книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Соотношение

Нетрудно видеть, что оптимальная точка z° в данной задаче получается всегда единственной. Поскольку множество Z строго выпукло, опорная прямая касается нижней границы этого множе­ ства всегда в единственной точке.

Можно сделать аналогичные утверждения для задачи (1.16) с произвольным числом ограничений. Эти утверждения мы приве­ дем без доказательств. Читателю, интересующемуся доказатель­ ствами, следует обратиться к работе [5].

2. Оптимальная точка z° является единственной. Если в эту точку отображается единственный вариант s°, то решение задачи (1.16) также является единственным.

3. При X = Х° минимальное по всем s (s £ S) значение функ­ ции Лагранжа достигает максимума по X. Оптимальные Х° и s° об­

производят до тех пор, пока эти условия не будут выполнены с не­ обходимой точностью.

М и н и м а к с н ы й с п о с о б : производят перебор значений вектора X; при каждом X ищут процедуру sx, которая обеспечивает

ного по s значения функции Лагранжа L m m (X).

Функция Ьшт (X) является вогнутой по X. Это обстоятельство может играть важную роль при построении алгоритма поиска оп­ тимального вектора Х°.Какмы отмечали, поиск Х° путем простого перебора значений вектора X становится чрезчвычайно трудоем-

ким, когда число ограничений т велико. Как известно, для поиска максимума вогнутой функции можно применять методы направ­ ленного перебора и в этом случае процесс поиска значительно ус­ коряется [6—8].

Оптимальные значения множителей Лагранжа могут быть как отрицательными, так и положительными. От чего зависит знак множителей, можно установить с помощью простых примеров. В приведенном выше примере оптимальное значение множителя по­ ложительно. Ыа рпс. 7 приведен пример мпожества Z, для кото­ рого оптимальное значение множителя получается отрицательным. Действительно, в данном случае опорная прямая, касающаяся нижней границы множества Z в точке А, имеет отрицательное зна­ чение Х\. Одновременно мы замечаем, что безусловный минимум величины z0 по s (s £ S) достигается в некоторой точке V, абсцис­ са которой z[ меньше &j. В примерах иа рис. 4—6 имеет место об­

тельное, так и отрицательное значение. Первый случай показан на рис. 7, а второй — на рис. 4—6. Поскольку опорная прямая

функция, описывающая нижнюю граничную поверхность множе­

так и отрицательные значения. Если опорная гиперплоскость ка­

строго выпуклым, а также предполагать, что нижняя граница мно­

Лагранжа, но способ ее решения несколько отличается от способа

здесь из области поиска должны быть исключены отрицательные значения Ях .

В качестве упражнения читателю следует проверить все эти утверждения, решая графически примеры задач (1.17) и (1.25) для случаев, изображенных на рис. 6 и 7. Читатель сможет при этом убедиться, что при решении задач минимаксным способом соот­

ва Z, в которую отображается s°. Тогда существует вектор %° с

При решении задачи (1.24) по способу уравнений сначала про­ извольно исключают некоторые из условий задачи, например ус­

отброшенным условиям, то задачу (1.24) считают решенной. В про­ тивном случае исключают другую совокупность условий и т. д.

Процедура решения по минимаксному способу аналогична процедуре решения задачи (1.16). Отличие состоит лишь в том, что

где к условий заданы в виде неравенств, a m — к условий — в

Аь+ 1 , Хт — по всем числовым осям.

Отметим еще одно обстоятельство. Если нижняя граница мно­ жества Z строго выпукла, то опорная гиперплоскость соприкаса­ ется с границей в единственной точке. Пусть z ° — точка соприко­ сновения при оптимальном значении вектора X = Х°. Если в точку

1.5. Задачи с нестрого выпуклыми и дискретными множествами. Задачи с нежестко заданными условиями

Вначале мы рассмотрим особенности решения задачи (1.17) мин {z0 (s) I zx (s) = bx}

методом множителей Лагранжа для случая, когда множество Z представляет собой выпуклый многоугольник, изображенный на рис. 9. Нижняя граница этого множества является ломаной лини­ ей, состоящей из отдельных отрезков.

Мы рассмотрим отдельно два случая, когда заданной величине Ъх — Ъх соответствует внутренняя точка одного из отрезков (точка А) и когда заданной величине bx = Ьх соответствует точка «изло­ ма» (точка С).

В первом случае оптимальное значение множителя Лагранжа A.J является единственным. Оно равно Кх = Хх = tg срх, где срх — угол наклона отрезка CD к оси Ozx. Минимум функции Лагранжа по s при Хх — %\ достигается не в единственной точке z, как это имело место при строгой выпуклости множества Z; минимум до­ стигается во всех точках отрезка CD.

Во втором случае оптимальное значение множителя Лагранжа получается не единственным. Все значения Хх в интервале tg <рх

^Хх ^ tg ф2 являются оптимальными. Здесь <р2 — угол наклона

Поскольку величина Ъх задается обычно независимо от конфи­

Таким образом, в случае нестрого выпуклого множества Z при решении задачи типа (1.17) мы получим в ответе отрезок пря­ мой. Если этот отрезок наклонен по отношению к оси Ozx, то все его точки имеют различные значения координаты z0 . Только одна точка (точка А) является решением задачи.

