книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Приведем без доказательства две теоремы, касающиеся свойств выпуклых множеств, выпуклых функций и опорных гиперпло­

А.Тогда:

— в случае достижения функцией ф максимума точки А и В совпадают.

1.2. Вполне аддитивные вектор-функций

Понятие вполне аддитивной вектор-функции будет использо­ вано нами в главе 4 при доказательстве выпуклости некоторых множеств. Это доказательство будет играть существенную роль для обоснования вычислительных методов, приведенных далее в главе 5. Читатель, который в большей степени интересуется самими вычислительными методами, чем вопросами их обоснова­

то будет изменяться и вектор z. Таким образом, получаем векторфункцию z = F ( Z 1 ) , ХхсХ. Эта вектор-функция называется вполне аддитивной, если для любых непересекающихся подмно­

X, то аддитивная вектор-функция z = F(XX) пробегает выпуклое множество в пространстве Ет+Х.

1.3. Метод множителей Лагранжа. Общие положения

Метод множителей Лагранжа известен в литературе в различ­ ных вариантах. В классической литературе по математике [3] его иногда применяют для решения следующей задачи. Задано

которых достигает минимума фуикция / 0 , при условии, что осталь­ ные функции равны заданным величинам fx = bx, fm = bm.

Эта задача может быть решена следующим образом. Составляют

mуравнений

т.

Решая эту систему, получают искомые множители. Этот способ мы условно назовем способом уравнений. Другой способ вычисле­ ния множителей Лагранжа мы рассмотрим ниже.

Таким образом, мы описали для двух случаев «классическую» схему, по которой производят выкладки при решеиии задач

методом множителей Лагранжа. К сожалению, встречаются за­ дачи, для которых эта схема неприемлема. Дело в том, что указан­ ные выше требования о непрерывности н дифференцируемости функций не всегда выполняются. Существенно также и то, что уравнения (1.7), (1.11) и (1.12) дают необходимые условия для решения задачи, но эти условия могут оказаться недостаточными. Поэтому, получив некоторый ответ по этой схеме, мы не имеем еще уверенности в том, что нашли истинное решение задачп. Заметим также, что в обеих приведенных задачах условия были заданы в виде равенств. Это обстоятельство характерно для клас­ сического метода множителей Лагранжа; оно ограничивает об­ ласть его применимости.

В современном математическом программировании метод мно­ жителей Лагранжа получил значительное развитие. Разработапы новые схемы вычислений. Получен ряд теорем, с помощью ко­ торых во многих случаях еще до решения задачи имеется воз­ можность установить, что задача может быть решена методом множителей Лагранжа. В некоторых других случаях после про­ веденных вычислений имеется возможность проверить, является ли полученный ответ истинным решением. Требование непрерыв­ ности и дифференцируемости функций становится не столь су­ щественным. Кроме того, сам метод обобщен на случай, когда условия задачи или часть условий заданы в виде нестрогих не­ равенств.

Следует заметить, что каждая из известных в настоящее время схем вычислений, включая и классическую, имеет определенные преимущества и недостатки. Достоинство классической схемы состоит в том, что она позволяет получить решение в аналити­ ческом виде. В главе 5 мы используем эту схему наряду с другими.

В математическом программировании большой интерес пред­

./V-мерный вектор, составляющие которого vv . . . , VN неотри­

что существует хотя бы одно значение вектора v , при котором

для всех неотрицательных v и X. Точка (v°, Х°) называется седловой.

матическом программировании. Известен целый ряд вычислитель­ ных методов для решения задачи (1.13), основанных па этом со­ отношении (см., например, [4]). Мы также используем его при раз­ работке вычислительных методов для решения задач двухступен­ чатого анализа. В этих задачах, как мы увидим в дальнейшем, функции fi не удовлетворяют условию выпуклости. К счастью, это условие не является обязательным. Как показали исследова­ ния (см., например, [5]), теорема Куна — Таккера может быть распространена на случай невыпуклых функций довольно общего вида.

Для того чтобы читателю было легче понять роль соотношения (1.15), в разд. 1.4 и 1.5 мы попытаемся максимально наглядно, не

Пусть множество Z строго выпукло.

Рассмотрим задачу на условный минимум, в которой все усло­ вия заданы в виде равенств

В задаче (1.17) допустимы все варианты s, которые отображают­ ся на отрезок АВ на рис. 4. В задаче (1.16) допустимы все варианты

Рис. 4 Рис. 5

Из рис. 4 видно, что в задаче (1.17) точка А и соответствующая ей процедура являются оптимальными. В дальнейшем мы встре­ тимся с более сложными задачами, где такой наглядности уже не будет. В этом случае мы применим для решения задач метод мно­ жителей Лаграижа. Для того чтобы объяснить сущность метода, проиллюстрируем его на нашем простом примере.

