книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Величина А щ) возрастает по мере увеличения dx. Параметр сх определяют как наибольшее значение dx, при кото-

dx = 0 должна быть отнесена к области продолжения испытаний. Это означает, что решение о приемке партии никогда не прини­ мается после первой ступени. На практике такие процедуры не встречаются; обычно сх 2> 0.

После того как значение параметра сх найдено, продолжают перебор dx в сторону увеличения и для каждого dy вычисляют, как

затем это неравенство меняет знак.

Параметр с2 определяют как наибольшее значение dx, при ко­ тором условие (6.34) выполняется.

После того как найдены параметры сх, с2 и с3, определяют ве­ личины а, я и Ей и, подставив результаты вычисления в (6.24), находят функцию Лагранжа L .

Перебор по riy и « 2 продолжают до тех пор, пока не будет най­ ден максимум функции Лагранжа. Таким образом определяют оп­ тимальную процедуру типа (пх, п2, сх, с2 , с3 ), соответствующую данным Ха и Х0.

Напомним, что вначале мы задались значениями Ха и Х0 про­ извольно. От выбора этих величин зависят значения параметров а и В оптимальной процедуры. Если выбор Ха и Х0 оказался удачным, мы получим значения а и 6 внутри заданных интервалов а н —

— а в и 6 Н — р„. Если выбор оказался неудачным, то значения пока­ зателей а и В выходят за эти пределы. Если эти пределы достаточ­ но широки, то практически нетрудно подобрать нужные значения Ха и Х0. Выбрав их, мы получим одну из оптимальных процедур для нашей таблицы. Варьируя далее параметры Ха и Ха, можно

с 1> c 2i с3 ), построенные этим методом. Предполагалось, что распре­ деление чисел dx и di является пуассоновским. Доля дефектных

процедуру. Эти числа расположены согласно следующей схеме:

12 ч

С1 С2 сз

а1 3

Напомним, что Е\ = Еа — п^.

6.4. Двухступенчатый контроль

по альтернативному признаку при переменном объеме второй выборки

Напомним, что процедуры контроля с переменным объемом

п2 и с 3 имеют не постоянное значение, а являются функциями ве­

положительна при сх < с\ ^ сг и равна нулю вне этого интервала.

функцией да (dy) или, точнее, нижней и верхней границами области, где эта функция положительна.

А

с 3 (dy)) во многом аналогична методике вычисления таблиц проце­

бора по параметрам пх и п2 является внешним по отношению к цик­ лу перебора но dy. Здесь же цикл перебора по Пу является внешним

Цх, п2) строят с помощью семейства рабочих характеристик одно­ ступенчатой процедуры. В случае, когда наблюдаемая величина (в данном случае число дефектных изделий d) дискретна, рабочие характеристики представляют собой последовательности изоли­ рованных точек на плоскости а 0 я. Каждая точка рабочей харак­ теристики определяется двумя параметрами: щ (объемом выборки) и с (пороговым числом); абсцисса а точки (п2, с) равна вероятности того, что d > с при условии, что верна гипотеза Н0: 8 = 0О ;

ордината я точки (?і2, с) равна вероятности того, что d > с, если верна гипотеза Нх: 9 = Qx.

На рис. 24 показано семейство рабочих характеристик для слу­

число с. Точки, соответствующие одинаковым щ, соединены пунк­ тиром.

Дискретный характер рабочих характеристик приводит к то­ му, что функция а (ка/1х, ?г2) имеет «волнистый» характер. На рис. 25 в качестве примера приведено несколько кривых a (kjlx, построенных по рабочим характеристикам рис. 24. На рис. 25

значению 7г2. При графических приближенных построениях удобно производить аппроксимацию рядов точек непрерывными кривы­ ми линиями. На рис. 25 такие аппроксимирующие кривые даны

производится с помощью наклонных прямых, проходящих под углом arctg X J l x к оси абсцисс и совпадающих с рабочей характе­ ристикой либо в одной, либо в двух точках. При этом все осталь­ ные точки рабочей характеристики должны быть ниже наклонной прямой. Так, например, прямая АВ на рис. 24 и рабочая характе­ ристика п2 = 20 имеют одну общую точку с = 5. Значение функ­ ции a (kjlx, п2) мы определяем как ординату точки пересечения наклонной прямой с осью ординат. Если наклонная прямая не параллельна ни одному пунктирному отрезку рабочей характери­ стики, то их совпадение происходит в одной точке. Если же хотя бы один отрезок рабочей характеристики параллелен наклонной прямой, то совпадение происходит в двух точках (на концах этого отрезка).