Определить оптимальную точку А можно следующим образом. Производят перебор значений Хх с некоторым шагом и при каждом Хх строят опорную прямую к нижней границе. В результате опор­ ная прямая «обкатывает» нижнюю границу подобно тому, как по­ казано на рис. 6. Однако в отличие от рис. 6, где точка соприкос­ новения плавно перемещается при изменении Хх, здесь точка сопри­ косновения на нескольких соседних шагах остается неподвижной, а затем скачком меняет свое положение. Точками соприкосновения являются, как правило, точки излома нижней границы. Если шаг перебора выбран достаточно малым, то можпо найти все точки из­ лома и, в частности, точки С и В , имеющие ближайшие к заданной величине^ значения абсцисс. Пусть г£, zx — координаты точки С,

a ZQ, z? — координаты точки D . Учитывая, что точка А лежит на отрезке, проходящем через эти точки, получим выражение для ее координат ZQ, zf:

Мы рассмотрели особенности решения задачи (1.17) с одним ог­ раничением, когда множество Z является выпуклым многоуголь­

никои. Задача (1.16) с произвольным числом ограничений, когда множество Z представляет собой выпуклый многогранник, решает­ ся аналогично.

Перейдем теперь к задачам на условный экстремум, у которых множество Z является дискретным. Рассмотрим задачу с одним ус­ ловием, имеющим вид нестрогого неравенства (1.25):

мин {z 0 (s)|z 1 (s)<6 1 },

когда множество S состоит из конечного числа, например из деся­ ти вариантов sx, s1 0 . Пусть этим вариантам соответствуют точки на плоскости Z ^ Z Q (рис. 10). Цифры, которыми помечены точки, означают номера соответствующих им вариантов. Граница выпук­ лой оболочки данного множества точек показана на рис. 10 пунк­ тиром. Из рисунка видно, что варианты slt s2, s3 и s4 являются до­ пустимыми, т. е. удовлетворяют условию задачи zx ^ blt а осталь­ ные варианты — недопустимы. Точка 1 с координатами zj, z\ в данном примере является решением задачи, так как среди всех допустимых точек эта точка имеет минимальную ординату z0.

Для последующего изложения нам будет удобно применить и другое определение оптимальной точки, приведенное в начале разд. 1.4. Для точки 1 построим множество точек Кг, удовлетво­ ряющих условию z 0 < ^ z j , zx ^ &!• Мы видим, что множество Кх не содержит ни одной из десяти точек множества S, и поэтому точ­ ка 1 является оптимальной в соответствии с указанным определе­ нием.

Теперь рассмотрим следующий вопрос: может ли данная зада­ ча быть решена методом множителей Лагранжа по минимаксному способу? Естественно, что способ уравнений в данном случае при­ менить нельзя ввиду того, что, как правило, равенство абсциссы оптимальной точки и заданной величины Ьх здесь не имеет места. Сразу же отметим, что вопрос о возможности применения метода множителей Лагранжа при дискретном характере множества Z далеко не прост, и ответ на него удается получить далеко не всег­ да. Тем не менее рассмотрение данного простого примера позво­ ляет несколько прояснить суть дела.

На рис. 10 выполнен ряд построений, иллюстрирующих реше­ ние задачи методом множителей Лагранжа по минимаксному спо­ собу. Напомним методику этих построений. Задаются значением

рис. 10 такая прямая изображена для точки 4 при некотором зна­

ные прямые «обкатывают» нижнюю границу выпуклой оболочки множества Z. Максимальное значение L m w (Хх) по Хх получается при некотором Хх — Xl = tg ф°. Оптимальная опорная прямая проходит через две точки, 1 и 10. Точку 10 следует отбросить, так как для нее не выполняется условие задачи zx (s) ^ Ъх. Точка 1 яв­ ляется решением задачи. Мы видим, таким образом, что данный пример может быть решен методом множителей Лагранжа.

Характерной особенностью рассмотренного примера является то, что множество Кх для точки 1 пересекается с выпуклой оболоч­ кой множества Z. Пересечение этих множеств обозначено на рис. 10 символом В. В рассмотренном примере множество В не содер­ жит ни одной точки множества Z. Нетрудно видеть, что именно благодаря этому обстоятельству оказалось возможным решить этот пример методом множителей Лагранжа. Для того чтобы в этом убедиться, возьмем другой пример задачи вида (1.25) для множества, изображенного на рис. 11. Этот пример отличается от предыдуще­ го тем, что точка 7, которая и здесь является оптимальной, распо­ ложена не на границе выпуклой оболочки, а внутри нее. Из рис. 11 видно, что, решая этот пример тем же методом множителей Лаг­ ранжа, мы не най~9м ни одной опорной прямой, которая прошла бы через точку 1. В результате вычислений мы получим неверный ответ о том, что оптимальной является точка 2.

Применяя метод множителей Лагранжа для решения задач на

Вычитая из левой и правой частей последиего выражения сумму m

Из этого выражения видно, что среди всех s, которые удовлет­ воряют условиям Zj (s) = 6І , вариант s° имеет наименьшее значе­ ние координаты z0 и, следовательно, является оптимальным.

Аналогичное утверждение можно сделать и для задачи типа (1.24), когда ограничения заданы в виде нестрогих неравенств. Нетрудно видеть, что если, задавшись некоторым неотрицатель­

минимальное значение z0 . Это утверждение непосредственно сле­ дует из неравенства (1.34), которое справедливо и для задачи (1.24)

Более подробно методика решепия задач с нежесткими ограни­ чениями будет рассмотрена в главе 5.

3.В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 2. М., «Наука», 1965.

4.Г. П. Кюнци, В. Крелле. Нелинейное программирование. М., «Советское радио», 1965.

5.В. И. Аркин. О бесконечномерном аналоге задач невыпуклого програм­

мирования.— Кибернетика, 1967, № 2, 87.

6.X. Удзава, К. Д. Эрроу и др. Исследования по линейному и нелинейно­ му программированию. М., ИЛ, 1962.

7.Г. Зойтендейк. Методы возможных направлений. М., ИЛ, 1963.

8.Дж. Хедли. Нелинейное и динамическое программирование. М., «Мир», 1967.