книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Г л а в а 2

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДВУХСТУПЕНЧАТОГО АНАЛИЗА

2.1. Задача проверки двух гипотез

Как мы уже отмечали, эта задача занимает видное место в ста­ тистической теории [1] и имеет весьма широкую область приложений [2]. В этом разделе мы начнем изучение оптимальных двухступен­ чатых процедур проверки двух простых гипотез.

Напомним [1], что при выполнении эксперимента с целью про­ верки какой-либо гипотезы обычно с этой гипотезой связывают некоторый закон распределения вероятностей наблюдаемых вели­ чин или некоторый класс законов. Если гипотезе соответствует один закон распределения, ее называют простой. Если гипотезе соответствует класс законов, ее называют сложной.

Мы будем рассматривать ситуации, когда может иметь место одна из двух конкурирующих (исключающих друг друга) гипотез, которые обозначим через Н0 и Нг. В результате эксперимента тре­ буется принять решение о том, какая из гипотез верна. Нас будет интересовать задача о том, как построить оптимальную процедуру их проверки. Эта задача легко и четко формулируется как услов­ но-экстремальная задача, если гипотезы Н0 и Нг — простые. Как мы увидим ниже, при простых гипотезах каждому варианту про­ цедуры можно однозначно поставить в соответствие некоторое чи­ сло показателей.

Во многих практических случаях гипотезы Н0 и Нг (или одна из них) являются сложнымил^Цля того чтобы сформулировать за­ дачу оптимизации, часто упрощают проблему и сводят ее к случаю проверки двух простых гипотез [2]. Этот подход мы проиллюстри­ руем на ряде примеров в главах 6 и 7. Решив задачу оптимизации, находят процедуру, позволяющую осуществлять оптимальную проверку простых гипотез. Эту процедуру применяют и для про­ верки сложных гипотез. Поскольку при этом условия применения процедуры могут отличаться от расчетных, естественно, ее показа­ тели могут быть хуже потенциально достижимых значений.

Ниже в данном разделе, а также в главах 3—5 мы будем рас­ сматривать гипотезы Н0 и Н1 как простые.

Процедуры, которые мы рассмотрим, осуществляются в две ступени. На первой ступени получают выборку объема ?гх из вели­

количества дефектных изделий, содержащихся в первой и второй выборках.

когда эти величины дискретны, обозначим указанное распределе­ ние Ph (X, Y) (к — О, 1); величина Р h представляет собой веро­ ятность того, что векторы примут значения X и Y, когда верна ги­ потеза Ни- В случае, когда наблюдаемые величины непрерывны, будем рассматривать совместную плотность вероятности fh (X,

П

Зная совместные распределения, нетрудно для каждой конкрет­ ной процедуры найти характеризующие ее показатели. Существу­ ют различные типы процедур, и для каждого из них показатели имеют различные выражения. Мы будем изучать эти показатели в общем виде в последующих главахУ Здесь же рассмотрим показа­ тели одного из распространенных типов процедур на примере за­ дачи контроля надежности сложных изделий по интенсивности по­ тока отказов.

Контроль надежности по методу двухступенчатого анализа про­ водится следующим образом. Сначала наблюдают за работой из­

сел di и d2 при хорошем и при плохом качестве изделия. Следует помнить, что эти распределения зависят от времен наблюдения tx

иt2.

Возможны два рода ошибок: браковка хорошего изделия (ошибка первого рода) и приемка плохого изделия (ошибка второ­

Суммарная длительность наблюдения t является случайной, поскольку она зависит от случайной величины dx. Обозначим через Е0 (t) и Ех (t) средние значения t при хорошем и при плохом каче­ стве изделия. Очевидно,

г>

Ek(t) = h + t2Bep{c1<d1^c2} = t1 + t2 2 рЛйі), к=0,1.

df=Ci+l

(2.3)

Сформулируем следующую задачу: найти значения парамет­ ров tx, t2, сх, с2 , с3 , при которых достигает минимума один из четы­ рех приведенных показателей при условии, что остальные три ог­ раничены сверху. В случае, например, когда минимизируется р, задача может быть записана в виде

где ba, b0, Ьх — заданные величины.

Подробные исследования, связанные с этой задачей, приведены в главах 3 и 4, а метод ее решения — в главе 5.

2.2. Задачи двухступенчатого оценивания при наличии мешающего параметра

Основополагающей работой в теории двухступенчатого оцени­ вания при наличии мешающих параметров является статья Стейна [3]. Несмотря на то, что после выхода этой работы появился еще ряд работ как общематематпческого, так и специального характе­ ра [4—7], эта теория еще находится в начальной стадии своего раз­ вития.

