книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Рассмотрим процедуру контроля с переменным объемом второй выборки. Структура этой процедуры была описана в разд. 6.4. Напомним, что процедура характеризуется величиной пх и функ­ циями п2 {dx) и с3 (dx), причем функция п2 (dx) положительна в некоторой области сх < dx ^ с2 .

Как мы уже отмечали в разд. 6.1, данная процедура имеет не­ которую характерную особенность, состоящую в том, что функция п2 (dx) при некоторых dx может принимать значения, равные щ — = N — пх. Это означает, что при этих значепиях dx проводится сплошной контроль партии. При этом функция с3 (dx) не опреде­ ляется, и решение о качестве партии продукции не принимается.

ступени принимается одно из двух решений:

1)решение о том, что партия хорошая, и все изделия, за иск­ лючением dx + d2 выявленных дефектных, передаются потреби­ телю;

2)решение о том, что партия плохая, и все изделия, за исклю­ чением гх -f- г2 выявленных годных, возвращаются производите­ лю, а годные передаются потребителю.

Очевидно, что гх = пг — dx, r2 = п2 — d2.

Как уже было отмечено в разд. 6.1, вероятности ошибочных ре­ шений ос и В в рассматриваемом случае не могут полностью охарак­ теризовать надежность контроля. Дело в том, что здесь мы имеем возможность достоверно судить о качестве значительной части изделий (именно тех, которые подвергаются контролю). Неверные суждения о качестве могут быть вынесены только в отношении тех изделий, которые не подвергаются контролю. Иногда эта часть мо­ жет составлять незначительную часть партии. Поэтому вместо а и В мы введем другие показатели. Эти показатели характеризуют средние числа изделий, относительно которых делаются непра­

число хороших изделий, возвращенных производителю, и, нако­

При этом D x ^ > D 0 .

На основании (6.59) математическое ожидание величины D m x при фиксированном числе дефектных изделий D можно записать в виде

Во втором слагаемом при суммировании по dx исключены те dx, при которых п2 = N — пх. В (6.61) суммирование проводится по тем областям, в которых принимается решение о том, что верна гипотеза Н0. Путем несложных преобразований это выражение можно привести к такому виду, чтобы суммирование проводилось по тем значениям dx и d2, при которых принимается решение о том, что верна гипотеза Нх. Для дальнейшего такая форма представле­

Величина E (dx\D) в (6.62) означает математическое ожидание числа дефектных изделий в первой выборке при условии, что в партии содержится D дефектных изделий. Эта величина равна (см. [3])

где

Определим оптимальное правило принятия окончательного ре­ шения, т. е. оптимальную функцию cs (dx). Эта функция должна быть выбрана таким образом, чтобы был обеспечен максимум функ­ ции A (dy, Пу, п2, с3) при фиксированных dy, Пу и п2.

Очевидно, что к области принятия решения о браковке (в этой

Левая часть этого неравенства представляет собой суммарное от­ ношение правдоподобия, полученное на обеих ступенях контроля. Следует обратить внимание на то, что правая часть неравенства зависит от результатов наблюдения dy md2. Напомним, что в ранее полученных правилах принятия окончательного решения правая часть неравенства не зависит от результатов наблюдения.

Соотношение (6.72) теряет смысл, если п2 = N — Пу. Действи­ тельно, в этом случае d2 = D — dlt и поэтому числители или зна­ менатели обепх частей неравенства (6.72) одновременно обраща­ ются в нуль.

значение ге2, при котором этот максимум достигается. Таким боразом

= макс F (dx, пх, п2, сх, с2) = F (dx, пх, п2М, сх, с2 ).

В процессе перебора dx определяют параметр сх; этот параметр равен наибольшему значению dx, при котором выполняется ус­

с выражением (6.75). Параметр с2 определяют как наибольшее зна­

стигается одновременно при двух или более значениях п2, скажем, при п2 •= пім и п2 = и 2 м и т. д., то существует несколько опти­ мальных стратегий поведения. Например, если максимум дости­

одна из них состоит в том, что извлекают вторую выборку объема ?г2 м , а вторая — в том, что проводят сплошную проверку партии. Обе эти стратегии обеспечивают максимум функции (6.69). Одна­ ко показатели Е(Бвых \£>і), Е (RB03 \D0), Е (п\В0) этих процедур

и б). ;> 0 к р ; гипотеза Н0 состоит в том, что 0 = 0О , а гипотеза Ну — в том, что 0 = Qy.

Рассмотрим статистики, которые можно использовать для построения оптимальной двухступенчатой процедуры. Такими

деления. Запишем распределение для обеих величин в виде одной формулы

Мы видим, что данная задача точно совпадает с задачей конт­ роля доли дефектных изделий, когда последняя решается в пуассоновском приближении (см. разд. 6.3). Разница состоит лишь в том, что вместо объемов выборки Пу и щ здесь введены времена наблюдения ty и £2 , а вместо количества дефектных изделий в выборках — количество отказов. Обозначение этих величин в обеих задачах одинаково — dySid2. Распределения величин dy ж d2 также одинаковы (ср. формулы (6.13) и (6.78)).

Случай переменной интенсивности потока отказов. Оптимальная процедура контроля

Допустим теперь, что интенсивность потока отказов изменяет­ ся в процессе наблюдения но некоторому закону 0 (t). Рассмотрим следующую задачу. Пусть выбраны две функции 0О (t) и Qy (t). В случае, если 0 = 0О (t), изделие считается хорошим; в случае, если 0 = Qy (t), изделие считается плохим. Гипотезы Н0 и Ну оп­ ределяются следующим образом:

Функция 0О {t) характеризует изменение интенсивности потока отказов в случае, когда в процессе изготовления изделия нет отк­ лонений от технологии. Функция Qy (t) должна характеризовать изменение интенсивности в случае, когда имеет место нарушение технологии. Во многих случаях наши знания о характере изме­ нения интенсивности весьма бедны, и выбор функций 0О (t) и Qy(t) может быть грубо приближенным. В особенности это относит­ ся к функции Qy (t).

где v0 — число, для которого заведомо P(m > (v0) = 0. Методика вычисления функций (г>2) и Р*1) (<v2) по формуле (6.88) требует дальнейшего исследования, и мы ее здесь не приводим.

Потоки отказов с переменной интенсивностью. Упрощенная процедура контроля

Рассмотрим следующую процедуру контроля. Интервал наб­ людения на первой ступени 0 — tx разделим на две равные части,

и d\ — числа отказов, происшедших на отрезках tx — \tx - j - - j - j

и к + т2І_- С і + у - В нашей процедуре в качестве статистик используются ве­

личины d)t, dlK, dft и d?<. Поток отказов по-прежнему будем счи­ тать пуассоновским. Тогда очевидно, что величины d]u d^, d\ и d'n статистически независимы. Все они распределены по закону Пуассона. Их совместное распределение при гипотезе Нт (т =

=0,1) может быть записано в виде произведения