(4.20)
						n 2 = l	X£Un„

Сопоставляя между собой приведенные формулы, видим, что каждая из шести составляющих вектора z может быть представлена в виде ?г1-мерного интеграла по всему множеству Ux (множеству значений X ) :

z t =	I	c P i ( X ) d X ,	і =	0 , 1 , . . . ,5,				(4.21)
X£UX
причем функции ф;(X)			равны:
		о,		если	ХЄС/о,
				если	ХЄС/о,
Ф о ( Х )	=			если	X б 27о>
		а у ( Х , ?г2 )/0 (Х),		если	X^Un„,	п, =	1,	No;
				если	X б			(4.22)
		0,		если	X б
ф 1 ( Х )	=			если	X ^U\,
		1 л у ( Х , д2 )А(-^)>		если	Х б ^ «	щ =	1 , . . . ,	А/2;
ф2 (Х)	=	/г2 /0 (X) 1						(4.23)
ф2 (Х)	=	/г2 /0 (X) 1
Фз(Х) =		тг::/0 (X) I ,	если	X б i7„„	" 2 =	0 , 1 , . . . ,	Nt.	(4.24)
ф1 (Х)	=	п ї / 1 ( Х )
фв (Х) =		в\|МХ)

Для упрощения записи удобно ввести вектор-функцию ф (X) =

— (ф0 (X), фх (X), ф6 (X) ). Нетрудно видеть, что, выбрав век тор-функцию ф (X), мы однозначно определяем точку z в прост

ранстве показателей: z =	$	Ф (X) dX,
Возьмем две произвольные процедуры s1 и s"				в	классе Smi.
Пусть пм соответствуют	вектор-функции ф1		(X)	и	ф2 (X). Та
ким образом, процедура sl	отображается в точку		z1 =		^ фг (Х)а!Х,
				хеих
а процедура s2 — в точку	z2 =	ф2 (X) dX.

хеих

Перенесем в пространстве показателей начало координат в точ ку z2 , оставив направление осей без изменения. При обозначении точек в новой системе координат будем добавлять штрихи. Таким образом, процедура s2 отображается в точку z2 ' = 0, а процедура

s1 — в точку	z1 ' = z1	— z2 =	j	[ф1	(X) — ф2 (Х)] dX. Произволь-
			хеих	функцией ф (X) отображается в
ная же процедура s с некоторой				функцией ф (X) отображается в
точку z' =	J [ф(Х) — ф2		(X)]	dX.
	хеих
Введем	вполне	аддитивную			вектор-функцию F (Ux) =

=J [ф1 (X) — ф2 (X)] dX. Нетрудно видеть, что в точку F в новой

хеи\

системе координат отображается процедура s, которая имеет функ


цию ф (X), равную ф1 (X),	когда X £ UXi и равную ф2 (X), когда
Выберем точку ъ = sz1'	на	отрезке О — z1 '.		Тогда,		согласно
теореме Ляпунова, всегда можно выбрать область				U\ таким обра
зом, чтобы точка F совпадала		с точкой z'. Если перейти				снова	к
старой системе координат,	то	вектор	z' преобразуется			в вектор
z = ez1 ' + z2 = є (z1 — Z2) + Z2 = EZ1 + (1 — є) z2 .
Таким образом, мы доказали существование					процедуры		s,
которая отображается в точку z. Поскольку процедуры						sx и	s2
выбраны произвольно из класса Smi,			то множество		2 Д П [	выпукло.

Напомним, что наблюдаемые величины в рассматриваемом случае непрерывны.

Аналогичным образом можно доказать выпуклость множества Z n „ i n r Единственное отличие этих доказательств состоит в том, что в выражениях (4.22)—(4.24) ?г2 в одном случае принимает все значения от 0 до N2 включительно, а в другом — только два зна чения из этого ряда, причем одно из них равно нулю.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