Пусть заданы произвольные значения X J l x и ?г2. Допустим, что при этом совпадение происходит в одной точке («г, £)• Найдем с. Пусть / (d2, п2) — функция, связывающая отношение правдоподо­ бия на второй ступени 12 и d2. l2 — f (d2, п2 ), и пусть f"1 (Za, "г) —

— d2 — обратная функция. Если принять во внимание, что угол, между осью. 0 а и отрезком, соединяющим точки (п2, с) и (п2, с -f- 1),

Пусть отношение KJlx фиксировано (фиксирован угол между наклонной прямой АВ и осью Оа (см. рис. 24)). Будем изменять п2, и для каждого п2 вычислим с. На рис. 26 изображен качествен­ но вид зависимости с от п2. Как видно из рис. 26, на оси щ суще­ ствуют некоторые отрезки, внутри которых значение с является неизменным. Найдем размеры этих отрезков для случая, когда ве­ личина dz имеет биномиальное и пуассоновское распределение. Функция / (d2, пг) в случае биномиального распределения равна

(см. (6.17))

(6.37)

Єї (1 - Bp) In бо (1 - Qi)

Следует подчеркнуть, что переменная щ здесь рассматривает­ ся как величина непрерывная. Мы видим, что в случае, когда di изменяется на единицу, величина тг2 изменяется на

определяется по тем же формулам (6.25) — (6.29), что и при вы­ числении процедур (%, « 2 , сх , са , с3 ). Отличие состоит лишь в Т0М (

что вместо параметра ?г2 в эти формулы подставляется функция

Приведем в качестве примера результаты вычислений опти­

d2 имеют биномиальное распределение. При этих условиях опти­ мальный план имеет следующие характеристики:

Показатели плана: а = 0,064, [3 = 0,147, 2?0 = 27,4.

6.5. Двухступенчатый контроль по количественному признаку

В этом разделе мы рассмотрим два вида контроля по количест­ венному признаку: контроль доли дефектных изделий в партии и контроль однородности параметра. Мы приведем данные, необ­ ходимые для построения двухступенчатых процедур контроля с помощью графоаналитического метода.

Контроль доли дефектных изделий

Рассмотрим случай, когда контролируемая партия состоит из большого числа (сотен или тысяч) изделий и качество каждого из­ делия определяется значением некоторого параметра и. Величина и различна для разных изделий. Пусть Ф (и) — функция, которую будем называть распределением величины и в партии. Это означает, что доля изделий, у которых а < и <С Ь, равна Ф (Ь) — Ф (с). Здесь а и Ъ — произвольные числа, причем Ъ^> а. В литературе часто распределение Ф (и) полагают равным

—оо

причем параметры и0 и сг неизвестны.

Если изделия в партии хорошо перемешаны и объемы выборок малы по сравнению с объемом партии, то можно принять допуще­ ние о том, что мы имеем выборки из нормальной генеральной сово­ купности N (и0, а2 ). При этом значения параметра и для различных изделий статистически независимы.

ра у. Допустим, что качество партии считается удовлетворитель­ ным, если 0 <^ 81 ( р , где 0цр — заданная норма. Выберем два чис­

где

Sпі і=і.

—выборочное среднее,

—выборочная дисперсия. Аналогично для второй выборки вычис­ ляется статистика

где

Статистики тх и т2 имеют нецентральное і-распределение [5]. Плотность вероятности статистики Xj (/ = 1,2), когда верна ги­ потеза Як . (/с = 0,1), может быть записана в виде [5, стр. 302]

от параметров и0 и а, а зависит от их отношения, которое в рас­

гичпо величины s2 (л2 — 1)/ст2 и si (щ — 1)/ст2 имеют ^-распределе­ ние с по, — 1 степенями свободы (при гипотезах Н 0 и Н І соответ­ ственно).

Для краткости запишем выражение для плотностей вероятно­ сти статистик s\ и s\ в виде одной формулы. Плотность вероятности

В начале данного раздела было отмечено, что значения пара­ метра и у различных изделий в выборке статистически независи­

Отсюда видно, что функции lx (s\) и Z2 (s\) являются монотонно воз­ растающими. Двухступенчатая процедура в рассматриваемом слу­ чае строится таким же способом, как и процедура контроля доли дефектных изделий по количественному признаку (см. первую часть настоящего раздела).

6.6. Двухступенчатый контроль

по альтернативному признаку при гипергеометрическом распределении

Рассмотрим снова случай контроля доли дефектных изделий по альтернативному признаку; при этом будем считать, что объем выборки составляет значительную часть объема партии. В этом случае уже нельзя использовать биномиальное и пуассоновское приближения. Действительно, если контролю подвергается зна­ чительная часть партии, то в процессе извлечения изделий из партии' существенно изменяется вероятность того, что очередное изделие окажется дефектным. Эту вероятность нельзя считать по­ стоянной (какэто мы делали, применяя биномиальное и пуассо­ новское распределения).

Как было отмечено в разд. 6.1, числа дефектных изделий в вы­ борках имеют гипергеометрическое распределение (см. (6.8)). В данном разделе мы приведем соотношения, необходимые для построения оптимальной двухступенчатой процедуры контроля при гипергеометрическом распределении чисел dy и а^.