Напомним одно из определений оптимального варианта s°, ко­ торое дано в конце введения. Согласно этому определению, 5° есть решение задачи на условный экстремум, в данном случае — зада­ чи (1.16). Это определение можно выразить и в другой форме. Для каждой допустимой точки г' = (z'0, b±, Ьт) из множества Z, удовлетворяющей условиям задачи (1.16), рассмотрим множество точек, лежащих на прямой zx = Ъх, zm = bm и имеющих коор­ динату z0 , строго меньшую, чем z'Q. Обозначим это множество через К (z'). Допустимая точка z° и соответствующий ей вариант s° на­ зываются оптимальными, если множество К (z°) не содержит ни одной точки из множества Z.

множества Z, и поэтому точка Q не является оптимальной. Точка же А является оптимальной, так как ее множество К не содержит ни одной точки множества Z.

=bx, zm = bm в точке, координата которой z0 и есть L (s, X).

Обратимся снова к примеру с одним ограничением. Произволь­ ная прямая, например DC (рис. 5), не отделяет множество Z ни от одного множества К (ни от одной вертикальной полупрямой, имеющей верхний конец на отрезке АВ). Нужно панти такую на­ клонную прямую, которая станет отделяющей. Поиск такой пря­ мой можно вести следующим образом.

Пусть вначале Хх выбрано произвольно. Варьируя s и, следова­ тельно, варьируя точки ъ (,s), будем стремиться достичь минимума функции Лагранжа. При этом наклонные прямые будут переме­ щаться, оставаясь параллельными друг другу. Минимум L (s, Хх) будет достигнут при некотором варианте sx,- При этом наклонная прямая касается нижней границы множества Z в точке отображе­

решением. Из приведенных рисунков видно, что существует такое значение Хх, при котором касание опорной прямой и нижней гра­ ницы множества Z происходит в точке А, имеющей абсциссу zx —

— Ьх. Это значение Хх может быть найдено способом уравнений, ко­ торый был описан в разд. 1.3. Для этого задаются Хх, находят ва­ риант s\„ при котором L (s, Хх) достигает минимума, затем прове­ ряют, удовлетворяется ли равенство zx ($х,) = bx. Перебор по Хх продолжают до тех пор, пока это уравнение не будет удовлетворено с приемлемой точностью.

Поясним теперь, какое значение в этой задаче имеет выпук­ лость множества Z. Предположим, что от заштрихованной области на рис. 5 отторгнута выпуклая часть, расположенная ниже штрихпунктирной линии, а наше множество процедур S отображается на оставшуюся невыпуклую часть области. В этом случае для за­ дачи (1.17) оптимальной является уже не точка А, а точка А'. Однако не существует опорной прямой, которая соприкасалась бы

Допустим теперь, что ограничивающая величипа имеет значе­ ние не Ьи' а Ъ'х (рис. 5). Тогда точка Т является оптимальной, а че­ рез эту точку можно провести опорную прямую, т. е. можно ре­ шить задачу, пользуясь нашей схемой.

Таким образом, когда множество Z не выпукло, возможность получить решение зависит от значения лимитирующей величины. Когда же Z выпукло, мы получаем решение независимо от лимити­ рующей величины (если только вертикальная прямая zx — bx пе­ ресекает Z).

Следует отметить, что способ уравнений становится слишком трудоемким, если число ограничений в задаче достаточно велико. В этом случае для построения эффективного алгоритма поиска

множителей Лагранжа можно использовать теорему 2 разд. 1.1. Покажем, как применить ее в нашем простом примере с одним огра­ ничением. В соответствии с теоремой нужно искать такую опорную прямую, которая пересечет вертикальную прямую zx = bx в мак­ симально высокой точке (т. е. в точке с максимальной ординатой z0). Этот способ назовем минимаксным." Опорная прямая, найденная минимаксным способом, будет касаться нижней границы множе­ ства Z в оптимальной точке А, как показано на рис. 6. Р1а этом ри­ сунке изображены три опорные прямые, касающиеся нижней гра­ ницы множества Z в точках А, Т, F , и кружками отмечены точки пересечения этих прямых с вертикальной прямой zx = Ьх. Из ри­ сунка видно, что опорная прямая, касающаяся нижней границы в точке А, пересекает вертикальную прямую в наиболее высокой точке. Значение множителя Лагранжа, при котором это происхо­ дит, назовем оптимальным и обозначим Я?.

Т а к т і образом, для решения задачи (1.17) нужно найти мак­ симум по %х минимального по s значения функции Лагранжа:

Задача о нахождении максимума функции L m i n (^і) по Кх на­ зывается двойственной по отношению к задаче (1.17). Оптимальное значение множителя Лагранжа Х°х и оптимальный вариант s° об­

разуют так называемую седловую точку, для которой справедливо