Приведем типичную постановку задачи теории двухступенча­ того оценивания. Предположим, что в процессе эксперимента мно­ гократно получают реализации случайной величины х, причем закон ее распределения выражен известной функцией, содержащей неизвестные параметры 0 и о. Пусть, например, величина х непре­ рывна и / (х | 6, а) — плотность вероятности х. Цель эксперимента состоит в том, чтобы получить оценку параметра 6. Этот параметр назовем информативным. Параметр а интереса не представляет, но мы должны принимать его во внимание, так как от него зависит точность оценки 6. Параметр о называют мешающим.

Возможность проведения эксперимента в две ступени позво­ ляет скомпенсировать влияние мешающего параметра на точность оценки информативного параметра. Для этого на первой ступени эксперимента производят оценку мешающего параметра и с уче­ том этой оценки корректируют план второй ступени.

Мы рассмотрим наиболее простой случай, когда плотность ве­ роятности наблюдаемой величины х является нормальной:

Обозначим через xt результат 1-го измерения на первой ступени,

а через ijj — результат /-го измерения на второй ступени, і = 1, ...

и, наконец, путем усреднения получают окончательную оценку параметра 0:

Основной вопрос, который будет нас интересовать, состоит в том, как выбрать функцию п2 (s2). Ниже будут рассмотрены два различных подхода к решению этого вопроса. Первый подход, пред­ ложенный Стейном [3], относится к случаю, когда каждый экспе­ римент рассматривается вне связи с другими подобными экспери­ ментами. Второй подход относится к случаю, когда выполняется длинный ряд взаимосвязанных экспериментов.

Одиночный эксперимент. Процедура Стейпа

Подход, предложенный Стейном, состоит в том, чтобы незави­ симо от неизвестной дисперсии а2 обеспечить заданиую точность оценивания параметра 8. Говоря более строго, процедура Стейна обеспечивает попадание оценки 9 в доверительный интервал фикси­ рованной ширины 2е (6 — є < 8 < 0 + е) с вероятностью не менее заданного значения 1 — а 0 при любом о2 . Покажем, как строится эта процедура.

Пусть а (о2 , пх -f- п2) — условная вероятность того, что оцен­ ка 0 окажется вне границ доверительного интервала при условии, что фиксировано значение дисперсии а2 и фиксировано число из­

— интеграл вероятности. Пусть теперь п2 является функцией случайной величины s2 . Плотность вероятности s2 для фиксирован­ ной дисперсии а2 , как известно [8], выражается через ^-распреде­ ление с пх — 1 степенями! свободы. Эта плотность равна

при фиксированном о2 . Чтобы найти эту вероятность, следует ус­

Функция п2 (s2) — разрывная, так как она может иметь только целочисленные значения. Введем непрерывную функцию fi2 (s2) и

где к — число, которое мы определим ниже.

о 2 от 0 до оо граничная точка перемещается от оо до 0, а функция & (а2 ) монотонно возрастает. Если а 2 = 0, то а (0) = 0. Если о 2 стремится к оо, то ос (а2 ) стремится к некоторому постоянному пре­ делу а„, который равен

оэ

Выражение / (s2 I о2 ) г|) (а2 ) можно заменить равным ему выра­ жением / (а2 | s2) / (s2 ), где / (о 2 | s2) — условная плотность вероят­ ности а 2 при фиксированном s2; / (s2) — плотность вероятности s2 , равная

со

Функция Лагранжа имеет вид

L = а + Х(Е{п2) — Ъп),

и после подстановки в нее (2.16) и (2.17) получаем

является единственным. Нетрудно видеть, что в этой точке функ­ ция h (s2, іг2) имеет минимум. Действительно, вторая производная

равна

X / (а3 1 s 2 ) і з 2 .

Мы видим, что она положительна.

Для того чтобы определить оптимальное значение 7г!!, следует правую часть (2.20) приравнять нулю и, решив уравнение

найти точку п*. Если га* < 0, то следует принять п\ = 0. Если »•* ] > 0, то следует взять два числа, п'2 = [га*] и га2 = [га*] + 1, где квадратные скобки означают целую часть. Далее следует вы­ числить функцию (2.19) в точках га, = га2 и га2 = щ и принять га2 равным тому из этих двух чисел, при котором h (s2 , ;г2 ) имеет мень­ шее значение.

Функция п\ (s2) зависит от вида функции / (о2 1 s2 ), на которую, в свою очередь, оказывает влияние априорное распределение^ (о2 ). Это влияние, однако, в некоторых условиях оказывается незначи­ тельным. Это мы увидим из примера, который будет приведен не­ сколько ниже.

Точное решение уравнения (2.21) во многих случаях затрудни­ тельно. Функцию га2 (s2) можно определить приближенно, рассмот­ рев следующую гипотетическую модель. Представим себе, что в мо­ мент окончапия первой ступени экспериментатору сообщается точ­ ное значение о 2 , которое имеет место в данном эксперименте. Тогда

Приведенный график можно использовать для построения функ­

Для того чтобы найти граничные точки s\\ и s%, следует на графике

в [9] получено точное решение уравнения (2.21). Это решение имеет вид

ски переходят в (2.23). На рис. 12 пунктиром проиллюстрированы